Bài tập môn học EE2000 tín hiệu và hệ thống - Hoàng Minh Sơn

ào u(t) của hệ thống là 
một sóng xung vuông tuần hoàn chu kỳ T = 2s minh họa trên hình vẽ. 
a) Tính đáp ứng tần số của hệ thống 
b) Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu vào 
c) Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu ra. 
t 
u(t)
-T/3
. . . . . . 
0
1
TT/3 
 8
Chương 4: Đáp ứng tần số và lọc tín hiệu 
23. Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây, cho điện áp vào u(t) = cos(t) 
với mọi giá trị t. 
Hãy chỉ ra đồ thị nào trên hình vẽ dưới đây biểu diễn điện áp ra của mạch điện. 
u(t) u(t)y(t) y(t)
(a) (b) 
 9
24. Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua 
điện trở R1. 
a) Hãy xác định đáp ứng tần số (hàm đặc tính tần) của mạch điện. 
b) Biểu diễn đáp ứng tần số của mạch điện trên đồ thị Bode. 
25. Xác định đáp ứng tần số của mỗi mạch điện trong bài tập 23 bằng 3 cách: 
a) Dẫn xuất trực tiếp từ phương trình vi phân 
b) Dẫn xuất từ đáp ứng xung 
b) Dẫn xuất từ mô hình trong không gian trạng thái 
 Vẽ đồ thị Bode để thể hiện đáp ứng tần số của mỗi mạch điện. 
26. Đáp ứng tần số của một hệ liên tục được biểu diễn trên đồ thị Bode trên hình bên 
trái dưới đây. Đồ thị đáp ứng thời gian của hệ với tín hiệu vào u(t)=sin(2t) được 
biểu diễn ở hình bên phải. 
Nghiên cứu kỹ mối liên hệ giữa đồ thị đáp ứng tần số và đồ thị đáp ứng thời gian đã 
được phác hoạ trên hình vẽ và qua hai biểu thức: 
4 20
0 10 0.63
(160 360)*(2 2) 1.4 ( )
y
t sπ
−= ≈
Δ = ≈ 
a) Thực hiện tương tự như ví dụ trên, hãy kẻ thêm các đường nét cần thiết và đưa ra 
hai biểu thức liên hệ giữa đặc tính tần và đặc tính thời gian cho từng trường hợp tín 
hiệu vào là: 
i) ( ) sin(0.5 )u t t= 
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
P
ha
se
 (d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10 15 20 25 30
-1
-0.5
0
0.5
1
Time(sec)
System response to sinusoidal input sin(2t)
input u(t)
output y(t)-4 
-160 
2 
y0 
Δt
 10
ii) ( ) 2sin( )u t t= 
iii) ( ) 1.5sin(10 )u t t= 
b) Vẽ phác đồ thị biểu diễn tín hiệu ra y(t) cho từng trường hợp trong câu a). 
c) Những tín hiệu vào dạng sin nằm trong dải tần số nào thì được hệ thống cho qua 
với hệ số khuếch đại xấp xỉ bằng nhau (và bằng bao nhiêu)? 
d) Tín hiệu vào dạng sin có tần số bao nhiêu thì khi tín hiệu ra tiến tới trạng thái 
dao động điều hoà thì biên độ tín hiệu ra xấp xỉ bằng biên độ tín hiệu vào? Tín hiệu 
vào dạng sin có tần số bao nhiêu thì được hệ thống khuếch đại lên nhiều nhất? 
e) Những tín hiệu (không nhất thiết dạng sin) có dải tần số (tức phạm vi tần số của 
các thành phần trong chuỗi Fourier/ảnh Fourier) như thế nào thì khi qua hệ thống 
bị suy giảm ít nhất 10 lần? 
27. Đáp ứng tần số của một hệ liên tục được biểu diễn trên đồ thị Bode dưới đây. 
a) Tần số gãy của hệ thống (tần số mà tại đó độ dốc của đường đặc tính biên độ có 
thay đổi lớn – hay chính là điểm uốn của đường đặc tính pha) là bao nhiêu? 
b) Những tín hiệu vào dạng sin có tần số nhỏ hơn tần số gãy thì được hệ thống cho 
qua với hệ số khuếch đại bằng bao nhiêu? 
c) Cho tín hiệu vào dạng sin có tần số bằng bao nhiêu thì khi tín hiệu ra tiến tới 
trạng thái dao động điều hoà biên độ tín hiệu ra xấp xỉ bằng biên độ tín hiệu 
vào? 
d) Cho tín hiệu vào ( ) sin(0.01 ) sin(0.6 )u t t t t= + ∀ , hãy xác định (một cách xấp xỉ) 
và vẽ đồ thị tín hiệu ra y(t). 
e) Có thể nhận biết/khẳng định qua đồ thị những tính chất nào của hệ thống: 
i) Bậc của hệ thống? 
ii) Thời gian trễ? 
iii) Hệ số khuếch đại tĩnh? 
iv) Tính tuyến tính? 
v) Tính ổn định? 
