Câu hỏi, đáp án và hướng dẫn giải môn Xử lý tín hiệu số

N
ee
N
n
nNjknNj
0
1
0
22 ππ 
Bài 7.3 
Hãy chứng minh rằng với đồ hình dạng cánh bướm như sau 
Ta có: 1 1
1 1
Re ( ) 1; Re ( 1) 1
Re ( ) 1; Re ( 1) 1
i i
i i
X p X p
X q X q
+ +
+ +
< + <
< + < 
Nếu: 
1( )
2i
X p < và 1( )
2i
X q < 
Bài 7.4 
Vẽ đồ thị lưu đồ tín hiệu có 16 điểm sử dụng thuật toán FFT cơ số 4 chia theo thời gian 
trong đó dãy đầu vào có trật tự bình thường và các tính toán được thực hiện tại chỗ. 
Bài 7.5 
Vẽ đồ thị lưu đồ tín hiệu có 16 điểm sử dụng thuật toán FFT cơ số 4 chia theo thời gian, 
trong đó dãy vào và dãy ra có trật tự bình thường. 
1−( )iX q 
( )iX p 
1( )iX q+ 
1( )iX p+ 
 43
ĐÁP ÁN CHƯƠNG VII 
Bài 7.1 
Để minh hoạ cho thủ tục tính toán ở trên, chúng ta hãy xem xét việc tính một DFT 15=N 
điểm. 1553 =×=N nên ta chọn 5=L và 3=M . Mặt khác chúng ta lưu dãy ( )nx 15 điểm 
theo kiểu cột như sau: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )142,491,440,4
132,381,330,3
122,271,220,2
112,161,110,1:2
102,051,000,0
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
===
===
===
===
===
:5Hµng
:4Hµng
:3Hµng
Hµng
:1Hµng
Bây giờ chúng ta tính lần lượt DFT 3 điểm của các hàng. Việc tính toán này dẫn đến mảng 
5×3 sau : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2,41,40,4
2,31,30,3
2,21,20,2
2,11,10,1
2,01,00,0
FFF
FFF
FFF
FFF
FFF
11 
12 
13 
1 
5 
10 
0 
14 
6 
7 
2 
8 
3 
9 
4 
DFT 3 điểm ( )3=M 
lq
NW
0 
1 
2 
5 
8 
11
14
DFT 5 điểm ( )5=L 
Tính toán DFT với 15=N điểm bằng tích của các DFT 3 điểm và 5 điểm. 
 44
Trong bước tiếp theo cần phải nhân mỗi giá trị ( )qlF , với hệ số pha lqlqN WW 15= , với 
40 ≤≤ l và 20 ≤≤ q . Việc tính toán này dẫn đến mảng 5×3 : 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2,41,40,4
2,31,30,3
2,21,20,2
2,11,10,1
2,0
3
1,00,0
GGG
GGG
GGG
GGG
GGG
Cét2Cét1Cét
Bước cuối cùng là tính toán DFT 5 điểm lần lượt cho 3 hàng. Việc tính toán lần cuối này ta 
nhận được các giá trị mong muốn của DFT ở dạng : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )142,491,440,4
132,381,330,3
122,271,220,2
112,161,110,1
102,051,000,0
xXxXxX
xXxXxX
xXxXxX
xXxXxX
xXxXxX
===
===
===
===
===
Minh hoạ trong hình 9.9 thể hiện các bước tính toán này. 
Ta cần quan tâm đến việc dãy dữ liệu được phân chia và kết quả DFT ( )kX được lưu trong 
các mảng một chiều. Khi dãy đầu vào ( )nx và dãy đầu ra của DFT ( )kX trong các mảng hai 
chiều được đọc chéo từ hàng 1 sang hàng 5 thì các dãy chúng ta nhận được là : 
DÃY ĐẦU VÀO 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )149141383127211611050 xxxxxxxxxxxxxxx 
DÃY ĐẦU RA 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14131211109876543210 XXXXXXXXXXXXXXX
Chúng ta thấy rằng dãy đầu vào bị xáo trộn từ các trật tự bình thường trong tính toán DFT. 
