Bài tập về tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz

CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 1 
Bài tập về tiêu chuẩn ổn định đại số 
Routh – Hurwitz 
Bài tập 1: Cho hệ thống như Hình 1. Hệ thống vòng kín có 
ổn định không? 
Giải: 
PTĐT: 
( ) ( )
( )( )( )
0
3 2
1 0
10001 0
2 3 5
10 31 1030 0
CG s G s
s s s
s s s
+ =
⇔ + =
+ + +
⇔ + + + =
( )( )( )
1000( )
2 3 5
( ) 1
O
C
G s
s s s
G s
=
+ + +
=
Hình 1 
C(s) R(s) GC(s) Go(s) 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 2 

 Dùng tiêu chuẩn Routh 
Bảng Routh: 
S3 1 31 
S2 10→1 1030→103 
S1 -72 0 
S0 1030 0 
(Ở hàng s2 ta chia các hệ số cho 10 để dễ tính toán mà 
không ảnh hưởng đến kết quả) 
Kết luận: Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên hệ thống 
không ổn định, 2 cực bên phải mpp. 

 Dùng tiêu chuẩn Hurwitz 
Ma trận Hurwitz: 
10 1030 0
1 31 0
0 10 1030
H = 
Các định thức con: 
1
2
3 2
1 0
10 1030
310 1030 720 0
1 31
1030* 0
∆ = >
∆ = = − = − <
∆ = ∆ <
Kết luận: Vì tất cả các định thức con không dương nên 
hệ không ổn định. 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 3 
Bài tập 2: Xét ổn định của PTĐT sau: 
5 4 3 22 3 6 5 3 0s s s s s+ + + + + = 
Giải: 
Bảng Routh: 
S5 1 3 5 
S4 2 6 3 
S3 0 → ε 7/2 0 
S2 6  7

 0 
3 0 
S1 42  49  6
12  14
 0 
0 0 
S0 3 0 0 
Kết luận: PTĐT không ổn định, có 2 nghiệm bên phải 
mpp. 
Bài tập 3: Xét ổn định của PTĐT sau: 
5 4 3 27 6 42 8 56 0s s s s s+ + + + + = 
Giải: 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 4 
Bảng Routh: 
S5 1 6 8 
S4 7→1 42→6 56→8 
S3 0→4→1 0→12→3 0→0→0 
S2 3 8 0 
S1 1/3 0 0 
S0 8 0 0 
Hàng s3 có các hệ số bằng 0 → lập đa thức phụ 
( )
( )
4 2
3
6 8
4 12
A s s s
dA s
s s
ds
= + +
⇒ = + 
Kết luận: PTĐT ổn định vì các hệ số cột 1 bảng Routh 
dương. 
Bài tập 4: Cho hệ thống như Hình 4. Hệ thống vòng kín có 
ổn định không? 
ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. 
( )3 2
200( )
6 11 6
( ) 1
O
C
G s
s s s s
G s
=
+ + +
=
Hình 4 
C(s) R(s) GC(s) Go(s) 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 5 
Bài tập 5: Cho hệ thống như Hình 5. Hệ thống vòng kín có 
ổn định không? 
ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. 
Bài tập 6: Cho hệ thống như Hình 6. Tìm K để hệ thống 
vòng kín ổn định? 
ĐS: 0 < K < 1386. 
( )0 4 3 2
1( )
2 3 2 3 2
( ) 1
c
G s
s s s s s
G s
=
+ + + +
=
Hình 5 
C(s) R(s) GC(s) Go(s) 
( )( )0( ) 7 11
( ) 1
c
KG s
s s s
G s
=
+ +
=
Hình 6 
C(s) R(s) GC(s) Go(s) 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 6 
Bài tập 7: Cho hệ thống như Hình 7. Tìm K để hệ thống 
vòng kín ổn định? 
ĐS: 0 < K < 2. 
Bài tập 8: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ 
PTTT sau: 
[ ]
0 3 1 10
2 8 1 0
10 5 2 0
1 0 0
x x
y x
    
