Báo cáo Đề tài Thiết kế bộ điều khiển PID bằng đáp ứng tần số - Lê Trung Công

: 
 Hiệ hỉ h độ d t ữ h dù h há tí hu c n ự r p a ng p ương p p c
phân biểu đồ Bode
Hiệu chỉnh độ dự trữ pha
+R( ) Y( )G(s)Gc(s)
-
s s
Hàm truyền PID 1( ) 1c p dG s K sTsT
     
Hàm truyền vòng hở ( ) ( ). ( )cL s G s G s
i
Hiệu chỉnh độ dự trữ pha
G(s)Gc(s)
+R(s) Y(s)
-
Đáp ứng tần số của hệ thống
ề ể
1( ) 1G j K j T    
ố ( ) ( ) ( )L j G j G j
Bộ đi u khi n PID c p d
ij T  
Hệ th ng vòng hở .c  
Hiệu chỉnh độ dự trữ pha
Từ đó dẫn tới
( )( ) ( ) dG jdL j dG j  ( ). ( ). ccG j G jd d d    
Mặt khác ( ) ( ) ( )LnG j Ln G j j G j    
( )( ) ( )dLn G jdLnG j d G jj
d d d
 
  
  
Hiệ hỉ h độ d ữ hu c n ự tr p a
1( ) 1G j K j T     Bộ điều khiển PID
( ) 1dG j  
c p d
ij T 
2
c
p d
i
jK T
d T

     
Hiệu chỉnh độ dự trữ pha
Từ đây ta có công thức tính L(j)
2
1
dj TT
       ( ) ( )
( )1 ( )1
i
p
d
dLnG j K G j
d dLnG j d G jj T j
d d
   
           ij T     
Hiệ chỉnh độ dự trữ phau 
Góc pha của hệ thống sau khi hiệu chỉnh
( )d G
0
2 2( 1) ( 1) ( ) ( )
Ln j
d
T T T T s s T
 
    
   
  0 0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
. .
arctan
( ) ( )( . 1)
d i d i a p i
a i p d is T s T T   

 
Với 0
0 0 0 0
( )
ln ( ) ( )( ) | ; ( ) |P
G j
d G j d G js s
 
    
    0 0a d d  
Hiệ hỉ h độ d ữ hu c n ự tr p a
Từ đây, để đạt được góc pha mong muốn sau hiệu chỉnh , ta 
dẫn ra công thức xác định Td
0 0 0 0 0 0 0( ) 1 ( ) tan( ) ( ( ) ( ) tan( )
d
a a i p a
T
s s T s s        

     
2
0 0 0 0(1 ( ) ( ) tan( ))i a pT s s      
Với 0
0 0 0 0
( )
ln ( ) ( )( ) | ; ( ) |P
G j
d G j d G js s
 
    
    0 0a d d  
Hiệ chỉnh độ dự trữ phau 
Nhận xét:
+ Ta đã tìm được công thức xác định Td của bộ điều
ểkhi n PID
+ công thức xác định Sa(0) và Sa(0) còn khá phức
tạp cần công thức xấp xỉ 2 đại lượng trên 
BODE ‘S INTEGRALS
BODE ‘S INTEGRALS
Í Â Ứ ỦI - T CH PH N TH 1 C A BODE
ln ( )1( ) ln coth
d G j v
G j dv
   0 2d 
Với lnv  Và ln ( )d G j là độ dố ê biể đồ B d0 d c tr n u o e
Gỉa sử độ dốc của biểu đồ Bode về biên độ không thay đổi 
ấ ằlân cận 0 . Lúc đó góc pha G(j) được x p xỉ b ng
ln ( ) ln ( )1 1( ) ln coth |
d G j v d G j
G j dv
     00 2d d    
BODE ‘S INTEGRALS
Í Â Ứ ỦI - T CH PH N TH 1 C A BODE
Từ đây dẫn tới
0 00 0 0
ln ( ) ln ( ) 2( ) | | ( )a
d G j d G j
s G j
d d 
      
v 
BODE ‘S INTEGRALS
Í Â Ứ ỦII- T CH PH N TH 2 C A BODE
0 ( ( ) / )ln ( ) ln ln coth
vd G jG j K dv       2g dv 
Với Kg là độ lợi tĩnh của đối tượng. Gỉa sử G(j) tuyến 
tí h th ở lậ ận eo  n c n 0
2
0 ( ( ) / )ln ( ) ln
2g
d G jG j K
dv
    
 
2
0
2
( ) ( )ln ( ) ln d G j G jG j K          
0 02
g d   
BODE ‘S INTEGRALS
Í Â Ứ ỦII - T CH PH N TH 2 C A BODE
Từ đây dẫn tới
00 0
( )( ) |p
d G js
d 
  
