Bài tập Giải tích A1 - Lê Xuân Đại

 < δ luôn có |f(x)− A| < ε.
Định nghĩa 2.1.3 (theo Gene)
Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a, nếu như với mọi dãy
∀(xn) ⊂ X\a hội tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f(xn)→ A.
2.2 Giới hạn của hàm số từ một phía
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là 1 số nào đó. Xét tập hợp
X+a = {x ∈ X \ x > a} và X−a = {x ∈ X \ x < a}.
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp
X+a (X
−
a ).
17
Định nghĩa 2.2.1 (giới hạn của hàm số từ 1 phía)
Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x→ a từ bên phải (từ bên trái) nếu
như
lim
x→a,x∈X+a
f(x) = A ( lim
x→a,x∈X−a
f(x) = A)
Chúng được kí hiệu là lim
x→a+0
f(x), f(a+ 0) và lim
x→a−0
f(x), f(a− 0)
Ví dụ.
f(x) = signx =

1, x > 0
0, x = 0
−1, x < 0
Dễ dàng thấy rằng
f(0 + 0) = lim
x→0+0
f(x) = 1
còn
f(0− 0) = lim
x→0−0
f(x) = −1.
Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X+a = {x ∈ X \ x > a} và tập hợp X−a = {x ∈
X \ x < a}. Khi đó a cũng là điểm giới hạn của tập hợp X. Khi đó ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1 (về mối quan hệ giữa giới hạn từ 2 phía và từ 1 phía của hàm số tại 1 điểm.)
Đẳng thức lim
x→a
f(x) = A tương đương với 2 đẳng thức sau
lim
x→a+0
f(x) = A
lim
x→a−0
f(x) = A
2.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và +∞(−∞,∞) là điểm giới hạn của tập
hợp X.
Định nghĩa 2.3.1 Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → +∞(x →
−∞, x → ∞) nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số ∃N = N(ε) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X
thỏa mãn bất đẳng thức x > N(x N) luôn có bất đẳng thức |f(x)− A| < ε.
18
2.4 Giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X
này.
Định nghĩa 2.4.1 Số +∞(−∞,∞) được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a nếu
như với mọi ∀M > 0 tồn tại số δ = δ(M) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn bất
đẳng thức |x− a| M(f(x) M).
2.5 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và +∞(−∞,∞) là điểm giới hạn của tập
hợp X.
Định nghĩa 2.5.1 Số +∞(−∞,∞) được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x→ +∞(x→
−∞, x→∞) nếu như với mọi ∀M > 0 tồn tại số ∃N = N(M) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X
thỏa mãn bất đẳng thức x > N(x N) luôn có bất đẳng thức f(x) > M(f(x) <
−M, |f(x)| > M).
2.6 Giới hạn vô cùng bé của hàm số
Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập
hợp X.
Định nghĩa 2.6.1 Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé khi x → a, nếu như giới
hạn của nó bằng 0 : lim
x→a
α(x) = 0.
2.7 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp
X.
Định nghĩa 2.7.1 Hàm số f(x) được gọi là hàm vô cùng lớn khi x → a nếu lim
x→a
|f(x)| =
+∞.
19
2.8 Tính chất của hàm vô cùng bé
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm
giới hạn của tập hợp X.
1o Nếu hàm số α = α(x) và β = β(x) là hàm vô cùng bé khi x → a thì hàm số
α± β = α(x)± β(x) cũng là hàm vô cùng bé khi x→ a.
2o Nếu α = α(x) là hàm vô cùng bé khi x → a thì với mọi ∀c ∈ R tích c.α(x) cũng là
hàm vô cùng bé khi x→ a.
3o Nếu α = α(x) và β = β(x) là hàm vô cùng bé khi x→ a thì tích của nó α.β = α(x).β(x)
cũng là hàm vô cùng bé khi x→ a.
2.9 Giới hạn của hàm hợp
Định lý 2.9.1 Cho lim
x→a
f(x) = b, lim
y→b
g(y) = c và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với mọi ∀x ∈
X \ a thỏa mãn bất đẳng thức |x − a| < δ0 luôn có f(x) 6= b thì giới hạn của hàm hợp là
lim
x→a
g(f(x)) = c.
2.10 Những giới hạn cơ bản
1. lim
x→0
sin x
x
= 1
2. lim
x→0
(1 + x)
1
x = e
3. lim
x→0
loga(1 + x)
x
= logae =
1
ln a
(a > 0, a 6= 1)
4. lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
5. lim
x→0
ax − 1
x
= ln a(a > 0, a 6= 1)
6. lim
x→0
ex − 1
x
= 1
7. lim
x→0
(1 + x)µ − 1
x
= µ(µ ∈ R)
8. lim
x→0
n
√
1 + x− 1
x
= 1
n
(n ∈ N)
9. lim
x→0
√
1 + x− 1
x
= 1
2
20
2.11 So sánh hàm vô cùng bé
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập xác định X ⊂ R và số a ∈ R là
điểm giới hạn của tập hợp X.
