Chuyên đề Cực trị của một biểu thức

ng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 
 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : 
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm ta có: (1)
Lại có: (2 )
Từ (1) và (2) suy ra : . Vậy Min A = 8
Phân tích sai lầm: 
Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai.
Giải đúng: Vì x + y = 1 nên 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm Ta có : 
Dấu “=” xẩy ra khi 
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:
VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm Ta có: (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm Ta có: (2)
Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8
Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)
Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : 
Ta có : . Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 1 - = (1)
 (2). Từ (1) và (2) =>A 8 ++4 = =>Min A = khi x=y =
Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
VD1: Tìm GTLN của bt: 
Lời giải sai: A đạt Max khi đạt Min Ta có : 
Do đó Min . Vậy Max A = 
Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương
Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét nên tử và mẫu của A là dương
VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4
Ta có : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN 
Khi đó MinA = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số. 
Chẳng hạn: Từ x2 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất x2 = 4x – 4 (x – 2 )2 = 0 x =2
Đi đến min x2 = 4 x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 x =0
Lời giải đúng: Ta có x + y =4 (1)
Ta lại có : (2)
Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) => A = x2 + y2 
Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên  Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + 
Lời giải sai : x + = . Vậy: Min A = 
P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=(vô lí )
Lời giải đúng: ĐKTT là do đó : A = x + => Min A = 0 
VD2: Tìm GTLN của với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1
Lời giải sai: Áp dụng BĐT ta có : 
 => . Vậy Max A = 
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”
ĐK để Max A = là : ( vô lí )
Lời giải đúng: Ta có : (1)
 (2)
Từ (1) và (2) => hay: 
Max A = khi 
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x > 0, a, b là các hằng số dương.
Lời giải sai: Ta có: 
Do đó: vậy Min A = 
Phân tích sai lầm: Nếu thì không có: A = 
Lời giải đúng : Ta có .
Theo bất đẳng thức Cauchy : nên A ≥ 2 + a + b = 
min A = khi và chi khi .
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk Tìm GTNN của bt: 
Do x > 0, y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 
ta có: Hay => 
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
Vậy: Min A = 4 khi : 
VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 
Ta có: 
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số ta có : 
Max A = 2 khi 
VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 
Do đó 
Cách 2 : Ta có : . Ta đã có (do x, y > 0) nên để 
chứng minh ta chỉ cần chứng minh : (1)
(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
Û xy + z2 – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của .
VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 	 (2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. Þ A ≤ 
max A = khi và chỉ khi x = y = z = .
VD 5: Tìm GTNN của với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : .
Tương tự : . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = 1 với x = y = z = .
VD 6: Tìm GTNN của với : x > 0, y > 0, x + y < 1
Ta có: 
Ta có: 
=> 
VD 7: : Cho , Tìm GTLN của 
Giải : Ta có : Với ta có:
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số Ta có: 
Hay : Dấu “ = ” xảy ra khi 
 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số Ta có: 
Hay : .	Dấu “ = ” xảy ra khi 
Do đó: - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi 
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: 
Ta có: S = =
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có : 
Tương tự ta có : ; 
S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
Dấu “=” sảy ra khi : 
Vậy Min S = 36 khi
Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của , ĐKXĐ : 
Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 
Với . áp dụng bất đẳng thức côsi cho và ta có:
 hay 
A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
VD2: Tìm GTNN của biểu thức: (*)
ĐKXĐ : 
Khi đó => A > 0
Từ (*) => 
A = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 4: Tìm GTNN của : với x, y, z dương và x + y + z 12
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của : biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: ĐKXĐ: Ta có: = 
Dấu “=” xảy ra khi 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số:
Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải : Ta có 
Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : 
Vậy Min A = 8 
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min với 
Xét Ta có : 
Dấu “=” xẩy ra khi 
Xét 
Rễ thấy: 4 – x - y ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6
=> đạt GTNN khi x2y đạtGTLN
Ta có : =32 hay x2y 32 (2)
Từ (1) và (2) => -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi 
VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3.
Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.. .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được : ..(3 – x) ≤ .
Do đó A ≤ 4 (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y 6 Tìm GTNN của 
Bài 2( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN của 
Bài 3( 69/ 28) Tìm GTNN của 
Bài 4: Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của 
Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của 
Ta có : 
Min B= 7 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến )
Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của 
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của 
Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: ( với x > 1 )
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: ( với 0 < x < 1 )
Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:
VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:
Ta có : +2
 	 + 2
 +2
=> 
Hay: 
=> 
Vậy Min P = 1 
Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. 
VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn (a và b là hằng số dương).
Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = .
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : .
Do đó .
 với 
Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
.
Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A.
VD3 Tìm GTNN của biết x, y, z > 0 , .
Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: . Theo bất đẳng thức Cauchy 
.
min A = .
VẬN DỤNG BDT ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : 
Cách 1: 
Nếu: x < -1 thì 
Nếu: thì 
Nếu: x > 1 thì 
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi 
Cách 2 : áp dụng BĐT ( Dấu “=” sảy ra khi a.b )
Ta có : 
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi 
Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có : 
A = x(4 -2x ) = 2 – = 
=> Max A = 2 khi 
Cách 2: Ta có : A = . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x, xy ta có: Thay số ta có : =A
Vậy Max A =2 khi 
 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, b, 
Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, b,
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của