Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Phân tích tín hiệu & Hệ thống rời rạc LTI trong miền tần số

a là một hàm lẻ theo Ω . 
Do đó, nếu biết phổ )(X Ω trong khoảng 0 đến π , ta có thể suy ra phổ trong toàn dải tần số. 
Chương IV 
- 75 - 
Để dễ giải thích phổ, tần số số Ω từ 0 đến π thường được chuyển đổi thành tần số tương tự f 
từ 0 đến fS/2 nếu tần số lấy mẫu là fS. 
Ví dụ: 
Tìm phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu chữ nhật: 
x[n] = u[n] - u[n-4] 
Ví dụ: 
Một mẩu nguyên âm tiếng nói “eee” được lấy mẫu ở tần số 8 kHz. Phổ biên độ của tín hiệu 
này như trên hình. Hỏi tần số cơ bản của tín hiệu này là bao nhiêu? 
Chương IV 
- 76 - 
4.4.3 Mật độ phổ năng lượng 
Năng lượng của tín hiệu x[n] được định nghĩa là: 
2
n
|]n[x|E ∑∞
−∞=
= 
Bây giờ ta biểu diễn năng lượng theo phổ: 
∑ ∑ ∫∞
−∞=
∞
−∞=
π
π−
Ω− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ΩΩπ== n n
nj** de)(X
2
1]n[x]n[x]n[xE 
Thay đổi thứ tự lấy tổng và tích phân, ta có: 
∫∫ ∑
π
π−
π
π−
Ω−∞
−∞=
ΩΩπ=Ω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ωπ= d)(X2
1de]n[x)(X
2
1E 2nj
n
* 
Vậy quan hệ về năng lượng giữa x[n] và )(X Ω là: 
∫∑ π
π−
∞
−∞=
ΩΩπ== d)(X2
1|]n[x|E 2
n
2 (quan hệ Parseval) 
Đại lượng 2xx )(X)(S Ω=Ω gọi là mật độ phổ năng lượng. 
Ví dụ: 
Xác định mật độ phổ năng lượng của tín hiệu sau: 
x[n] = an u[n] với -1 < a < 1 
4.4.4 Băng thông 
Băng thông (bandwidth) là dải tần số tập trung hầu hết năng lượng (công suất) của tín hiệu. 
Giả sử 95% năng lượng của tín hiệu tập trung trong dải tần số 21 FFF ≤≤ , ta nói băng thông 
95% của tín hiệu là 12 FF − . Ta có thể định nghĩa các băng thông 75%, băng thông 90%, băng 
thông 99%... theo kiểu tương tự như băng thông 95% nói trên. 
Dựa vào băng thông của tín hiệu, ta có thể phân loại tín hiệu như sau: 
Nếu năng lượng tín hiệu tập trung quanh tần số 0 thì đó là tín hiệu tần số thấp (low-frequency 
signal). 
Nếu năng lượng tín hiệu tập trung ở miền tần số cao thì đó là tín hiệu cao tần (high-
frequency signal). 
Chương IV 
- 77 - 
Nếu năng lượng tín hiệu tập trung vào một dải tần số nào đó giữa tần số thấp và tần số cao thì 
đó là tín hiệu thông dải (bandpass signal) 
Trong trường hợp tín hiệu thông dải, khái niệm băng hẹp (narrowband) được dùng để chỉ tín 
hiệu có băng thông 12 FF − rất nhỏ (khoảng 10% hoặc nhỏ hơn) so với tần số trung tâm 
2/)FF( 21 + . Ngược lại, tín hiệu được gọi là băng rộng (wideband). 
