Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Phân tích hệ rời rạc LTI dùng phép biến đổi Z

y nhiên, cách tính này khá phức tạp nên không được sử 
dụng trong thực tế. 
Sau đây ta xét hai phương pháp tính IZT được dùng trong thực tế: 
2.2.2 Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa (Power Series Expansion) 
Ta có thể tính IZT bằng cách khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa: 
1 2
0
0
( ) [ ] [0] [1] [2]
[ ] [ ] [ ] [0] [ ] [1] [ 1] [2] [ 2]
k
k
k
X z x k z x x z x z
x n x k n k x n x n x nδ δ δ δ
∞ − − −
=
∞
=
= = + + +
= − = + − + − +
∑
∑
L
L
Ta có: 
[ ]
z
kn k zδ −− ←→ 
Sau đó đồng nhất các hệ số của chuỗi luỹ thừa với x[n]. 
Ví dụ: 
Tìm IZT của: 
 1 2( ) 1 2 3X z z z− −= + + 
Chương III 
- 56 - 
Ví dụ: 
Tìm IZT của: 
az:ROC,
az1
1)z(X 1 >−= − 
Ví dụ: 
Tìm IZT biết: 
 2
8 19( )
5 6
zX z
z z
−= − + , 3z| |> 
Cách khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa như trên có điểm không thuận tiện là khó/không 
thể biểu diễn được x[n] ở dạng tường minh. 
Chương III 
- 57 - 
2.2.3 Phương pháp khai triển riêng phần (Partial Fraction Expansion) 
Phương pháp này tương tự như tính biến đổi Laplace ngược đã biết. 
Giả sử cần tính IZT{X(z)}. Ta khai triển X(z) thành dạng sau: 
 ∑+=
i
ip )z(X)z(X)z(X 
Trong đó Xp (z) có dạng đa thức, Xi(z) có dạng phân thức với bậc của tử số nhỏ hơn bậc của 
mẫu số. 
Tuỳ điểm cực mà Xi(z) có thể có các dạng như sau: 
1. Nếu pi là điểm cực đơn: 
i
i
i pz
r)z(X −= với ipzii )z(X)pz(r =−= 
2. Nếu pi là điểm cực bội bậc s: ∑
= −=
s
1k
k
i
k
i )pz(
c)z(X 
với 
[ ]
ipz
s
iks
ks
k )z(X)pz(dz
d
)!ks(
1c
=−
−
−⋅−= 
Sau khi khai triển X(z) ta sử dụng bảng 3.1 để suy ra IZT. 
1)n( ↔δ 
mz)mn( −↔−δ 
az
z]n[ua n −↔ 
2
n
)az(
az]n[una −↔ 
3
n2
)az(
)az(az]n[uan −
+↔ 
22
n
acosz2z
)cosaz(z]n[u)ncos(a +Ω−
Ω−↔Ω 
22
n
acosz2z
sinaz]n[u)nsin(a +Ω−
Ω↔Ω 
αβ ==−+−↔α+β
jj
*
*
n e|K|K&aep,
pz
zK
pz
Kz]n[u)ncos(a|K|2 
Bảng 3.1 Các cặp x[n] – X(z) thông dụng 
Ví dụ: 
Tìm IZT của: 
22 5( ) 3
( 2)( 3)
z zX z z
z z
−= ,| |>− − 
Ta khai triển 
( ) 2 5
( 2)( 3)
X z z
z z z
−= − − 
Chương III 
- 58 - 
Ví dụ: 
Tìm IZT của: 
2z,
)1z)(2z(
z2)z(X 2 >−−= 
Ví dụ: 
Tìm IZT của: 
25.0z5.0z
z)z(X 2 +−= 
Chương III 
- 59 - 
2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 
Trong phần này, ta xét những tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Z. 