 
2( ) ln ln ( )gG j K G j       
Lưu ý: với hệ thống có khâu tích phân thì không tính 
được độ lợi tĩnh
BODE ‘S INTEGRALS 
III – Ảnh hưởng thời gian trễ 
Đáp ứng tần số của hệ thống có trễ
j( ) ( )G j G j e   
Với là thời i t ễ
sa(0) và sb(0) cho hệ thống có trễ được xác định như sau
  g an r
2
0 0 0( ) ( ( ) )
2
as G j    
 0( ) ( ) ln ln ( )p gs G j K G j       
Ế ẾTHI T K PID
G(s)PID
+
-
R(s) Y(s)
( ) ( )c c c dG j G j       ( ) ( ) 1c c cG j G j  
cos( )d cK    
( )
1 t ( )
P
cG j
T
  and c d c
i cT
   
Ế ẾTHI T K PID
G(s)PID
+
-
R(s) Y(s)
1T 
 
( tan( ))
( ) ( ) tan( ) tan( )1
i
c d c d c
a c p c d c c
T
s s
T
  
    
         
2 (1 ( ) tan( ) ( )d c a c d c p cs s   
       
Ế ẾTHI T K PID
G(s)PID
+
-
R(s) Y(s)
Thiết kế bộ điều khiển PID cho đối tượng, thoả mãn POT<10%, 
( )
sTeG s


ts < 2s
(0, 21 1)(4 1)s s 
Ế ẾTHI T K PID
G(s)PID
+
-
R(s) Y(s)
Chọn: Độ dự pha của hệ thống sau hiệu chỉnh M=70o và c = 
5 rad/s 
 =70o và  = 5 rad/sM c 
 Sau hiệu chỉnh ta mong muốn, 
 Tần số cắt biên: c= 2 rad/s và độ dự trữ phaM=75o 
 Tại tần số cắt biên mới, Góc pha G(jc): c = -
114o và |G(jc)|=0.23
 Sơ bộ chọn  3 2o= - ,
 0 02( ) ( )s G j    
2 114 0,066.2 1,1826
a c
      180
 2( ) ( )G j 0 0
2 114 0 066 2 1 1826
a cs   


    , . ,180  
2( ) ( ) ln ln ( )s G j K G j       0
114 2 (ln 0 665 ln 0 23) 1 3138
p g 
  , , ,
180   
tan( ) tan(75 114) 0,1584M     c
tan( ) tan( 3, 2 114) 2,6325c      
 ( ) ( ) tan( ) tan( )1
2 (1 ( ) tan( ) ( )
a c p c d c c
d
s s
T
s s
    
   
         
( 1,1826 1,3138.0,1584).( 2,6325)1 1,0562
(1 1 1826) 0 1584 1 31382 2
c a c d c p c  
       , . , ,.  
1 1 0,2559
( tan( )) 2(1,0562.2 0,1584)i c d c d c
T
T       
2 2
0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
( . 1) ( . 1) ( ) ( )
arctan
( ) ( )( . 1)
114
d i d i a p i
a i p d i
T T T T s s T
s T s T T
         

      

2 2
2 2
180
(1, 056.0, 256.2 1) (1, 056.0, 256.2 1).1,183 1,314.0, 256.2arctan
 
     
ầ ế ầ ố
1,183.0, 256.2 1,314.(1, 056.0, 256.2 1)  
3, 2

 
 chọn lúc đ u và k t quả tính lại g n gi ng nhau
nên ta chấp nhận kết quả chọn lúc đầu.
 Đáp ứng của hệ thống khi có PID
 Biểu đồ Bode:
4 Điều chỉnh PID vòng kín:. 
 Trong phần trước, giả sử rằng biên độ và pha của đối tượng
tại tần số cắt được biết đến hoặc được đo bằng một thí
ề ể ế ầ ốnghiệm với một bộ đi u khi n hiện có. Tuy nhiên, n u t n s
cắt mong muốn là khác nhau với đo được, một giải pháp
phân tích như trình bày trong phần trước không thể thực
hiện được. 
 Ngoài ra, mặc dù các đường cong Nyquist của hàm truyền
đi qua một điểm với pha mong muốn, nó không phải là đảm
bảo rằng điểm này cung cấp độ dự trữ pha mong muốn (đó
là có thể là đường cong Nyquist cắt nhiều lần vòng tròn đơn
vị). Vì vậy, một bài kiểm tra thông tin phản hồi tiếp thêm sử
dụng bộ điều khiển mới nên được thực hiện để xác nhận
chất lượng mong muốn trên hệ thống thực.
 Trong phần này một phương pháp điều chỉnh lặp đi lặp lại, 
trong miền tần số được đề xuất. Điều đặc biệt của phương
pháp này là các độ dốc của các tiêu chí là xấp xỉ sử dụng
tích phân của Bode và không có mô hình của đối tượng
được yêu cầu.
 4.1 Điều chỉnh độ dự trữ pha:
 Một tiêu chuẩn chất lượng trong miền tần số được xác định như sau:
 Trong đó ρ là vector của các thông số điều khiển, ωc và ωd được tương
ứng đo được và tần số cắt mong muốn, và Φm và Φd là đo được và độ
dự trữ pha mong muốn. Sai số giữa đo được và giá trị mong muốn
được chuẩn hóa để có cùng trọng số cho mỗi biến trong các tiêu chí
đ lấ Điề à t á h đ ấ đề ố h t á th ật t á lặ điược y. u n y r n ược v n s ọc rong c c u o n p
lặp lại. Trong kế tiếp bước, các thông số điều khiển giảm thiểu các tiêu
chí thu được bằng công thức Newton lặp đi lặp lại:
 Ma trận R có thể được chọn bằng ma trận đơn vị hoặc theo tiêu chuẩn
Hessian để được hội tụ nhanh hơn (phương pháp Gauss-Newton).
 Cũng nên chú ý: độ dốc của đường cong Nyquist cũng có thể được điều
chỉnh cùng một lúc. Thực tế, trong trường hợp này, các vector của các
thông số chỉ chứa Kp và Ti.