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R là những hàm vô
cùng bé khi x→ a, khi đó nếu như
1. lim
x→a
α(x)
β(x)
= 0 thì α(x) được gọi là hàm vô cùng bé có bậc cao hơn β(x).
2. lim
x→a
α(x)
β(x)
= c 6= 0(c ∈ R) thì α(x), β(x) được gọi là hàm vô cùng bé có cùng bậc.
3. lim
x→a
α(x)
β(x)
=∞ thì α(x) được gọi là hàm vô cùng bé có bậc thấp hơn β(x).
4. không tồn tại lim
x→a
α(x)
β(x)
hữu hạn hay vô cùng thì α(x), β(x) được gọi là những hàm vô
cùng bé không so sánh được.
2.12 Những hàm vô cùng bé tương đương
Định nghĩa 2.12.1 Những hàm vô cùng bé α = α(x) và β = β(x) khi x → a được gọi là
tương đương nếu như lim
x→a
α(x)
β(x)
= 1.
Định lý 2.12.1 (nguyên lý thay thế hàm vô cùng bé tương đương.)
Cho hàm vô cùng bé α = α(x) khi x→ a tương đương với hàm vô cùng bé α = α(x) còn
hàm vô cùng bé β = β(x) khi x→ a tương đương với hàm vô cùng bé β = β(x). Khi đó luôn
có đẳng thức
lim
x→a
α(x)
β(x)
= lim
x→a
α(x)
β(x)
nếu như có ít nhất 1 trong 2 giới hạn trên tồn tại.
Bảng những hàm vô cùng bé tương đương.
Khi x→ 0 những hàm vô cùng bé sau tương đương.
1. sin x ∼ x
2. tan x ∼ x
3. 1− cosx ∼ 1
2
x2
4. ax − 1 ∼ x. ln a(a > 0, a 6= 1)
ex − 1 ∼ x
5. loga(1 + x) ∼ x loga e = xln a(a > 0, a 6= 1)
ln(1 + x) ∼ x
21
6. (1 + x)µ − 1 ∼ µ.x(µ ∈ R)
√
1 + x− 1 ∼ x
2
n
√
1 + x− 1 ∼ x
n
(n ∈ N)
2.13 So sánh hàm vô cùng lớn
Cho hàm số f(x) và g(x) xác định trên cùng 1 tập xác định X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới
hạn của tập hợp X.
Cho hàm số f(x) và g(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R là những hàm vô cùng lớn khi
x→ a, khi đó nếu như
1. lim
x→a
f(x)
g(x)
=∞ thì f(x) được gọi là hàm vô cùng lớn có bậc cao hơn g(x).
2. lim
x→a
f(x)
g(x)
= c 6= 0(c ∈ R) thì f(x), g(x) được gọi là hàm vô cùng lớn có cùng bậc.
3. lim
x→a
f(x)
g(x)
= 0 thì f(x) được gọi là hàm vô cùng lớn có bậc thấp hơn g(x).
4. không tồn tại lim
x→a
f(x)
g(x)
hữu hạn hay vô cùng thì f(x), g(x) được gọi là những hàm vô
cùng lớn không so sánh được.
Định nghĩa 2.13.1 Những hàm vô cùng lớn f(x) và g(x) khi x → a được gọi là tương
đương nếu như lim
x→a
f(x)
g(x)
= 1.
Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn.
1. lim
x→+∞
xα
ax
= 0 (a > 1)
2. lim
x→+∞
lnα x
xβ
= 0 (∀α >, β > 0)
2.14 Bài tập
2.14.1 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng bé
tương đương
Tìm giới hạn của những hàm số sau:
Bài 2.14.1 I = lim
x→0
ln(1 + x tan x)
x2 + sin3 x
22
Giải.
Ta có lim
x→0
ln(1+x tan x) = 0 và lim
x→0
x2 +sin3 x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những
vô cùng bé tương đương.
Khi x → 0 thì ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x) khi u(x) → 0 và
tan x ∼ x.
Khi x→ 0 thì x2 + sin3 x ∼ x2.
Vậy I = lim
x→0
x2
x2
= 1.
Bài 2.14.2 I = lim
x→0
ln(cosx)
ln(1 + x2)
Giải.
Ta có lim
x→0
ln(cosx) = 0 và lim
x→0
ln(1 + x2) = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những vô
cùng bé tương đương.
Khi x → 0 thì ln(cosx) = ln(1 + (cos x − 1)) ∼ cosx − 1 ∼ −x
2
2
vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x)
khi u(x)→ 0 và 1− cosx ∼ x2
2
.