2.3.1 Tuyến tính 
[ ] [ ] ( ) ( )
Z
ax n by n aX z bY z+ ←→ + 
Miền hội tụ mới phụ thuộc vào miền hội tụ của cả ( )X z và )z(Y , đó là giao của hai miền 
hội tụ yx RR ∩ . Tuy nhiên, nếu tổ hợp aX(z) + bY(z) làm khử đi một số điểm cực của X(z) 
hoặc Y(z) thì miền hội tụ sẽ mở rộng ra, nên: 
x yR R R
′ ⊇ ∩ 
2.3.2 Dịch chuyển thời gian 
0
0[ ] ( )
Z
nx n n z X z−− ←→ 
ở đây miền hội tụ mới giống miền hội tụ xR , có thể thêm vào hoặc bớt đi điểm gốc hay điểm 
vô cùng tùy n0 dương hay âm 
Ví dụ: 
Tìm w[n] biết: 
4
2( ) 32 3
zW z z
z z
−
= ,| |>− − 
Chương III 
- 60 - 
Tính chất tuyến tính và dịch thời gian rất hiệu quả đối với các hệ thống mô tả bởi phương 
trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. 
2.3.3 Tổng chập 
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )
Z
y n x n h n X z H z= ∗ ←→ 
ở đây miền hội tụ mới là 
y x hR R R⊇ ∩ 
Tính chất tổng chập của biến đổi Z giúp ta tính toán tổng chập tuyến tính rời rạc một cách 
đơn giản hơn. Tính chất này sẽ được sử dụng rất nhiều. 
Chứng minh: 
[ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ]]
Z
n
n k
y n x n h n x k h n k z
∞ ∞ −
=−∞ =−∞
= ∗ ←→ −∑ ∑ 
Thay đổi thứ tự lấy tổng, ta có: 
[ ] [ ] [ ] n
k n
y n x k h n k z
∞ ∞ −
=−∞ =−∞
= −∑ ∑ 
Đặt ( )m n k= − , ta có: 
( )[ ] [ ][ [ ] ]
[ ] [ ]
( ) ( )
m k
k m
k m
k m
y n x k h m z
x k z h m z
X z H z
∞ ∞ − +
=−∞ =−∞
∞ ∞− −
=−∞ =−∞
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑ 
Miền hội tụ mới phụ thuộc vào miền hội tụ của cả ( )X z và ( )H z , đó là giao của hai miền 
hội tụ x hR R∩ . Tuy nhiên, nếu một thừa số X(z) hoặc H(z) có điểm không, điểm không này 
khử điểm cực của thừa số kia thì miền hội tụ sẽ mở rộng ra, nên y x hR R R
′ ⊇ ∩ 
Ví dụ: 
Cho [ ] [ ]nh n a u n= , ( 1a| |< ) và [ ] [ ]x n u n= . Tìm [ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗ . 
Nếu [ ] [ 2]x n u n= − thì y[n] thay đổi như thế nào? 
Chương III 
- 61 - 
Ví dụ: 
Tìm đầu ra [ ]y n với đầu vào [ ] [ ]x n u n= và hệ LTI có đáp ứng xung: 
[ ] 3 [ 1]nh n u n= − − − . 
Chương III 
- 62 - 
2.3.4 Định lý giá trị đầu và giá trị cuối 
Định lý giá trị đầu và giá trị cuối thường liên quan đến biến đổi Z một phía, nhưng chúng 
cũng đúng với biến đổi Z hai phía nếu tín hiệu x[n] = 0 với n < 0. 
1. Định lý giá trị đầu(initial value theorem) 
Biểu diễn: 
 1 2
0
( ) [ ] [0] [1] [2]n
n
F z f n z f f z f z 
∞ − − −
=
= = + + + ,∑ 
Lấy giới hạn lim ( )
z
F z→∞ , ta sẽ được giá trị đầu của f[n]- đó chính là f[0] 
2. Định lý giá trị cuối(final value theorem) 
Nếu giá trị cuối của f[n] tồn tại thì: 
1
lim [ ] [ ] lim( 1) ( )
n z
f n f z F z→∞ →= ∞ = − 
Ví dụ: 
Tìm giá trị đầu và giá trị cuối của tín hiệu [ ]f n , biết rằng: 
( )
.6
zF z
z
= − 
2.4 PHÂN TÍCH HỆ RỜI RẠC LTI 
Ta đã biết trong miền thời gian, có thể biểu diễn hệ rời rạc LTI bằng sơ đồ, tổng chập, đáp 
ứng xung, đáp ứng bước và phương trình sai phân . 