Tín hiệu được gọi là có băng thông hữu hạn (bandlimited) nếu phổ của nó bằng 0 ở ngoài dải 
tần BF ≥ . Tín hiệu năng lượng x[n] được gọi là có băng thông hữu hạn nếu: 
π<Ω<Ω=Ω 0,0)(X 
4.5 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG RỜI RẠC LTI 
Trong miền tần số, hệ thống rời rạc LTI được mô tả bằng một hàm theo tần số- gọi là đáp 
ứng tần số (frequency response)- là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h[n]: 
Quan hệ giữa tín hiệu vào- ra và hệ thống trong miền tần số như sau: 
)(H).(X)(Y
]n[h]n[x]n[y
ΩΩ=Ω
∗=
Đáp ứng tần số hoàn toàn đặc trưng cho hệ rời rạc LTI trong miền tần số. Nó cho phép ta: 
- xác định các đáp ứng của hệ thống với các đầu vào có dạng tổ hợp tuyến tính của tín hiệu 
sin hay hàm mũ phức. 
- xác định các đặc tính của hệ LTI là bộ lọc tần số. 
4.5.1 Tính đáp ứng tần số 
1. Tính từ đáp ứng xung 
Theo định nghĩa, đáp ứng tần số là )(H Ω được tính như sau: 
∑∞
−∞=
Ω−=Ω
n
nje]n[h)(H 
2. Tính từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 
∑∑
==
−=−
M
0r
r
N
0k
k ]rn[xb]kn[ya 
Lấy DTFT 2 vế, sử dụng tính chất tuyến tính và dịch thời gian, ta được: 
∑
∑
∑∑
=
Ω−
=
Ω−
=
Ω−
=
Ω−
=Ω
Ω=Ω
Ω=Ω
N
0k
kj
k
M
0r
rj
r
M
0r
rj
r
N
0k
kj
k
ea
eb
)(X
)(Y)(H
)(X]eb[(Y]ea[
Ví dụ: 
Tìm đáp ứng tần số của hệ: 
]1n[x3.0]n[x]2n[y85.0]]1n[[y1.0]]n[[y −−=−+−+ 
Chương IV 
- 78 - 
3. Tính từ hàm truyền đạt 
Theo quan hệ giữa phép biến đổi Z và phép biến đổi Fourier, ta có thể tính được đáp ứng tần 
số từ hàm truyền đạt bằng cách thay Ω= jez (với điều kiện là ROC có chứa đường tròn đơn 
vị): 
Ω=
=Ω
jez
)z(H)(H 
4.5.2 Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha 
Do đáp ứng tần số )(H Ω là hàm theo biến phức Ω nên có thể biểu diễn như sau: 
)(je)(H)(H ΩθΩ=Ω 
| )(H Ω | được gọi là đáp ứng biên độ và )(Ωθ được gọi là đáp ứng pha. 
Ví dụ: 
Cho đáp ứng tần số của hệ sau: 
Ω−−=Ω je4.01
1)(H 
Tìm đáp ứng biên độ và pha. 
4.5.3 Đáp ứng của hệ LTI đối với đầu vào là tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin 
hay hàm mũ phức 
1. Đáp ứng trạng thái 0 đối với đầu vào dạng hàm mũ phức 
Từ chương II, ta đã biết đáp ứng của hệ (điều kiện đầu là 0) là: 
∑∞
−∞=
−=
k
]kn[x]k[h]n[y 
Giả sử tín hiệu vào là tín hiệu hàm mũ phức sau: 
Chương IV 
- 79 - 
∞<<∞−= Ω n,Ae]n[x nj 
với A là biên độ và Ω là một tần số trong dải tần ),( ππ− . 
Thay x[n] vào biểu thức y[n] ở trên, ta được: 
( )
( )
)(H]n[x
)(H)Ae(
ee]k[hA
Ae]k[h]n[y
nj
nj
k
kj
k
)kn(j
Ω=
Ω=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
Ω
Ω∞
−∞=
Ω−
∞
−∞=
−Ω
∑
∑
Ta thấy đáp ứng của hệ có dạng giống dạng của đầu vào, tức là dạng hàm mũ phức với cùng 
tần số, chỉ khác nhau một hệ số nhân là )(H Ω . 
