Bài tập lớn Lý thuyết tạo hình

Câu 1: 
Viết phương trình và vẽ đường hypoxycloid
-Giả sử có đường tròn bán kính r lăn không trượt trên đường tròn R như hình vẽ. Khi đó quỹ đạo của 1 điểm M cách đường tròn 1 khoảng không đổi kr sẽ tạo thành đường hypoxycloid kéo dài.
- Xác định phương trình điểm M 
Giả sử có hệ trục cố định Oyxz, tâm O của hệ trục trùng với tâm đường tròn bánh kính R.
Hệ trục toạ độ động gắn với bánh nhỏ, tâm đường tròn bán kính r trùng với tâm của hệ toạ độ động.
Tại thời điểm ban đầu có
Xác định toạ độ điểm M trong hệ toạ độ Oxyz
Tại thời điểm bất kỳ điểm M tới vị trí Mv , hệ trục toạ độ động ở vị trí O2x2y2z2, trục O2x2 quay được 1 góc , tâm hệ trục toạ độ động quay 1 góc , góc hợp bởi phương của đường thẳng qua tâm hệ trục cố định và tâm hệ trục động với O2x2 là .
Ta có : = + 
Toạ độ điểm M là:
Trong hệ trục Oxyz ta có:
Trong hệ trục toạ độ động O2x2y2z2 toạ độ của điểm Mv là:
Vậy toạ độ điểm M trong hệ trục toạ độ đi qua O2 và có các trục song song với Ox và Oy là :
O2M = 
Trong đó là ma trận chuyển từ hệ trục toạ độ đi qua O2 và có các trục song song với Ox và Oy sang hệ trục O2x2y2z2 với góc quay là -
Ta có:	 = 
Vậy 
rM = + .
Ta lại có = + và R. = r.
Do đó: 
Vậy ta có phương trình đường Hypoxycloid là 
Đây là hình vẽ và chương trình vẽ đường Hypoxycloid trên Matlab lấy các giá trị R =120 , r=20 , k = 1,5
Chương trình vẽ trên Matlab
%Cac thong so co ban
phi = 0:0.01:4*pi;
k = 1.5;
r = 20;
R = 120;
a = R-r;
b = a/r;
%---------------------------------
%Thong so ve duong tron
x1=R*cos(phi);
y1=R*sin(phi);
%----------------------------------
%Thong so ve duong Hypoxycloid
x2=a*cos(phi)+k*r*cos(b*phi);
y2=a*sin(phi)- k*r*sin(b*phi);
%-----------------------------------
%Lenh ve
plot(x,y ,x2,y2, 'k-');
axis equal;
Câu 2
Cho cặp bánh răng chốt ăn khớp ngoài như hình vẽ. Biết Z1 = 20, 
Z2 = 40, r1 = 60 mm, d = 10 mm, t = 6π mm. Hãy tìm biên hình bánh răng.
Giả sử bánh răng 2 cố định, khi đó tâm của vòng tròn của chốt trên bánh 1 lăn không trượt trên bánh răng 2 sẽ tạo thành đường Hyopxycloid, còn biên hình của bánh răng 2 là đường cong tiếp xúc với đường tròn có tâm là tâm chốt chuyển động trên đường Hyopxycloid, bán kính là bán kính chốt, ký hiệu (C,d/2). Ta phải tìm biên hình của bánh răng 2, tức là tìm bao hình của họ đường tròn (C,d/2). Gọi P là tâm quay tức thời của bánh răng 1, nối P và C, gọi giao điểm của đường thẳng đi qua PC và đường tròn (C,d/2) là M và M’. Khi đó quỹ tích của điểm M và M’ là bao hình của họ đường tròn (C,d/2). Ta xác định phương trình của điểm M. Phương trình của điểm M’ tương tự.
Giả sử có hệ tọa độ cố định Oxy có tâm trùng với tâm bánh răng 2, hệ trục tọa độ động Ovxvyv có tâm trùng với tâm bánh răng 1 lăn không trượt trên bánh 2, các trục tương ứng song song với các trục Ox, Oy.
