Chuyên đề Cực trị hình học

để số đo góc lớn nhất . 
( Cho công thức biến đổi tg( x +y )= )
Giải:
A
B
C
D
M
M
K
x
y
h.28
Đặt , ( x + y < 900 )
lớn nhất Û + nhỏ nhất 
Û x + y nhỏ nhất Û tan (x + y) nhỏ nhất 
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)
tg x = 
tg y = 
tg( x +y )= = =
tg (x + y) nhỏ nhất Û nhỏ nhất 
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
 ≥ 
Dấu đẳng thức xảy ra Û Û m = 
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m =
Do đó lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1
Phần 3: Bài tập ôn luyện
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là :
Lớn nhất
h.29
A
B
M
C
D
D’
A’
O
N
H
C’
B’
d
Nhỏ nhất 
Hướng dẫn:
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.
m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Suy ra : m = 4MN do đó:
m lớn nhất Û MN lớn nhất
m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất
a) MN £ MO Þ m lớn nhất Û M≡O Û d//AB
b)kẻ MH ^ OB . Chứng minh MN ≥MH Þ MN nhỏ nhất Û N ≡H Û d≡BD hoặc d ≡AC.
Bài 2 : Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB ,AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :
DE có độ dài nhỏ nhất .
A
B
D
C
E
M
I
h.30
Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất .
Hướng dẫn: (h.30)
a)Gọi M là trung điểm của BC .
DBDM = DAEM Þ
Þ
Gọi I là trung điểm của DE .
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM
Min DE = AM Û I là trung điểm của AM
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
 b)Đặt AE = x, AB =AC =a thì AD = a - x , SADE = 
SBDEC nhỏ nhất Û SADE lớn nhất Û x(a - x) lớn nhất
Do x +( a- x) = a không đổi nên x( a - x) lớn nhất Û x = a - x Û x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Bài 3 : Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm :
Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE .
h.31
A
B
C
M
D
O
E
Giá trị nhỏ nhất của diện tích D MDE
Hướng dẫn:
a) (h.31)Gọi O là trung điểm của DE
Ta có OA = OD =OE = OM 
Þ DE = OA + OM ≥ AM = 
minDE = a/2 Û O là trung điểm của AM 
h.32
A
B
C
M
D
K
E
H
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
b) (h.32)Kẻ MH ^ AB , MK ^ AC 
ME ≥ MK , MD ≥ MH .
2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK =. =
minSMDE = Û D ≡ H và E ≡ K
Bài 4 : Cho điểm m di chuyển trên đoạn thẳng AB .Vẽ các tam giác đềuAMC và BMD về một phía của AB . Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều tren là nhỏ nhất .
h.33
K
A
B
M
D
C
1
2
x
y
Hướng dẫn: (h.33)
Gọi K là giao điểm của AC và BD .
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với DAKB
Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
;
Þ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó : min (S1 +S2) = Û M là trung điểm của AB.
Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất . Biết M ÎAB ; N Î AC ; P,Q Î BC.
h.34
A
M
B
Q
H
P
C
N
y
I
h-x
Hướng dẫn: (h.34)
Gọi I là giao điểm của AH và MN
Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h - x
DAMN D ABC 
Þ 
Þ SMNPQ = xy = . x(h - x)
Þ SMNPQ lớn nhất Û x(h - x)lớn nhất 
 x +(h - x) = h không đổi nên
 x(h - x) lớn nhất Û x = h - x Û x = h/2
Khi đó MN là đường trung bình của DABC
Bài 6 : Cho D ABC vuông tại A . Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 +IN2 +IK2 nhỏ nhất.
Hướng dẫn: (h.35)
h.35
A
K
B
H
M
C
N
I
E
Kẻ AH ^BC , IE ^AH 
ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật.
IK2+ IN2 = IK2 +AK2 = AI2 ≥ AE2
IM = EH
 nên IK2+ IN2 + IM2 = AI2 +EH2 ≥ AE2+EH2 
Đặt AE = x , EH =y ta có :
 Þ IK2+ IN2 + IM2 ≥ . 
Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH.
A
h.36
B
C
M
N
KKK
x
n
z
m
y
k
I
Bài 7 : Cho tam giác nhọn ABC .Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z .
Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất.
Hướng dẫn: (h.36)
Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,
 BC = a , AC = b , AB = c .
x2 +y2 +z2 = 
=(IA2 - IK2 ) + (IB2 - IM2 ) + (IC2 - IN2 )
= (IA2 - IN2 ) + (IB2 - IK2 ) + (IC2 - IM2 ) = n2 + k2 + m2 
Þ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2
 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) 
x2+ k2 ≥ 	y2+ m2 ≥	
 z2 + n2 ≥ 
Þ x2 +y2 +z2 ≥ . 
min(x2 +y2 +z2 ) = Û x = k , y = m , z = n.
Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC.
Bài 8 : Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.
h.37
Hướng dẫn: (h.37)
Kẻ OH ^CD , ta tính được OH = 4cm
SABFE = 1/2(AE + BF).EF 
= OH.EF £ OH. AB = 4.10 =40
max SABEF =40 cm2
Û EF // AB , khi đó OH ^ AB
h.38
Bài 9 : Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.