-15
-10
-5
0
5
10
10
-2
10
-1
10
0
-90
-45
0
P
ha
 (O
) 
B
iê
n 
độ
 (d
B
) 
Tần số (rad/s) 
 11
Chương 5. Phép biến đổi Laplace và hàm truyền hệ liên tục 
28. Một hệ liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân: 
( ) ( )0.5 ( ) 2 ( )dy t du ty t u t
dt dt
+ = − 
trong đó u(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra. 
a) Xác định hàm truyền của hệ thống 
b) Xác định hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống (tức tỉ số giữa tín hiệu ra và tín 
hiệu vào khi hệ thống ở trạng thái xác lập). 
c) Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi tín hiệu vào 
0( )
0 0
te tu t
t
−⎧⎪ ≥⎪= ⎨⎪ <⎪⎩ 
29. Hãy xác định hàm truyền cho mỗi sơ đồ mạch điện trong bài 23 và 24. Xác định và 
vẽ đồ thị vị trí các điểm cực-điểm không của mạch điện. 
30. Với mỗi hệ thống có đồ thị điểm cực-điểm không dưới đây: 
 Hãy tính toán và vẽ đồ thị biểu diễn đáp ứng bước nhảy đơn vị của hệ (tín hiệu ra 
của hệ khi tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị) biết rằng đáp ứng này tiến tới 1 khi 
t →∞ . Vẽ đồ thị Bode biểu diễn đáp ứng tần số của hệ thống. 
31. Một hệ tuyến tính liên tục có đáp ứng bước nhảy đơn vị minh họa trên hình bên trái 
và đồ thị điểm cực-điểm không trên hình bên phải. Biết rằng tất cả điểm cực và 
điểm không đều là đơn lẻ. 
Im(s) 
-4 0 -1 Re(s)
Im(s)
0-1 Re(s) 
(a) (b)
1 
-1
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
0 1 2 3 4 5 6
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
ag
 A
xi
s
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 12
a) Dựa vào các đồ thị, có thể nói gì về các tính chất của hệ thống: 
- Hệ số khuếch đại tĩnh? 
- Bậc của hệ thống? 
- Tính ổn định? 
b) Xác định hàm truyền của hệ thống 
c) Vẽ phác đồ thị Bode thể hiện đáp ứng tần số của hệ thống (kẻ các đường tiệm cận 
và vẽ đường cong xấp xỉ). 
32. Một hệ tuyến tính liên tục có đồ thị điểm cực-điểm không dưới đây, biết rằng không 
có điểm cực, điểm không nào là bội. Cho biết hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống là 
2 và hệ không có trễ. 
a) Xác hàm truyền của hệ thống. 
b) Vẽ phác đáp ứng xung và đáp ứng bước nhảy của hệ thống. 
c) Vẽ phác đồ thị Bode thể hiện đáp ứng tần số của hệ thống. 
d) Vẽ phác lại đáp ứng xung và đáp ứng bước nhảy của hệ thống cho trường hợp hai 
điểm cực liên hợp phức của hệ thống: 
- được dịch sang trái 1 đơn vị 
- được dịch sang phải 1 đơn vị. 
33. Cho 6 hệ tuyến tính liên tục được mô tả bởi các hàm truyền dưới đây: 
1 2 3 2
4 5 62 2
2 2 2( ) , ( ) , ( )
2s+1 10s+1 10s 11s+1
1 1 2( ) , ( ) , ( )
1 1 10s 1
G s G s G s
G s G s G s
s s s
= = =
+
= = =
+ + + − +
Pole-Zero Map
Real Axis 
Im
ag
 A
xi
s 
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 
0.2
0.4
0.6
0.8
1 
 13
Đồ thị đáp ứng bước nhảy đơn vị của mỗi hệ và đồ thị đáp ứng tần số của một số hệ 
được thể hiện trên các hình vẽ dưới đây. Hãy liên hệ các đồ thị này với các hàm 
truyền tương ứng (ghi tên hàm truyền tương ứng ô phía dưới các đồ thị thích hợp). 