Điều này cũng đúng trong trường hợp tín hiệu vào có dạng sin/cos. 
Ví dụ: 
Xác định đầu ra của hệ thống có đáp ứng xung là: 
]n[u)2/1(]n[h n= 
khi đầu vào có dạng: 
(a) ∞<<∞−=
π
n,Ae]n[x
n
2
j
. Cho biết 
06.26j
2
1
e
5
2
j1
1
2
H −=+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π 
(b) ∞<<∞−π+π−= n,ncos20n
2
sin510]n[x 
Chương IV 
- 80 - 
2. Eigenfunction và eigenvalue 
Nếu ta có tín hiệu vào và tín hiệu ra có thể phân tích thành các hàm cơ sở là: 
[ ] [ ]k k
k
x n a nφ=∑ 
[ ] [ ]k k
k
y n a nψ=∑ 
Các hàm cơ sở này có cùng dạng là [ ]k nφ , chỉ khác nhau một hệ số nhân (thực/ phức) kb : 
[ ] [ ] [ ]k kn n h nψ φ= ∗ và [ ] [ ]k k kn b nψ φ= 
thì [ ]k nφ được gọi là một eigenfunction của hệ rời rạc LTI với eigenvalue là kb . 
Trong trường hợp này, tín hiệu vào có dạng hàm mũ phức như trên là eigenfunction và 
)(H Ω tính tại cùng tần số của tín hiệu vào là eigenvalue tương ứng. 
3. Đáp ứng trạng thái bền và đáp ứng nhất thời 
Ta có thể phân tích đáp ứng của hệ thống thành hai thành phần. Thành phần thứ nhất không 
tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, được gọi là đáp ứng trạng thái bền (steady-sate response) 
yss[n]. Thành phần này tồn tại trong cùng khoảng thời gian tồn tại của đầu vào. Thành phần 
kia tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, được gọi là đáp ứng nhất thời (transient response) ytr[n] 
Trong nhiều ứng dụng thì đáp ứng nhất thời không quan trọng vì chỉ tồn tại trong một khoảng 
thời gian ngắn và do vậy mà nó thường được bỏ qua. 
Ví dụ: 
Cho tín hiệu 0n,Ae]n[x nj ≥= Ω đi vào hệ thống ]n[x]1n[ay]n[y =−− (|a| < 1) 
Cho điều kiện đầu là y[-1]. Tìm đáp ứng của hệ, đáp ứng trạng thái bền, đáp ứng nhất thời. 
Tín hiệu ra là: 
0n,e
ae1
Ae
ae1
eAa]1[ya]n[y njj
nj
j
)1n(j1n
1n ≥−+−−−=
Ω
Ω−
Ω
Ω−
+Ω−+
+ 
Chương IV 
- 81 - 
Ta có đáp ứng trạng thái bền là: 
nj
jnss
e)(AH
ae1
A]n[ylim]n[y ΩΩ−∞→ Ω=−== 
Hai số hạng đầu của y[n] giảm về 0 khi n tiến tới vô cùng. Đó là đáp ứng nhất thời: 
0n,e
ae1
eAa]1[ya]n[y njj
)1n(j1n
1n
tr ≥−−−=
Ω
Ω−
+Ω−+
+ 
Tổng quát, khi tín hiệu vào là: 
1
[ ] M nk kkx n X z==∑ 
Bằng cách xếp chồng, ta tìm được đáp ứng trạng thái bền như sau: 
1
[ ] ( )M nss k k kky n X H z z== .∑ 
Ví dụ: 
Cho đầu vào ( )34[ ] nx n = , và 
 [ ] ( 5) [ ]nh n u n= . 
Tìm đáp ứng trạng thái bền. 
3 3[ ]
4 4
n
ssy n H
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
4.5.4 Hệ LTI là bộ lọc tần số 
Bộ lọc (filter) là một hệ thống xử lý tín hiệu bằng cách thay đổi các đặc trưng tần số của tín 
hiệu theo một điều kiện nào đó. 