Mặt khác, dãy đầu ra lại tuân đúng với trật tự. Trong trường hợp này việc sắp xếp lại mảng đầu 
vào phụ thuộc vào việc phân đoạn của mảng một chiều thành mảng hai chiều và trật tự mà theo đó 
các tính toán DFT được tính. Việc xáo trộn của dãy dữ liệu đầu vào hoặc dãy dữ liệu đầu ra này là 
một đặc tính chung của hầu hết các thuật toán tính toán FFT. 
 45
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 8 
Bài 8.1 
Cho bộ lọc có hàm truyền đạt 
( ) 2
2
1
1
2
2
1
10
1 −−
−−
++
++=
zaza
zbzbbzH 
Hãy biểu diễn bộ lọc theo dạng trực tiếp 
Bài 8.2 
Cho bộ lọc có hàm truyền đạt 
( ) 2
2
1
1
2
2
1
10
1 −−
−−
++
++=
zaza
zbzbbzH 
Hãy biểu diễn bộ lọc theo dạng chuẩn tắc trực tiếp II 
Bài 8.3 
Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 4 6 1 2y n y n x n x n x n+ − = + − + − 
Hãy thể hiện hệ thống ở dạng trực tiếp 
Bài 8.4 
Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.5 1 2 2 2 3 1 2 2y n y n y n x n x n x n+ − + − = + − + − 
Hãy vẽ sơ đồ hệ thống ở dạng chuẩn tắc trực tiếp 2 
Bài 8.5 
Cho hệ thống với hàm truyền đạt 
( ) 1 21 2 3 43 2 0.52 2 3 0.5
z zH z
z z z z
− −
− − − −
+ += + + + + 
Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống ở dạng trực tiếp và chuẩn tắc. 
Bài 8.6 
Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 1 2 ( 3) 2 1 0.5 2y n y n y n y n x n x n x n+ − + − + − = + − + − 
Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống ở dạng trực tiếp và chuẩn tắc. 
Bài 8.7 
Cho một lọc dàn 3 tầng với các hệ số 
3
1,
2
1,
4
1
321 === kkk , hãy tìm các hệ số bộ lọc FIR 
có cấu trúc dạng trực tiếp. 
 46
Bài 8.8 
Cho một lọc dàn 5 tầng với các hệ số 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1, , , ,
4 2 3 4 2
k k k k k= = = = = , hãy tìm các hệ 
số bộ lọc FIR có cấu trúc dạng trực tiếp. 
Bài 8.9 
 Tìm các hệ số dàn tương ứng với bộ lọc FIR có hàm hệ thống: 
( ) ( ) 3213 3
1
8
5
24
131 −−− +++== zzzzAzH 
Bài 8.10 
Tìm các hệ số dàn tương ứng với bộ lọc FIR có hàm hệ thống: 
( ) ( ) 1 22 1 11 2 8H z A z z z− −= = + + 
ĐÁP ÁN CHƯƠNG VIII 
Bài 8.1 
Bài 8.2 
Bài 8.3 
Phải đưa về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.5 1 2 3 1 0.5 2y n y n x n x n x n+ − = + − + − 
( )ny 0b ( )nx 
2b 
1b 
+
1a− 
2a− 
+
1−z
+ +
1−z1−z 
1−z 
2b
( )ny ( )nx 0b 
1b 
+
+
1a− 
−a2 
+ 
+ 
1−z
1−z
 47
Bài 8.4 
Chuyển như bài 8.2 ta có 
Bài 8.5 
Cách làm tương tự bài 8.1, 8.2 
Bài 8.6 
Cách làm tương tự bài 8.1, 8.2 
Bài 8.7 
