Bài giảng Xử lý tín hiệu số (Mới)

 đây : 
x(n ) = x (n + N)= x (n + lN ) 
Khi cần nhấn mạnh tính tuần hoàn , người ta ký hiệu dấu ~ phía trên . Ký hiệu : . 
b. Dãy có chiều dài hữu hạn : 
Một dãy được xác định với số hữu hạn N mẫu ta gọi là dãy có chiều dài hữu hạn với N là chiều dài của dãy . 
L: Toán tử chiều dài 
L[x(n )] = [0, 3] = 4 
c. Năng lượng của dãy : 
Năng lượng của một dãy x(n ) được định nghĩa như sau : 
Ví du 
d. Công suất trung bình của một tín hiệu 
Công suất trung bình của một tín hiệu được định nghĩa như sau : 
Dãy có năng lượng hữu hạn 
Dãy có năng lượng hữu hạn 
Dãy có năng lượng vô hạn ( không tồn tại thực tế ) 
1.1.3. Một số định nghĩa 
Hãy thực hiện 
e. Tổng của 2 dãy : 
Tổng của 2 dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập . 
Ví du: 
1.1.3. Một số định nghĩa 
Ví du: Hãy thực hiện 
f. Tích của 2 dãy : 
Tích của 2 dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập 
g. Tích với hằng số : 
Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với hằng số đó . 
1.1.3. Một số định nghĩa 
h. Trễ : 
Ta nói rằng dãy x 1 (n) là dãy lặp lại trễ của dãy x 2 (n) nếu có quan hệ sau đây : 
	 : nguyên 
Ví dụ 
Biểu diễn tín hiệu x(n ) được mô tả như sau : 
KL: Một dãy x(n ) bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng sau đây : 
Trong đó ta chú ý x(k ) là giá trị x(n ) tại thời điểm n = k, do vậy về mặt bản chất x(k ) và x(n ) khác nhau (n là biến thời gian rời rạc , k là chỉ số ), nhưng về mặt thể hiện x(n ) và x(k ) là như nhau . 
1.1.3. Một số định nghĩa 
1.2. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 
1.2.1 . Các hệ thống tuyến tính 
a. Một số khái niệm : 
Kích thích và đáp ứng : 
+ Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích 
+ Dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát . 
Toán tử T: 
	+ Một hệ thống tuyến tính đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra . 
b. Hệ thống tuyến tính : 
Đối với các hệ thống tuyến tính toán tử T phải tuân theo nguyên lý xếp chồng , tức là phải tuân theo quan hệ sau đây : 
1.2. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 
1.2.2 . Các hệ thống tuyến tính bất biến 
 a. Định nghĩa : 
Nếu ta có y(n ) là đáp ứng với kích thích x(n ) thì được gọi là bất biến nếu y(n - k) là đáp ứng với kích thích x(n - k). 
c. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính : 
Ta có biểu diễn của tín hiệu đầu vào 
Thực hiện biến đổi theo toán tử T ta xác định y(n ) 
 được gọi là đáp ứng xung . Đáp ứng xung đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống 
thay cho toán tử T. 
1.3. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN1.3.1. Các hệ thống tuyến tính  
a. Một số khái niệm . 
Kích thích và đáp ứng : 
+ Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích 
+ Dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát . 
Toán tử T 
+ Một hệ thống tuyến tính đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra . 
b. Hệ thống tuyến tính : 
Đối với các hệ thống tuyến tính toán tử T phải tuân theo nguyên lý xếp chồng , tức là phải tuân theo quan hệ sau đây : 
1.3.1 CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 
c. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính : 
Trong ta có biểu diễn của tín hiệu đầu vào 
Thực hiện biến đổi theo toán tử T ta xác định y(n ) 
 được gọi là đáp ứng xung .	 
Đáp ứng xung đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống thay cho toán tử T. 
1.3.2 . Các hệ thống tuyến tính bất biến  
a. Định nghĩa : 
Nếu ta có y(n ) là đáp ứng với kích thích x(n ) thì được gọi là bất biến nếu y(n - k) là đáp ứng với kích thích x(n - k). 
b. Phép chập (convolution): 
Dấu hoa thị (*) ký hiệu phép chập . 
