Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn và các bài toán

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
CỦA GÓC NHỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN
 I. Mục tiêu:
1/Kiến thức cơ bản:
Chú ý: 	 a/ sin2α + cos2α = 1
 b/ tgα = c/ 
 d/ e/ 
 f/ tgα . cotgα = 1 k/ 
 l/ , . . . . . . 
II.Các dạng bài toán nâng cao:(Trắc nghiệm & tự luận)
 Dạng 1: Chứng minh các hằng đẳng thức: 
 a) (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinx.cosx
 b) (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinx.cosx
 c) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x
 d) sinxcosx(1 + tgx)(1 + cotgx) = 1 + 2sinx . cosx .
 e) Cho µ là góc nhọn của một tam giác vuông. Chứng minh các hệ thức:
 i) sin2 α = ii) cos2 α = 
 Dạng 2: Dựng một góc nhọn biết tỉ số LG của nó.
 Dựng góc nhọn α, biết rằng:
 sinα = ; cosα = 0,8 ; tgα = 1.
 Dạng 3: Đổi các tỉ số LG của góc nhọn thành tỉ số LG của góc nhỏ hơn 45o .
 Đổi các tỉ số lượng giác của các góc nhọn sau đây thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45o. 
 sin82o; cos47o; sin48o; cos55o. 
 Dạng 4: Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số LG đã cho.
 a) Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B, C.
 b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số lượng giác sau:
 sin78o; cos14o; sin47o; cos87o.
 Dạng 5: Biết sinα . Tính cosα. . . . 
1) Biết rằng sinα = 0,6. Tính cosα và tgα.
2) Biết rằng cosα = 0,7. Tính sinα và tgα.
 3) Biết rằng tgα = 0,8. Tính sinα và cosα.
 4) Biết cosx = , tính P = 3sin2x + 4cos2x.
 5) a) Cho góc nhọn b mà sinb = . Tính cosb và tgb.
 b) Cho góc α mà cosα = -. Tính sinα, tgα và cotgα .
 c) Cho tgx = . Tính sinx và cosx.
 6) Hãy tính sinα, tgα nếu:
 a) b) 
7) Biết rằng sin 15o = . Tính tỉ số lượng giác của góc 15o .
 Dạng 6: Các biểu thức dạng chứng minh khi biết một số điều kiện của bài toán ( áp dụng các hệ 
 thức đểõ chứng minh các đẳng thức khác).
 Ví dụ:
 1/ Cho các góc α, b nhọn, α < b. Chứng minh rằng:
 a) cos(b -α) = cosbcosα + sinbsinα
sin(b - α) = sinbcosα - sinbsinα.
2) Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng:
 a) b) .
 3) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng:
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC (AB = c, BC = a, CA = b).
Gợi ý:
 Ta có: DAHC có H = 90o do đó x2 + h2 = b2 ( định lý Pytago)
 Mặt khác:
 BH2 = AB2 – AH2
 Hay (a – x)2 = c2 – h2 
 a2 + x2 -2ax = c2 – (b2 – x2)
 Hay a2 – 2ax = c2 – b2 
 Þ c2 = a2 + b2 – 2ax
 Vậy c2 = a2 + b2 – 2abcosC.
 4) a/ Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 10cm, AC = 8cm. Tính sinB, cosB, tgB.
 b/ Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là 3 đường cao. Chứng minh rằng:
 AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
 Dạng 7: Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) Chứng minh rằng sin2α + cos2α = 1, tgα = 
 b) 
 c) sin4x – cos4x = 2sin2x – 1
 d) tg2x + cotg2x + 2
 e) 
 f) Cho α, b là hai góc nhọn. Chứng minh rằng:
 cos2α – cos2b = sin2b - sin2α = - 
Gợi ý: cos2α + sin2α = cos2b + sin2b = 1
 a) tgα = cotgα = 
 b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) và sin2x + cos2x = 1.
 c) Chứng minh rằng: và 
 Dạng 8: Rút gọn biểu thức:
 1) sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o. 
 Gợi ý : b) sin80o = cos10o; sin70o = cos20o; sin60o = cos30o.
 Mà sin2α + cos2α = 1
 Do đó: sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o =  = 3 
 2) sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x 
 3) (1 + cosα)(1 – cosα) – sin2α. . . .
 4) Đơn giản các biểu thức: 
 A = cosy + siny . tgy
 B = . 
 C = 
 5) Tính:
 a) cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89o 
 b) sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87o .
 6) Đơn giản biểu thức:
 A = sin(90o – x)sin(180o – x)
 B = cos(90o – x)cos(180o – x)
 Dạng 9: Bài toán cực trị
 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất 
 của tổng .
 Dạng 10: Giải các tam giác vuông ở C, biết rằng:
 a) b = 10cm, A = 30o ; b) c = 20cm, B = 35o ;
 c) a = 21cm, b = 18cm; d) a = 82cm, A = 42o .
 Dạng 11: Tính khoảng cách - Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác - Tính độ dài đoạn thẳng - C /m các hệ thức trong tam giác. :Bằng cách áp dụng tỉ số LG góc nhọn.
 BT 1: Cho tam giác ABC có AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm. Tính cạnh BC. 
 BT 2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) và đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và 
 AC lần lượt ở B và C. Từ điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C) kẻ MD, ME, MF 
 lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB.
 1/ Chứng minh các tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp.
 2/ Chứng minh các tam giác DBM và ECM đồng dạng.
 3/ Cho góc BAC = 60o và AB = 2, tính bán kính đường tròn tâm O.
 BT 3: 
Một con sông rộng 250m. Một chiếc đò chèo vuông góc với dòng nước, vì nước chảy nên bơi 320m mới sang được tới bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã giạt chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu.
 BT 4:
Cho tam giác ABC có A nhọn. Chứng minh rằng:
 SABC = Gợi ý : Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC.
 BH = ABsinBAH; SABC = BH.AC.
Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O và AOB nhọn.
Chứng minh rằng: SABCD = AC.BD.sin AOB.
 BT 5: 
 Cho điểm A nằm bên trong dãy tạo bởi hai đường thẳng song song d và m lần lượt tại B và C. 
 Xác định vị trí của B và C. Xác định vị trí của B và C để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 
 BT 6: 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:
 a) b) .
 BT 7: 
 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
 a) Tính 
 b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.
 BT 8: 
 Cho tam giác ABC. Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
 a) Chứng minh tam giác ABC vuông;
 b) Tính sinB, sinC. 
BT 9:
 Cho hình thang ABCD. Biết đáy AB = a và CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o 
 a) Chứng minh tgC = 1 ;
 b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD ;
 c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC.
 BT 10:
Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC.
 a) Chứng minh: D ANL ~ D ABC ;
 b) Chứng minh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC. 
III.Tài liệu tham khảo:
1/ Giúp em giỏi Hình học lớp 9 của Nguyễn Đức Tấn – Võ Tất Lộc.
2/ Sách giáo khoa Hình học Lớp 10 – Xuất bản năm 2000.
3/ Hình học lớp 9 nâng cao của Vũ Hữu Bình.