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
d
e
0 10 20 30 40 50 60
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
d
e
0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 10 20 30 40
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
ud
e
0 10 20 30 40 50 60
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
ud
e
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
d
e
0 2 4 6 8 10 12
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
 14
-100
-50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10
-2
10
0
10
2
-180
-90
0
P
ha
se
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-20
-10
0
10
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
P
ha
se
 (d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-100
-50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-90
0
P
ha
se
 (
de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-20
0
20
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
P
ha
se
 (d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
 15
Chương 6. Trích mẫu và khôi phục tín hiệu 
34. Âm thanh con người nghe được nằm trong phạm vi tần số từ 20Hz đến 20.000Hz. Để 
số hoá âm nhạc, ta cần trích mẫu với chu kỳ tối đa bằng bao nhiêu? 
35. Để trích mẫu các tín hiệu sau đây ta cần chọn chu kỳ trích mẫu tối đa bằng bao 
nhiêu để tránh hiện tượng trùng phổ: 
a) 
sin( )( ) cos(10 ) 2
tx t t t
ππ= 
b) 4
sin( )( ) 1( )t tx t e t t
π
π
−= ∗ 
36. Một tín hiệu điện áp liên tục v(t) có dải tần giới hạn ω < 5 rad/s bị nhiễu bởi một 
tín hiệu dạng sin ( ) sin(120 )d t tπ= . 
a) Nếu trích mẫu tín hiệu bị nhiễu vd(t) với tần số 13 rad/ssω π= thì có xảy ra ở đây 
hiện tượng trùng phổ hay không (giải thích). Nếu có xảy ra hiện tượng trùng phổ thì 
tín hiệu nhiễu có thể lẫn với thành phần tín hiệu tần số bao nhiêu? 
b) Trước khi trích mẫu ta cho tín hiệu bị nhiễu vd(t) qua một mạch RC như sau đây 
Hãy tính toán giá trị RC sao cho nhiễu d(t) được lọc với hệ số suy giảm bằng 60dB. 
+ +
v(t) 
d(t)
vd(n) Trích mẫu vd(t)
 16
Chương 7: Phép biến đổi Z và hàm truyền hệ không liên tục 
37. Xác định ảnh Z của các tín hiệu không liên tục sau đây: 
a) 11 2( ) ( ) 1( 3)
nx n n= − 
b) 12 3( ) (1 )( ) 1( )
nx n n n= + 
c) | |13 2( ) ( )
nx n n= 
d) 
38. Xác định và vẽ phác đồ thị hàm gốc của các ảnh Z sau đây: 
a) 1
1( ) 1X z z= − 
b) 2 2
1( )
( 1)
X z
z z
= − 
c) 3 2
1( )
1
X z
z z
=
+ + 
d) 
22
4
1( ) zX z z
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
39. Cho đồ thị điểm không-điểm cực của các hệ không liên tục như sau: 
a) Những đồ thị nào biểu diễn hệ ổn định? 
b) Những đồ thị nào biểu diễn hệ nhân quả? 
c) Những đồ thị nào biểu diễn hệ nhân quả và ổn định? 
40. Cho hệ không liên tục được mô tả bởi hàm truyền: 
2
( 0.8)( )
( 0.8 0.64)( 2)
z zG z
z z z
−= − + + với miền hội tụ 0.8 < |z| < 2 
G1(z) G2(z) G3(z) G4(z) 
0 n
x4(n) 
1 2 3 4
 -2 -1 
1 
-1
 17
a) Vẽ đồ thị điểm cực-điểm không của hệ thống. 
b) Xác định tính ổn định và tính nhân quả của hệ thống 
c) Xác định đáp ứng xung của hệ thống. 
41. Cho hệ không liên tục được mô tả bởi hàm truyền: 
2
2
2( )
0.5
z zG z
z z
+ −=
+ + 
a) Vẽ đồ thị điểm cực-điểm không của hệ thống. 
b) Xác định tính ổn định và tính nhân quả của hệ thống 
c) Xác định phương trình sai phân tương ứng mô tả hệ thống.