Ta giải bài toán theo phương pháp đệ quy với 1=m . Như vậy, ta có: 
( ) ( ) ( )
11
1
0
1
101
4
111 −−
−
+=+=
+=
zzk
zBzkzAzA
Từ đó các hệ số của bộ lọc FIR tương ứng với dàn 1 tầng là ( ) 101 =α , ( ) 411 11 == kα . Vì 
( )zBm là đa thức nghịch đảo của ( )zAm , nên ta có: 
( ) 11 4
1 −+= zzB 
Kế tiếp ta cộng thêm tầng thứ hai vào dàn. Đối với 2=m , cho: 
( ) ( ) ( )
21
1
1
212
2
1
8
31 −−
−
++=
+=
zz
zBzkzAzA
2
( )ny ( )nx 2 
3 
+
+
−2 
+
+
1−z
1−z
( )ny 0b ( )nx 
2b 
1b 
+
0.5−
+
1−z
+
1−z 
1−z 
 48
Do đó các tham số bộ lọc FIR tương ứng với dàn hai tầng là ( ) ,102 =α 
( ) ( )
2
12,
8
31 22 == αα . Và ta cũng có: 
( ) 212 8
3
2
1 −− ++= zzzB 
Cuối cùng, việc bổ xung thêm tầng thứ 3 vào dàn sẽ dẫn đến đa thức: 
( ) ( ) ( )
321
2
1
323
3
1
8
5
24
131 −−−
−
+++=
+=
zzz
zBzkzAzA
Vì vậy, bộ lọc FIR dạng trực tiếp cần tìm được đặc trưng bởi các hệ số: 
( ) ,103 =α ( ) ( ) 852,24131 33 == αα và ( ) 3
133 =α 
Bài 8.8 
Cách làm tương tự bài 8.7 
Bài 8.9 
Trước hết ta lưu ý rằng ( )
3
1333 ==αK . Hơn nữa: 
( ) 3213 24
13
8
5
3
1 −−− +++= zzzzB 
Hệ thức giảm bước với 3=m có: 
( ) ( ) ( )
21
2
3
333
2
2
1
8
31
1
−− ++=
−
−=
zz
K
zBKzAzA
Vì thế ( )
2
1222 ==αK và ( ) 212 8
3
2
1 −− ++= zzzB . Bằng sự lặp lại phép đệ quy hạ tầng 
bước ta đạt được: 
( ) ( ) ( )
1
2
2
222
1
4
11
1
−+=
−
−=
z
K
zBKzAzA
Do đó ( )
4
1111 ==αK 
Bài 8.10 
Cách làm tương tự bài 8.9 
 49
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 9 
Bài 9.1 
Cho tín hiệu: 
1 0 6
( ) 6
0
n n
x n
n
⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪ ≠⎩
Hãy xác định tín hiệu khi đi qua bộ phân chia với hệ số M=2 
Bài 9.2 
( ) 1 2 3 4 5 6 72 3 2 3 2X z z z z z z z z− − − − − − −= + + + + + + 
Hãy xác định tín hiệu ( )MY z↓ với M=2 
Bài 9.3 
Cho phổ tín hiệu 
/ 2π π 3
2
π/ 2π−π− ω
( )jX e ω
3
2
π−
Hãy xác định ( )2 jY e ω↓ 
Bài 9.4 
Cho ( ) 1 0 63
0
n n
x n
n
⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪ ≠⎩
Hãy xác định: ( )2y n↑ 
Bài 9.5 
Cho tín hiệu ( ) { }1,3,3,1x n = . Tín hiệu này qua bộ nội suy với L = 2. 
Tìm X(z) = ? và ( ) ?LY z↑ = 
Bài 9.6 
Cho phổ tín hiệu 
 50
/ 2π π 3
2
π/ 2π−π− ω
( )jX e ω
3
2
π−
Hãy xác định ( )2 ?jY e ω↑ = 
Bài 9.7 
Cho 2 sơ đồ 
Sơ đồ 1: 
( ) ( ) ( ) ( )H zL L LHX z Y z Y z↑ ↑ ↑⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ 
Sơ đồ 2: 
( ) ( ) ( ) ( )H z LH H LX z Y z Y z↑ ↑⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ 
Hãy chứng minh 2 sơ đồ tương đương. 
