Bài tập Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc

Bài tập Xử lý số tín hiệu 
Chương 3: Các hệ thống thời gian 
rời rạc 
Bài 3.1 
 Xác định tính chất tuyến tính, bất biến của hệ thống 
1. y(n) = 3x(n) + 5 
2. y(n) = x2(n-1) + x(2n) 
3. y(n) = ex(n) 
4. y(n) = nx(n – 3) + 3x(n) 
5. y(n) = n + 3x(n) 
Giải câu 1 (các câu còn lại tương tự) 
 Kiểm tra tính tuyến tính: 
- Gọi y1(n), y2(n) là đầu ra tương ứng với đầu vào x1(n), x2(n) 
 y1(n) = 3x1(n) + 5 
 y2(n) = 3x2(n) + 5 
- Khi đầu vào là x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) thì đầu ra là 
 y(n) = 3x(n) + 5 
 = 3(a1x1(n) + a2x2(n)) + 5 
 = a1.3x1(n) + a2. 3x2(n) + 5 (1) 
 - Tổ hợp của y1(n) và y2(n) là 
a1.y1(n) + a2.y2(n) = a1[3x1(n) + 5] + a2[3x2(n) + 5] 
 = a1.3x1(n) + a2.3x2(n) + 5(a1 + a2) (2) 
- So sánh (1) và (2) thì y(n) khác a1.y1(n) + a2.y2(n) nên hệ 
thống không có tính tuyến tính 
Bài 3.1 
Bài 3.1 
 Kiểm tra tính bất biến 
- Cho tín hiệu vào là xD(n) = x(n – D), gọi đầu ra tương 
ứng là yD(n): 
 yD(n) = 3xD(n) + 5 = 3x(n – D) + 5 
- Đầu ra y(n) làm trễ đi D mẫu là 
 y(n – D) = 3x(n – D) + 5 
- yD(n) = y(n – D)  hệ thống có tính bất biến 
Bài 3.2 
 Xác định đáp ứng xung nhân quả của hệ thống LTI có pt 
I/O sau: 
 y(n) = 4x(n) + x(n – 1) + 4x(n – 3) 
Giải 
 Cho đầu vào x(n) = (n)  đầu ra y(n) = h(n) 
 Vậy: h(n) = 4(n) + (n – 1) + 4(n – 3) 
 hay: h = [4; 1; 0; 4] 
Bài 3.3 
 Xđ đáp ứng xung nhân quả h(n) khi n ≥ 0 của hệ thống 
LTI có: y(n) = - 0.81y(n – 2) + x(n) 
Giải 
- Cho x(n) = (n) => y(n) = h(n) 
- Thay vào pt I/O suy ra: h(n) = - 0.81h(n – 2) + (n) 
- Nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0 
- h(0) = - 0.81h(-2) + (0) = 1 
- h(1) = - 0.81h(-1) + (1) = 0 
- h(2) = - 0.81h(0) = - 0.81 
- h(3) = - 0.81h(1) = 0 
Bài 3.3 
 Tóm lại 
h(n) = 0 với n < 0 
Với n ≥ 0 thì: 
 h(n) = 0 với n lẻ 
 h(n) = (-0.81)n/2 với n chẵn 
Bài 3.4 
 Xác định pt I/O đối với hệ thống LTI có đáp ứng xung 
 h(n) = (-0.6)nu(n) 
Giải 
h(n) = [1 -0.6 (-0.6)2 (-0.6)3  ] 
Áp dụng công thức tích chập: 
y(n) = h(n)*x(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + h(2)x(n – 2) +  
 y(n) = x(n) + (-0.6)x(n – 1) + (-0.6)2x(n – 2) +  
 = x(n) + (-0.6)[x(n – 1) + (-0.6)x(n – 2) + 
 (-0.6)2x(n – 3) + ] 
Bài 3.4 
Mà y(n – 1) = h(0)x(n – 1) + h(1)x(n – 2) + h(2)x(n – 3) +  
 = x(n – 1) + (-0.6)x(n-2) + (-0.6)2x(n – 3) +  
 y(n) = x(n) + (-0.6)y(n – 1) 
Vậy phương trình vi sai I/O của hệ thống là: 
 y(n) = - 0.6y(n – 1) + x(n)