Như vậy , đáp ứng ra của hệ thống TTBB sẽ bằng dãy vào chập với đáp ứng xung . 
Phương pháp tính phép chập 
Về nguyên tắc chúng ta phải tính y(n ) = x(n ) * h(n ) theo cách tìm từng giá trị y(n ) ứng với từng giá trị n cụ thể từ n = - ∞ đến n = ∞. 
n = 0  
n = 1  	 
n=2 ..... Cứ thay vào như vậy về nguyên tắc ta phải tính đến giá trị n = ∞. 
Đối với các giá trị n < 0 ta cũng phải tính lần lượt 
n = -1  	 
n = -2 và phải tính đến giá trị n = - ∞ 
Tập hợp các giá trị tìm được ta có kết quả phép chập y(n ) cần tìm . 
(n: -∞  ∞) 
Các bước tính phép chập bằng đồ thị  
Bước 1: Đổi biến n thành biến k, x(n ) -> x(k ), h(n ) -> h(k ), cố định h(k ) 
Bước 2: Quay h(k ) đối xứng qua trục tung để thu được h(-k ), tức h(0-k) ứng với n=0. 
Bước 3: Dịch chuyển h(-k ) theo từng giáa trị n, nếu n>0 dịch chuyển về bên phải , nếu n<0 dịch chuyển về phía trái ta thu được h(n-k ). 
Bước 4 Thực hiện phép nhân x(k).h(n-k ) theo từng mẫu đối với tất cả các giá trị của k. 
Bước 5 Cộng các giá trị thu được ta có một giá trị của y(n ), tổng hợp các kết quả ta có dãy y(n ) cần tìm . 
Lưu ý: ta có thể cố định h(k ) rồi lấy đối xứng x(k ) qua trục tung rồi tiến hành các bước như trên kết quả sẽ không thay đổi do phép chập có tính chất giao hoán . 
Ví dụ tính phép chập bằng đồ thị 
Cho một HTTTBB có : 
Hãy tìm đáp ứng ra của hệ thống y(n )? 
Giải : 
Ta thực hiện theo phương pháp tính phép chập bằng đồ thị : 
+ Đổi biến n thành biến k 
+ Giữ nguyên x(k ), lấy đối xứng h(k ) thành h(-k ) 
+ Dịch h(-k ) sang trái (n0) theo từng mẫu , sau đó tính từng giá trị của y(n ) ứng với từng n cụ thể như đồ thị sau . 
y(3) = 2,5 	y(6) = 0,75 
y(4) = 2,5	 	 y(7) = 0,25 
y(5) = 1,5	y(8) = 0 
y(-1) = 0 
Dựa vào kết quả tính toán , ta vẽ được đáp ứng ra của hệ thống : 
Các tính chất của phép chập 
Tính giao hoán : 
Tính kết hợp : 
Tính phân phối ( chập và cộng ): 
1.2.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 
Định nghĩa : Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở thời điểm bất kỳ n = n 0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm tương lai , n > n 0 . 
Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả : 
Định lý : Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả phải bằng 0 với n < 0 ( h(n ) = 0 với mọi n <0) 
- Một dãy nhân quả x(n ) nếu x(n ) = 0 với n < 0. 
Tinh phep chap cua HT TTBB nhân quả : 
- Nếu x(n ) nhân quả : 
x(k ) ≠ 0 khi k ≥ 0 
- Nếu h(n ) nhân quả : h(n ) ≠ 0 khi n ≥ 0: 
Vì h(n – k) ≠ 0 ; (n – k) ≥ 0  
1.2.4. Hệ thống tuyến tính bất biến và ổn định  
Định nghĩa : Một hệ thống tuyến tính bất biến gọi là ổn định nếu ứng với dãy bị chặn ta cũng có dãy ra bị chặn ( biên độ bị hạn chế ) 
Hệ thống này còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded Input Bounde Output) 
 Định lý về hệ thống ổn định : 
Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng xung h(n ) của nó thoả mãn điều kiện sau đây : 
Xét sự ổn định của các hệ thống có đáp ứng xung sau : 
 không ổn định 
nếu a < 1	  ổn định 	 
nếu a ≥ 1	 không ổn định 
1.4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 
, 
a k , b r : hệ số hằng . 