    
= +    
    − − −   

=
ɺ
Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc 
Hurwitz. 
ĐS: Hệ thống không ổn định, 1 cực bên phải mpp. 
( )
( )( )0
20( )
2 3
( ) 1
c
K s
G s
s s s
G s
+
=
+ +
=
Hình 7 
C(s) R(s) GC(s) Go(s) 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 7 
Bài tập 9: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ 
PTTT sau: 
[ ]
2 1 1 0
1 7 1 0
3 4 5 1
0 1 0
x x
y x
    
    
= +    
    − −   

=
ɺ
Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc 
Hurwitz. 
ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. 
Bài tập 10: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )0 4 3 20.25 0.4353.456 3.457 0.719 0.0416
K s
G s
s s s s
+
=
+ + + + 
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn 
định. 
ĐS: -0.382 < K < 25.87. 
Bài tập 11: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s) 
sau: 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 8 
( ) 3 276.39151.32 198 76.39k
KG s
s s s K
=
+ + + 
Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định. 
ĐS: 0 < K < 392.2. 
Bài tập 12: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s) 
sau: 
( ) ( )( )4 3 2
0.25 0.10925
3.483 3.465 0.25 2.4288 0.10925k
s K
G s
s s s K s K
+
=
+ + + + +
Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định. 
ĐS: 0 < K < 26.42. 
Bài tập 13: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )( )( )( )0
3 5
2 4
K s s
G s
s s
+ +
=
− −
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn 
định. 
ĐS: K > 6/8. 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 9 
Bài tập 14: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )( )( )0 2
2 2
3
K s s
G s
s
+ −
=
+ 
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn 
định. 
ĐS: -1 < K < 3/4. 
Bài tập 15: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )( )0 4
1
2
K s
G s
s s
+
=
+ 
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn 
định. 
ĐS: Không tồn tại K. 
Bài tập 16: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )( )( )( )0 2
2 4 5
3
K s s s
G s
s
− + +
=
+ 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 10 
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn 
định. 
ĐS: 1/54 < K < 3/40. 
Bài tập 17: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )( )( )( )0 2
2
1 4 1
K s
G s
s s s
+
=
+ + − 
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn 
định. 
ĐS: Không tồn tại K. 
Bài tập 18: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 
( ) ( )( )( )0 15 27 38
KG s
s s s
=
+ + + 
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị dao 
động. 
ĐS: K = 144690, tần số dao động 44.73 rad/s. 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 11 
Bài tập 19: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: -1/2 < K < 1. 
Bài tập 20: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: 0 < K. 
- 
+ 
1
s
  2s  1

  2  2 
R(s) C(s) 
Hình 19 
- 
+ 
s  6
s  7
Ks  2
ss  1s  3
 R(s) 
C(s) 
Hình 20 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 12 
Bài tập 21: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: -0.36772 < K. 
Bài tập 22: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: -0.1429 < K < 1.1759. 
Hình 21 
 1 
s  10
s
  0.6s  9
Ks  1
s  4.85
- 
+ R(s) C(s) 
0.7
s
  1.7s  0.25
 1 
1
s  0.4
 K 
0.1
s  0.1
R(s) C(s) 
- 
+ 
Hình 22 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 13 
Bài tập 23: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: 0 < K < 29908.07. 
Bài tập 24: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: 0 < K < 1.0192. 
10
s
  10s  29
Ks  0.01s  6
ss  20s  100
Hình 23 
C(s) 
- 
+ R(s) 
200
s
  12s  100
Ks  0.6s  6
s  0.1s  100
500
ss  6
Hình 24 
C(s) 
- 
+ R(s) 
CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 14 
Bài tập 25: Cho hệ thống sau: 
Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định. 
ĐS: 0.00509 < K. 
7570
s  62.61s  62.61
Ks  0.8s  103
s
Hình 25 
C(s) 
- 
+ R(s)