Số hạng đầu tiên trong phương trình trên tương
ế ếđương với ∂∠ K(jωc)/∂ρ là hoàn toàn được bi t đ n tại
mỗi lần lặp. Hơn nữa người ta có:
Các hệ số đã được biết , chỉ còn lại ∂ωc/∂ρ . Thực tế
ỗ ầ ằlà các vòng lặp tại ωc trong m i l n lặp b ng 1, do đó
đạo hàm (hoặc đạo hàm của logarit của nó) đối với ρ 
với sẽ bằng không. Sau đó ta có: 
Từ tích phân bode ta có: , 
Đối với tiêu chuẩn Hessian:
Hai hệ số cuối cùng có thể được bỏ qua vì có ảnh
hưởng không dang kể . Do đó , tiêu chuẩn Hessian 
đơn giản hóa việc tính toán nên cải thiện tốc độ hội
tụ:
Điều chỉnh độ dự trữ pha nó có thể không làm việc
một cách thích hợp đối với một số hệ thống bậc cao
phức tạp.Do đó , cần điều chỉnh độ dự trữ pha và độ
dự trữ biên ở cùng một thời điểm Tuy nhiên điều . , 
này đòi hỏi hai thí nghiệm trong mỗi lần lặp: một để
đo độ dự trữ pha và một cho độ dự trữ biên. Một tiêu
h ẩ tầ ố ó thể đ đị h hĩ hc u n n s c ược n ng a n ư sau:
Trong đó Ku = | L (jωu) | là biên độ của hàm truyền
nơi mà nó giao với thực âm trục (∠L (jwu) =-π). wu là
ầ ốt n s lặp tới hạn, Kd là nghịch đảo của độ dự trữ
biên mong muốn. Độ dốc của tiêu chí được đưa ra
bởi:
Trong đó, K'u được tính bởi :
ố ầ ằ íHệ s đ u b ng |G(jωu)| · ∂|K(jωu)|/∂ρ . từ t ch
phân bode ta có:
Trong mỗi lần lặp∠ L (jωu) =-π và do đó đạo hàm đối
với ρ với sẽ bằng 0:
Số hạng đầu tiên trong phương trình trên tương
đương ∂∠ K(jωu)/∂ρ Hơn nữa ta có:. 
Hệ số đầu tiên bên phải tính được trong khi hệ số thứ
h i ó thể ấ ỉ bằ tí h hâ b d D đóa c x p x ng c p n o e . o 
∂ωu/∂ρ được tính:
Một cách tương tự, xấp xỉ của Hessian cũng có thể
được tính như sau:
4.3 ví dụmô phỏng:
Tần số cắt : ωd = 0.2 rad/s , độ dự trữ pha Φd = 70º , 
Kd = 1/3 là nghịch đảo của độ dự trữ biên.
Bộ điều khiển ban đầu được thiết kế bằng cách sử dụng quy
ắ ề ỉ ế ồt c đi u ch nh Kappa-Tau mang đ n cho tính n định cho bộ
điều khiển :
 Tiêu chuẩn chất lượng được xem xét. Tần số cắt 0.139 
rad/s độ dự trữ pha 78 5º độ dự trữ biên 4 39 dB đưa . . , . , 
đến tiêu chuẩn chất lượng 0.104 . 
 Với các giá trị trên, tiêu chẩn Hessian được tính và ta thu
ề ểđươc bộ đi u khi n mới :
Tiêu chuẩn chất lượng 0.0017, tần số cắt 0.1997 rad/s . độ
dự trữ pha 66.0, độ dự trữ biên 2.97 dB. So sánh hiệu suất
giữa bộ điều khiển ban đầu và cuối cùng cho thấy đạt được 
thời gian quá độ nhỏ hơn với POT chỉ có 0,7% .
 Tham khảo:
PID Controller Tuning Using Bode’s Integrals
“Alireza Karimi, Daniel Garcia and Roland 
Longchamp†”