N: Bậc của phương trình 
a 0 = 1, thì 
, 
a k , b r đặc trưng cho hệ thống tương đương với đ áp ư ng xung h(n ) 
Có hai phương pháp giải PTSP: 
- Phương pháp thế 
- Phương pháp tìm nghiệm tổng quát : giải phương trình tìm nghiệm thuần 	 nhất,nghiệm riêng rồi xác định nghiệm tổng quát . 
Một HTTT bất biến về mặt toán học được mô tả bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát sau đây : 
VD:Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau : 
y(n ) = Ay(n-1) + x(n ) 
Hãy tìm đáp ứng xung h(n ) của PTSP đã mô tả với điều kiện : y(-1) = 0. 
Thay vào c ác giá trị cua n 
 n = 0:	 
h (0) = 1 (Do h(-1)=y(-1)=0) 
n = 1:	 
h (1) = A 
n = 2:	 
h (2) = A 2 
n = 3:	 
h (3) = A 3 
.................. 
Cứ thế tiếp tục ta có : 
1.5. CÁC HỆ THỐNG KHÔNG ĐỆ QUY VÀ ĐỆ QUY 
1.5.1. Các hệ thống không đệ qui 
Từ phương trình sai phân tổng quát : 
Trong trường hợp đặc biệt cho N = 0 thì : 
a 0 = 1: 	 
Định nghĩa : Một HTTT bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số 
hằng bậc 0 được gọi là hệ thống không đệ qui. 
Nhận xét : 
 phụ thuộc thời điểm hiện tại và các thời điểm quá khứ . 
- Hệ thống không đệ qui chính là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn . Ký hiệu FIR (Finite-Duration Impulse Response) 
- Hệ thống FIR luôn luôn ổn định  là đặc điểm ưu việt nhất của hệ thống này nên hay dùng trong đa số mạch điện . 
1.5.2. Hệ thống đệ qui 
Phương trình sai phân : 
Nếu N > 0, a 0 = 1: 
Định nghĩa : Một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân bậc N > 0 
được gọi là hệ thống đệ qui. 
Nhận xét : 
Trong trường hợp này đầu ra ( đáp ứng hệ thống ) không những chỉ phụ thuộc vào đầu vào ở các 
thời điểm hiện tại và quá khứ,mà còn phụ thuộc vào đầu ra ở các thời điểm quá khứ . 
N >0 , M = 0: ta có hệ thống đệ qui thuần túy 
1.6. THỰC HIỆN HỆ THỐNG 
1.6.1. Các phần tử thực hiện 
Có 3 phần tử chính để thực hiện hệ thống trong miền rời rạc như sau : 
+ Phần tử trễ 	+ Phần tử cộng 	+ Phần tử nhân 
Hệ thống không đệ qui	 
Hệ thống đệ qui	 
Hệ thống đệ qui thuần túy 
Ví dụ thực hiện Hệ thống 
Hãy biểu diễn HTTTBB được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây : 
Thực hiện HT bằng phần cứng 
1.7 TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU 
Tương quan chéo : 
Tương quan chéo giữa tín hiệu x(n ) với y(n ) ( một trong hai tín hiệu phải có năng lượng 
hữu hạn được định nghĩa như sau : 
Tự tương quan : 
Trong phép tương quan chéo khi x(n )  y(n ) ta có phép tự tương quan của tín hiệu x(n ) 
với chính nó và được định nghĩa như sau : 
Phép tương quan thường dùng để so sánh nhận biết các tín hiệu , phân biệt tín hiệu với nhiễu , phát hiện vật thể ... rất hay dùng trong các tín hiệu Radar dùng trong quân sự , có hai loại tương quan : 
Tổng kết 
1. Định lý lấy mẫu 
2. Phân loại tín hiệu , hệ thống xử lý tín hiệu . 
3. Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc . 
4. Các tín hiệu ( dãy ) cơ bản 
5. Các phép toán cơ bản 
6. Các khái niệm cơ bản 
7. Hệ thống tuyến tính bất biến. Đáp ứng xung h(n) 
8. Phép chập 
9. Hệ thống TTBB nhân quả , tín hiệu nhân quả . 
10. Phưong trình sai phân tuyến tính hệ số hằng . 
11. Thực hiện hệ thống 
12. Tương quan tín hiệu