Sau đây ta sẽ xét một cách khác - rất hiệu quả để biểu diễn hệ thống rời rạc LTI. Đó là biểu 
diễn bằng hàm truyền đạt (transfer function) hay còn gọi là hàm hệ thống (system function) 
2.4.1 Định nghĩa hàm truyền đạt 
Từ tính chất tổng chập của ZT và từ quan hệ giữa tín hiệu vào x[n], tín hiệu ra y[n] với đáp 
ứng xung h[n], ta có: 
)z(H).z(X)z(Y = 
ở đây X(z) là biến đổi Z của x[n], Y(z) là biến đổi Z của y[n] và H(z) là biến đổi Z của đáp 
ứng xung h[n]. 
Dựa vào đáp ứng xung h[n], ta biết được các đặc tính của hệ thống, vậy rõ ràng là dựa vào 
H(z) ta cũng sẽ biết được các đặc tính của hệ thống. Nói cách khác, H(z) là biểu diễn của hệ 
thống trong miền z. Ta gọi H(z) là hàm truyền đạt hay hàm hệ thống. 
Ta có thể xác định H(z) rất đơn giản dựa vào phương trình sai phân: 
Chương III 
- 63 - 
∑∑
==
−=−
M
0r
r
N
0k
k ]rn[xb]kn[ya 
Lấy biến đổi Z hai vế, sử dụng tính chất tuyến tính và dịch thời gian, ta được: 
∑∑
=
−
=
− =
M
0r
r
r
N
0k
k
k )z(Xzb)z(Yza 
Suy ra hàm truyền đạt như sau: 
∑
∑
=
−
=
−
== N
0k
k
k
M
0r
r
r
za
zb
)z(X
)z(Y)z(H 
Dựa vào hàm truyền đạt, ta biết được các đặc tính của hệ thống, gồm tính nhớ, tính khả đảo, 
tính nhân quả, tính ổn định BIBO. 
2.4.2 Tính nhớ 
Hệ không nhớ phải có đáp ứng xung có dạng: 
[ ] [ ]h n K nδ= . 
H(z) = K 
Vậy hệ có nhớ có hàm truyền đạt là một hằng số. 
2.4.3 Tính khả đảo 
 [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 1i ih n h n n H z H zδ∗ = ⇒ = 
ở đây: 
[ ] ( )
z
i ih n H z↔ là đảo của [ ] ( )
z
h n H z↔ . 
Ví dụ: 
Tìm hệ đảo [ ]ih n của hệ: [ ] [ ]
nh n a u n= . 
Kiểm tra kết quả bằng cách tính tổng chập của [ ]h n với [ ]ih n . 
Chương III 
- 64 - 
Ví dụ: 
Tìm hệ đảo của hệ [ ]h n nhân quả biết: 
 ( ) z aH z
z b
−= .− 
2.4.4 Tính nhân quả 
[ ] 0 0h n n= , < 
ROC: maxr|z| > 
Hệ nhân quả có miền hội tụ của H(z) nằm ngoài đường tròn đi ngang qua điểm cực xa gốc 
nhất. 
2.4.5 Tính ổn định BIBO 
[ ]
k
h k
∞
=−∞
< ∞∑ 
∑∑∑ ∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
− =≤⇒=
n
n
n
n
n
n |z||]n[h||z]n[h||)z(H|z]n[h)z(H 
Khi ta tính trên đường tròn đơn vị (tức là |z| = 1) thì: 
∑∞
−∞=
≤
n
|]n[h||)z(H| 
Như vậy, nếu hệ thống ổn định BIBO thì đường tròn đơn vị nằm trong ROC. Điều ngược lại 
cũng đúng. 