Nói cách khác, bộ lọc thay đổi phổ của tín hiệu vào )(X Ω theo đáp ứng tần số )(H Ω để tạo 
ra tín hiệu ra có phổ là: )(H)(X)(Y ΩΩ=Ω . Đáp ứng tần số ở đây đóng vai trò là một hàm 
trọng số hay một hàm thay đổi dạng phổ đối với các thành phần tần số khác nhau trong tín 
hiệu vào. Khi xét theo quan điểm này thì bất kỳ một hệ LTI nào cũng có thể được xem là một 
bộ lọc tần số, ngay cả khi nó không ngăn một vài hay tất cả các thành phần tần số trong tín 
hiệu vào. Do vậy ta có thể đồng nhất hai khái niệm bộ lọc tần số và hệ LTI. 
Trong môn học này, ta dùng thuật ngữ “bộ lọc” là để chỉ các hệ LTI thực hiện chức năng 
chọn lọc tín hiệu theo tần số. Bộ lọc cho các thành phần tần số của tín hiệu trong một dải tần 
nào đó đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số khác đi qua. Dải tần số cho qua gọi là 
dải thông (passband) và dải tần số không cho qua gọi là dải chắn (stopband/block-band). 
Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chắn gọi là tần số cắt (cut-off frequency) 
Chương IV 
- 82 - 
Cách mô tả bộ lọc đơn giản nhất là biểu diễn dạng của nó trong miền tần số. Đó chính là đáp 
ứng tần số, gồm đáp ứng biên độ và đáp ứng pha. 
Xét bộ lọc có dải thông là ),( 21 ΩΩ . Nếu đây là bộ lọc lý tưởng thì đáp ứng tần số có dạng 
như sau: 
⎩⎨
⎧
≠Ω
Ω<Ω<Ω=Ω
Ω−
,0
,Ce
)(H 21
nj 0
ở đây C và n0 là hằng số. 
Tín hiệu ra bộ lọc lý tưởng có dạng: 
21
nj ,e)(CX)(H)(X)(Y 0 Ω<Ω<ΩΩ=ΩΩ=Ω Ω− 
]nn[Cx]n[y 0−= 
Ta thấy tín hiệu ra đơn giản chỉ là tín hiệu vào bị thay đổi một hệ số nhân và bị trễ đi một 
khoảng thời gian. Sự thay đổi biên độ và trễ này không làm méo tín hiệu. 
Vậy bộ lọc lý tưởng là bộ lọc có đáp ứng biên độ có dạng chữ nhật và đáp ứng pha là tuyến 
tính trong dải thông: 
210
21
,n)(
,C|)(H|
Ω<Ω<ΩΩ−=Ωθ
Ω<Ω<Ω=Ω
Có rất nhiều loại bộ lọc khác nhau với rất nhiều ứng dụng khác nhau, trong đó thông dụng 
nhất là bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. 
Hình sau vẽ các đáp ứng biên độ của 4 loại bộ lọc thông dụng. 
Chương IV 
- 83 - 
Các đáp ứng biên độ trên không có dạng chữ nhật vì đây không phải là bộ lọc lý tưởng. Giữa 
dải thông và dải chắn có một dải chuyển tiếp (transition band). Độ lợi (gain) của bộ lọc tại 
một tần số nào đó là giá trị của đáp ứng biên độ tại tần số đó. Tần số cắt là tần số tại điểm mà 
độ lợi là 2/1 của giá trị lớn nhất. Bộ lọc càng tiến gần đến bộ lọc lý tưởng hơn khi độ dốc 
của bộ lọc càng lớn, dải chuyển tiếp càng nhỏ. Điều này yêu cầu bậc của bộ lọc phải lớn. 
Ta sẽ quay lại tìm hiểu kỹ hơn về bộ lọc và thiết kế bộ lọc sau này.