Bài 9.8 
Cho tín hiệu: ( ) 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7X z z z z z z z− − − − − −= + + + + + + 
Tín hiệu này đi qua bộ lấy mẫu 2
3
↓↑ và 2
3
↑↓ . Tìm ( )2
3
?Y z
↓↑
= và ( )2
3
?Y z
↑↓
= 
Bài 9. 9 
Cho ( ) ( )2x n rect n= 
( ) 1 0 33
0
n n
h n
n
⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪ ≠⎩
Tính ( )2 ?Hy z↓ = 
Bài 9. 10 
Cho ( ) ( )2x n rect n= 
( ) 1 0 33
0
n n
h n
n
⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪ ≠⎩
Tính ( )2 ?HY z↑ = 
 51
ĐÁP ÁN CHƯƠNG IX 
Bài 9.1 
Tương tự ví dụ 9.1 ta có: sau khi chuẩn hoá tín hiệu đi qua bộ phân chia 
là: ( ) ( )2 2.y n x n↓ = 
( )2 0y↓ = 1; ( )2 1y↓ = 2/3; ( )2 2y↓ = 1/3; 
Bài 9.2 
Cách làm giống ví dụ 9.2 
Bài 9.3 
Cách làm giống ví dụ 9.3 
Bài 9.4 
( )2 0, 1 , 2 ,...
0
nx n L L
y n L
n
↑
⎧ ⎛ ⎞ = ± ±⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ ≠⎩
Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 22 20 1 2 33 3y y y↑ ↑ ↑= = = 
Bài 9.5 
( ) 1 2 3 43 3X z z z z z− − − −= + + + 
( ) 2 4 6 82 3 3Y z z z z z− − − −↑ = + + + 
Bài 9.6 
( ) ( )22 j jY e X eω ω↑ = 
Ta vẽ ra thấy phổ bị nén lại một nửa giống ví dụ 9.6 
Bài 9.7 
Sơ đồ 1: 
( ) ( ) ( ) ( )H zL L LHX z Y z Y z↑ ↑ ↑⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ 
( ) ( )LLY z X z↑ = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .LLH LY z Y z H z X z H z↑ ↑= = 
Sơ đồ 2: 
( ) ( ) ( ) ( )H z LH H LX z Y z Y z↑ ↑⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ 
 52
( ) ( ) ( )HY z X z H z= 
( ) ( ) ( ) ( ).L L LHH LY z Y z X z H z↑ = = 
Kết luận: 2 sơ đồ tương đương 
L↑ ( )H Lz L↑ 
Bài 9.8 
Cho tín hiệu: ( ) 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7X z z z z z z z− − − − − −= + + + + + + 
Tín hiệu này đi qua bộ lấy mẫu 2
3
↓↑ và 2
3
↑↓ . Tìm ( )2
3
?Y z
↓↑
= và ( )2
3
?Y z
↑↓
= 
Bài 9. 9 
( ) 11X z z−= + 
( ) 1 22 11
3 3
H z z z− −= + + 
( ) ( ) ( ).HY z X z H z= 
( ) 1 2 1 21 2 2 2 22
0
1 .
2
j l j l
H
l
Y z X z e H z e
π π− −
↓
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 
( )
1 1
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
( ) ( )
1 [ ( ) ( ) ( ) ( )]
2
H H
H
Y z Y z
Y z X z H z X z H z↓
−
= + − −	
 	
Cứ thế ta tiếp tục tính tương tự như ví 9.10 
Bài 9. 10 
( ) 11X z z−= + 
( ) ( )2 22 1Y z X z z−↑ = = + 
( ) 1 22 11
3 3
H z z z− −= + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 . .HY z Y z H z X z H z↑ ↑= = 
Từ đây ta thực hiện tương tự giống ví dụ 9.14