Xét tại thời điểm bất kỳ, hệ tọa độ động ở vị trí O1x1y1. So với thời điểm ban đầu tâm bánh răng 1 quay được 1 góc φ2, đồng thời bánh răng 1 cũng lăn được 1 góc φ1 . Do bánh răng 1 lăn không trược trên bánh răng 2 nên ta có:
Tìm tọa độ điểm C trong hệ tọa độ cố định. Ta có 
Trong hệ tọa độ Oxy ta có:
Trong hệ tọa độ O1x1y1 ta có:
Vậy tọa độ điểm C trong hệ tọa độ cố định Oxy là:
Xét đoạn CM, đường thẳng qua CM hợp với phương song song với Oy một góc . Do đó ta có độ dài của CM theo phương Ox và Oy là:
Vậy tọa độ điểm M trong hệ tọa độ Oxy là:
Với ta có:
Theo bài ra ta có Z1 = 20, Z2 = 40, r1 = 60 mm, d = 10 mm. Do đó 
Vậy ta có phương trình của điểm M là:
Suy ra phương trình của điểm M’ là:
Phương trình của điểm C
Ta có hình vẽ và chương trình vẽ biên hình của bánh răng ứng với 1 chốt trên Matlap
Chương trình vẽ trên Matlab
phi = 0:0.01:4*pi;
%------------------------------
%Toa do diem M
xm = 120*cos(phi);
ym = 5;
%-------------------------------
%Toa do diem C
xc= 120*cos(phi);
yc=0;
%--------------------------------
%Thong so ve banh rang lon
x= 120*cos(phi);
y = 120*sin(phi);
%---------------------------------
%Cac thong so ve chot
xchot1=120+5*cos(phi);
ychot1=5*sin(phi);
xchot2=-120+5*cos(phi);
ychot2=5*sin(phi);
xchot3=5*cos(phi);
ychot3=5*sin(phi);
%---------------------------------
%Cac thong so ve banh rang nho
xbanh11=60+60*cos(phi);
ybanh11=60*sin(phi);
xbanh12=-60+60*cos(phi);
ybanh12=60*sin(phi);
xbanh13=60*cos(phi);
ybanh13=60+60*sin(phi);
xbanh14=60*cos(phi);
ybanh14=-60+60*sin(phi);
%-----------------------------------
%Lenh ve
plot(x,y,xm,ym,xm,-ym,xc,yc,xchot1,ychot1,xchot2,ychot2,xchot3,ychot3,xbanh11,ybanh11,xbanh12,ybanh12,xbanh13,ybanh13,xbanh14,ybanh14);
axis equal;
Câu 3 : Viết phương trình và vẽ đường xoắn vít trái
Giả sử có điểm M trong hệ toạ độ cố định Oxyz thực hiện cùng lúc 2 chuyển động: chuyển động tịnh tiến theo phương Oz với vận tốc u và chuyển động quay quanh trục Oz với vận tốc góc w trong đó . Khi đó quỹ đạo của điểm M tạo thành đường xoắn vít trái.
- Lập phương trình của điểm M:
Giả sử có hệ toạ độ động gắn với điểm M trong đó MÎOvxv và OvM = ro. Tại thời điểm ban đầu ta có:
Toạ độ điểm M trong hệ toạ độ cố định Oxyz là:
Toạ độ điểm M trong hệ toạ độ động là:
Vậy ta có :
Trong đó MOV là ma trận chuyển đổi toạ độ từ hệ trục Oxyz sang hệ trục . Từ vị trí Mo , điểm M quay quanh trục Oz một góc j và tịnh tiến một đoạn p.j dọc trục Oz. Khi đó hệ trục toạ độ cũng quay quanh trục Oz một góc j và tịnh tiến một đoạn p.j dọc trục Oz. Vậy ma trận chuyển đổi toạ độ từ hệ trục Oxyz sang hệ trục là:
Vậy ta có phương trình:
Đây là phương trình của đường xoắn vít trái
Ta có hình dạng đường xoắn vít trái với p = -6; ro = 10
Đây là hình vẽ và chương trình vẽ trên Matlap
Chương trình vẽ trên Matlab
%Khoang cach toi truc z
r = 10;
%Buoc xoan
p = -6; 
phi = [0:0.01:10*pi];
x = r*cos(phi);
y = r*sin(phi);
z = p*phi;
plot3(x,y,z,'k-');
Câu 4 : Viết phương trình và vẽ mặt xoắn vít thân khai
Giả sử có đường xoắn vít t với bước xoắn p. Có đường thẳng D là tiếp tuyến với đường xoắn vít t và cũng thực hiện chuyển động xoắn vít với bước xoắn p. Khi đó mặt do D tạo ra khi chuyển động là mặt xoắn thân khai
*Lập phương trình mặt xoắn thân khai
Chọn Oxyz là hệ toạ độ cố định, là hệ toạ độ động gắn với D.
 Tại thời điểm ban đầu giả sử có điểm Mo Ît, ta có:
- Xác định phương trình đường thẳng D trong hệ tọa độ động
Giả sử D thuộc mặt phẳng song song với Oyvzv, cắt trục Oxv tại điểm có toạ độ (ro,0,0).
Xét 1 điểm M ÎD là tiếp điểm của D và t, toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ động là: M(ro,0,0)
Từ M kẻ đường thẳng Mx’ song song với trục Ox, khi đó gọi góc hợp bởi Mx’ và D là l. Đây cũng là góc nâng của đường xoắn vít t. Gọi M’ là điểm bất kì trên D, kí hiệu độ dài đoạn MM’ = t. Ta có toạ độ điểm M’ trong hệ toạ độ động là
Vậy phương trình đường thẳng D trong hệ toạ độ động là:
Khi đó, phương trình đường thẳng D trong hệ toạ độ Oxyz là:
Trong đó Mov là ma trận chuyển từ hệ toạ độ Oxyz sang hệ toạ độ . Tại vị trí như hình vẽ hệ trục toạ độ quay được 1 góc j so với hệ trục Oxyz và tịnh tiến được một đoạn p.j
Do đó: 
Vậy ta có
Biểu diễn mặt xoắn vít thân khai với ro=10 , p = 5
Chương trình vẽ trên Matlab
%-------------------------
%Ban kinh hinh tru chu duong xoan vit
r =10;
%Buoc xoan
p = 5; 
a = r/(r*r + p*p);
b = p/(r*r + p*p);
phi = 0:0.25:5*pi;
t = linspace(0,40,15);
[phi,t]= meshgrid(phi,t);
%--------------------------------------
%Cac toa do cua mat xoan vit
x = r*cos(phi)-t.*sin(phi)*cos(a);
y = r*sin(phi)+t.*cos(phi)*cos(a);
z = t*sin(b) + p*phi;
surf(x,y,z);
axis equal;
Tài liệu tham khảo
1. Matlab và Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động
Tác giả: Nguyễn Phùng Quang