Hướng dẫn:(h.38)
Đặt CM = m , CN = n , MN = x
m + n + x = 2CD = 2a và m2 +n2 = x2 
Do đó : x2= m2 +n2 ≥ 
2x2 ≥ ( 2a - x)2 Þ ≥ 2a - x
x ≥ 
min MN =2a Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của , AN là phân giác của 
Bài 10 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lớn nhất .
h.39
a
a
Hướng dẫn:(h.39)
Kẻ OD ^ AB ; O’E ^ AC ta có:
SABC = AB.AC =.2AD.2AE= 2.AD.AE
Đặt OA =R ; O’A = r ;
AD = R sina ; AE = r cosa 
Þ SABC = Rr. 2sina .cosa 
2sina .cosa £ sin2a + cos2a =1
SABC £ Rr
Do đó : 
max SABC = Rr Û sina = cosa Û sina = sin( 900- a ) Û a = 900 - a Û a = 450.
 Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc thì D ABC có diện tích lớn nhất .
Bài 11 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn . Vẽ tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB. Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH . Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: (h.40)
DEFG là hình bình hành.
Kẻ OI ^FH , ta có OI là đường trung bình của D BHC nên OI = ½ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên Þ OI = ½ OM Þ GD = ½ OM 
Mà ED = ½ OM Þ EG = GD 
Þ DEFG là hình thoi
ÞÞDEFG đều
Þ SDEFG =2SEFG = 2. = £ = 
max S = Û H ≡ B Û Û Û AC = R.
Bài 12 : Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .
Chứng minh rằng : 
h.41
A
B
K
D
z
C
I
H
·O
x
y
·
M
E
c
b
Tìm vị trí của điểm D để tổng nhỏ nhất .
Hướng dẫn: (h.41)
a) Lấy E trên BC sao cho 
DCDE đồng dạng với D ADB
Þ 
Tương tự DBDE đồng dạng với D ADC
Þ
Þ
b) == Do đó S nhỏ nhất Û nhỏ nhất Û x lớn nhất Û D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)
h.42
A
B
P
Q
C
O
H
M
Bài 13 : Cho DABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh BC .Gọi P ,Q là hình chiếu của M trên AB , AC . Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất .
Hướng dẫn: (h.42)
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
Kẻ OH ^ PQ . Đặt =a thì = a
PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina
Do a không dổi nên 
PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Û AM ^BC.
Bài 14 : Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.
 Hướng dẫn: (h.43)
Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC
Đặt AB = 2a , AC =2x thì r1 = a , r2= x Suy ra BC =2a - 2x và r3 = a - x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
Ta có : =
h.43
S lớn nhất Û x( a -x) lớn nhất 
Mặt khác x + (a - x) = a không đổi nên 
 x( a -x) lớn nhất Û x = a - x Û x = Û C ≡O1
Lúc đó ta có S =
Bài 15 : Cho đường tròn (O;R) . Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O2) gấp đôi bán kính đường tròn (O1). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1) và(O2) .
Hướng dẫn: 
Gọi x là bán kính đường tròn (O1) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O2 ) (h.44)
Xét DOO1O2 ta có : O1O2 £ O O1 +OO2
Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x) Þ 6x £ 2R Þ x £ 
Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O1)và (O2 ) , ta có :
 S = 
Do x £ nên x2 £ Þ S ≥ ;	
min S = Û x =
Khi đó O1,O,O2 thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O1) và (O2 ) là và (h.45).
Đề kiểm tra (tham khảo)
Thời gian : 45 phút
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 , điểm M nằm trên đường chéo BD .
a) Nêu cách dựng đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AD và CD. Nêu cách dựng đường tròn (K) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AB,BC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường tròn không đổi .
c) Xác định vị trỉ của điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất . 
2-Đáp án , biểu điểm :
a) Qua M kẻ đường vuông góc với BD cắt AB,BC,CD,DA tại P,Q,F,E .
H
J
Do AB,BC tiếp xúc với (K) nên K Î MB
PQ ^ KM nên PQ là tiếp tuyến của (K)
Vậy (K) là đường tròn nội tiếp DPBQ 
Tương tự (I) là đường tròn nội tiếp DEDF (2 đ)
b) Tổng chu vi hai đường tròn (I) và (K) bằng:
 2p.IM + 2p.MK = 2p .IK 
 MD = ID +IM =
 MB = KB +MK =
Þ BD = MD + MB = =IK
Þ IK = Do BD = AB =
Þ IK = ( - 1) = 2 - 
Vậy tổng chu vi hai đường tròn bằng 2p(2 - ) (4 đ)
Gọi x và y là bán kính các đường tròn (I) và(K) 
Ta có : x + y = 2 - 
Gọi S1 ,S2 là diện tích các hình tròn trên 
S1 + S2 = px2 +py2 = p(x2 + y2 ) ≥
S1 + S2 nhỏ nhất Û x =y Û M là trung điểm của BD. ( 4đ)