Khi x→ 0 thì ln(1 + x2) ∼ x2.
Vậy I = lim
x→0
−x2
2
x2
= −1
2
.
Bài 2.14.3 I = lim
x→1
sin(ex−1 − 1)
lnx
Giải.
Ta có lim
x→1
sin(ex−1− 1) = 0 và lim
x→1
lnx = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những vô cùng
bé tương đương.
Khi x→ 1 thì sin(ex−1 − 1) ∼ ex−1 − 1 ∼ x− 1 vì sin(u(x)) ∼ u(x), eu(x) − 1 ∼ u(x) khi
u(x)→ 0.
Khi x→ 1 thì lnx = ln(1 + (x− 1)) ∼ x− 1.
Vậy I = lim
x→1
x− 1
x− 1 = 1.
Bài 2.14.4 I = lim
x→0
(ex − 1)(cos x− 1)
sin3 x+ 2x4
Giải.
Ta có lim
x→0
(ex − 1)(cos x − 1) = 0 và lim
x→0
sin3 x + 2x4 = 0 nên ta có thể thay chúng bằng
những vô cùng bé tương đương.
Khi x→ 0 thì ex − 1 ∼ x, cosx− 1 ∼ −x
2
2
nên (ex − 1)(cos x− 1) ∼ x(−x
2
2
) =
−x3
2
Khi x→ 0 thì sin3 x+ 2x4 ∼ x3.
Vậy I = lim
x→0
−x3
2
x3
= −1
2
.
23
Bài 2.14.5 I = lim
x→0
sin 2x+ 2arctan 3x+ 3x2
ln(1 + 3x+ sin2 x) + xex
2.14.2 So sánh những hàm vô cùng bé
Bài 2.14.6 Hãy so sánh hai vô cùng bé α(x) = x− sin x, β(x) = mx3,m 6= 0.
Bài 2.14.7 Tìm α, β để các vô cùng bé sau đây tương đương f(x) = x cosx− sin x, g(x) =
αxβ, khi x→ 0.
Bài 2.14.8 Tìm α, β để các vô cùng bé sau đây tương đương f(x) = x − x
2
2
− ln(1 +
x)x, g(x) = αxβ, khi x→ 0.
2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng
lớn tương đương
Tìm giới hạn của những hàm số sau:
Bài 2.14.9 I = lim
x→+∞
√
x2 + 4 + 2x+ 3
√
x√
x2 − 4 + x
Bài 2.14.10 I = lim
x→+∞
√
x2 + 14 + x√
x2 − 2 + x
Bài 2.14.11 I = lim
x→−∞
√
x2 + 14 + x√
x2 − 2 + x
Tìm giới hạn của những dãy số sau:
Bài 2.14.12 I = lim
n→∞
ln(n2 − n+ 1)
ln(n10 + n+ 1)
Bài 2.14.13 I = lim
n→∞
lg210n
lg2n
Bài 2.14.14 I = lim
n→∞
lg(n2 + 2n cosn+ 1)
1 + lg(n+ 1)
2.14.4 So sánh những vô cùng lớn
Bài 2.14.15 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x→ +∞ : 3x+ln3 x, x lnx,√3x, x(2+
sin4 x)
Bài 2.14.16 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x→ +∞ : 2x, x2, x2+sin4 x, x lnx
24
2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một biến dùng giới hạn cơ bản lim
x→0
(1+
u(x))
1
u(x) = e, biết rằng khi x→ a thì u(x)→ 0.
Bài 2.14.17 I = lim
x→+∞
(
x2 + 4
x2 − 4
)x2
Bài 2.14.18 I = lim
x→0
(1 + 2x4)
1
sin2 x
Bài 2.14.19 I = lim
x→0
(ln(e+ x))cotgx
Bài 2.14.20 I = lim
x→0
(1− tan2 x) 1sin2 2x
Bài 2.14.21 I = lim
x→0
(cosx)
1
x2
Bài 2.14.22 I = lim
x→∞
(
2x2 + 3
2x2 − 1
)x2
Bài 2.14.23 I = lim
x→∞
(
e
1
x +
1
x
)x
2.14.6 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f(x)g(x) khi x→ a
Tìm giới hạn của những dãy số sau:
Bài 2.14.24 I = lim
n→∞
n
√
n2.3n + 4n
Bài 2.14.25 I = lim
n→∞
n
√
n+ (−1)n
Bài 2.14.26 I = lim
n→∞
n
√
5n+ 1
n+ 5
Bài 2.14.27 I = lim
n→∞
n
√
2n2 − 5n+ 3
n5 + 1
Bài 2.14.28 I = lim
n→∞
n
√
n4 + 3n
n+ 5n
25