Kết hợp với tính nhân quả vừa xét trong 2.4.4 ta có kết luận: 
Hệ nhân quả sẽ ổn định BIBO nếu và chỉ nếu tất cả các điểm cực của H(z) nằm bên trong 
đường tròn đơn vị trong mặt phẳng z: 
k,1|p| k ∀< 
Ví dụ: 
Hệ có đáp ứng xung là [ ]u n có nhân quả không? Có ổn định BIBO không? 
Chương III 
- 65 - 
Ví dụ: 
Xét tính nhân quả và ổn định của hệ có đáp ứng xung là: 
]n[u)9(.]n[h n= 
Ví dụ: 
Xét tính nhân quả và ổn định BIBO của hệ có hàm truyền đạt là: 
2 5
2
2 5
2
2( )
1
z zH z
z z
−= ,− + 
1 2
2
z<| |< . 
2.5 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 
Biến đổi Z hai phía được dùng cho tín hiệu tồn tại trong khoảng ∞<<∞− n . Như vậy biến 
đổi Z hai phía không phù hợp với loại hệ có điều kiện đầu khác 0- là loại hệ có nhiều trong 
thực tế. 
Tín hiệu vào được kích vào hệ thống tại thời điểm n0 nên cả tín hiệu vào và ra đều được tính 
với 0nn ≥ , nhưng không có nghĩa là bằng 0 với 0nn < . 
Sau đây ta sẽ tập trung xem xét phép biến đổi Z một phía và ứng dụng của nó vào việc giải 
phương trình sai phân với điều kiện đầu khác 0. 
2.5.1 Phép biến đổi Z một phía và tính chất dịch thời gian 
Nhắc lại định nghĩa phép biến đổi Z một phía: 
∑∞
=
−=
0n
nz]n[x)z(X 
Biến đổi Z một phía khác biến đổi Z hai phía ở giới hạn dưới của tổng. Do lựa chọn này mà 
biến đổi Z một phía có các đặc điểm sau đây: 
1. Không chứa thông tin về tín hiệu với giá trị thời gian âm. 
2. Biến đổi Z một phía và biến đổi Z hai phía của tín hiệu nhân quả trùng nhau. 
3. Khi nói đến biến đổi Z một phía, ta không cần quan tâm đến miền hội tụ, vì miền hội tụ 
luôn luôn là miền ngoài của một đường tròn. 
4. Tính chất dịch thời gian của biến đổi Z một phía khác biến đổi Z hai phía. Cụ thể như sau: 
Chương III 
- 66 - 
 )z(X]n[x
Z↔ 
∑↔ −
−=
−−− +−
1
mi
imm
Z
z]i[xz)z(Xz]mn[x 
Ta sẽ ứng dụng tính chất dịch thời gian này rất nhiều để giải phương trình sai phân trong 
trường hợp điều kiện đầu khác 0. 
2.5.2 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 
Phương trình sai phân: 
∑∑
==
−=−
M
0r
r
N
0k
k ]rn[xb]kn[ya 
Lấy biến đổi Z một phía cho cả hai vế của phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính và dịch 
thời gian, ta được: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + ∑∑∑∑ −
−=
−−−
=
−
−=
−−−
=
1
mi
imm
M
0r
r
1
ki
ikk
N
0k
k z]i[xz)z(Xzbz]i[yz)z(Yza 
ở đây x[i] và y[i] chính là các giá trị ban đầu. 
Từ đây ta có thể tìm được Y(z), tính biến đổi Z ngược ta sẽ có được y[n] 
Ví dụ: 
Tìm 0n],n[y ≥ cho biết y[n] là tín hiệu ra của hệ thống: 
]n[x]2n[y2]1n[y3]n[y +−−−= 
ở đây 
3
1]1[y,
9
4]2[y],n[u3]n[x 2n −=−−=−= −