Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 2: Tín hiệu & Hệ thống rời rạc

n= ∗ 
 Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k
y n x k h n k u k u n k
∞ ∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑ 
 ⇒
0
[ ] since [ ] 0 0
k
u n k u k k
∞
=
− = , <∑ 
Ta cũng có: 
0
[ ] 0 0 or [ ] (1) 1
n
k
u n k n k k n y n n
=
− = , − ⇒ = = +∑ 
Nhưng: 
 [ ] 0 0 and [ ] 0 u k k u n k k n= , 
 ⇒ 0 0k n n≤ ≤ ⇒ ≥ . 
Ví dụ: 
Cho [ ] [ ]nx n b u n= và [ ] [ 2]nh n a u n= + , với a b≠ 
Tìm [ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗ . 
Chương II 
- 40 - 
Ví dụ: 
Chứng minh rằng khi cho tín hiệu [ ] [ ]x n u n= − đi qua hệ thống LTI có đáp ứng xung là: 
[ ] [ 2] 1nh n a u n a= − , < thì tín hiệu ra là: 
2
[2 ] [ 3]
1 1
na au n u n
a a
− + −− − 
Chương II 
- 41 - 
Ví dụ: 
Cho [ ] [ 2]x n u n= − + và [ ] [ ]nh n a u n= − , tìm [ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗ 
Chương II 
- 42 - 
2.3.2 Các tính chất của tổng chập 
1. Tính chất giao hoán 
]n[x*]n[h]n[h]n[x =∗ 
Tính chất này đã được chứng minh trong 2.3.2 
2. Tính chất kết hợp 
])n[h*]n[h(*]n[x]n[h*])n[h*]n[x( 211 2 = 
Vế trái ở đây chính là tín hiệu ra trong trường hợp: x[n] là đầu vào của hệ đáp ứng xung 
h1[n], đầu ra y1[n] là đầu vào của hệ có đáp ứng xung h2[n]. Đây chính là 2 hệ mắc nối tiếp. 
Vế phải ở đây chính là tín hiệu ra trong trường hợp x[n] là đầu vào của hệ có đáp ứng xung là 
h1[n]*h2[n]. Như vậy, hai hệ mắc nối tiếp sẽ có đáp ứng xung là chập của hai đáp ứng xung 
thành phần. 
Hơn nữa, từ tính chất giao hoán ta thấy có thể đổi chỗ 2 hệ mắc nối tiếp cho nhau mà không 
làm thay đổi quan hệ vào-ra chung của hệ tổng quát 
3. Tính chất phân phối 
]n[h*]n[x]n[h*]n[x])n[h]n[h(*]n[x 2121 +=+ 
Vế trái là tín hiệu ra khi x[n] được đưa vào hệ có đáp ứng xung là h1[n]+h2[n]. Vế phải là tín 
hiệu ra tổng của 2 tín hiệu ra khi x[n] đồng thời được đưa vào 2 hệ có đáp ứng xung h1[n] và 
h2[n]. Đây chính là 2 hệ mắc song song. Như vậy, hai hệ mắc song song sẽ có đáp ứng xung 
là tổng của 2 đáp ứng xung thành phần. 
2.3.3 Các tính chất của hệ LTI 
Quan hệ vào- ra (I/O) của hệ LTI hoàn toàn có thể được đặc trưng bởi đáp ứng xung [ ]h n . 
Suy ra, ta có thể biết được các tính chất của hệ LTI dựa vào [ ]h n 
1. Tính có nhớ 
Đáp ứng xung của hệ không nhớ chỉ có thể có dạng sau: 
[ ] [ ]h n K nδ= . 
2. Tính khả đảo 
Hệ LTI có đáp ứng xung [ ]h n là khả đảo nếu tồn tại một hàm [ ]ih n sao cho: 
Chương II 
- 43 - 
[ ] [ ] [ ]ih n h n nδ∗ = 
Ví dụ: 
Tìm hệ đảo của hệ [ ] 3 [ 5]h n nδ= + 
3. Tính nhân quả 
Nếu ta có [ ] 0 0h n n= , < thì 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
n
k k
y n x k h n k x k h n k
∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑ 
chỉ phụ thuộc vào các giá trị quá khứ và hiện tại của tín hiệu vào. 
Ví dụ: 
Xét tính nhân quả của các hệ sau đây: 
(a) h[n] = u[n] 
(b) 2[ ] [ 2]h n u n= + 
4. Tính ổn định 
Tính ổn định thỏa mãn nếu: 
 [ ]
k
h k
∞
=−∞
< ∞∑ 
Nghĩa là đáp ứng xung phải thoả điều kiện khả tổng tuyệt đối. 
Lý do ở đây là: 
Với [ ]x n M| |≤ với mọi n , ta có: 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k k
y n x n k h k x n k h k x n k h k
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
| |=| − |≤ | − |= | − || |≤∑ ∑ ∑ 
Chương II 
- 44 - 
 [ ] [ ]
k k
M h k M h k
∞ ∞
=−∞ =−∞
| |= | |∑ ∑ 
Vì M < ∞ nên để hệ ổn định BIBO ta chỉ cần: 
[ ]
k
h k∞=−∞ | |< ∞∑ 
Ví dụ: 
Hệ 1[ ] [ ]
3
n
h n u n⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ có ổn định BIBO không? 
Ví dụ: 
Xét các đặc điểm của các hệ sau đây: 
(a) 1[ ] [ ]h n u n= (an accumulator) 
(b) 2[ ] 3 [ ]
nh n u n= 
(c) 3[ ] (3) [ ]
nh n u n= − 
(d) 4 3[ ] cos( ) [ ]h n n u nπ= 
(e) 5[ ] [ 2] [ ]h n u n u n= + − 
Chương II 
- 45 - 
2.3.4 Đáp ứng bước 
Đáp ứng bước là đáp ứng của hệ đối với tác động là tín hiệu bước nhảy đơn vị, ký hiệu đáp 
ứng bước là s[n] 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
n
k k
x n u n
s n h k u n k h k
∞
=−∞ =−∞
=
= − =∑ ∑ 
Ta có thể có [ ]h n từ [ ]s n như sau: 
 [ ] [ ] [ 1]h n s n s n= − − 
Ví dụ: 
Đáp ứng bước của hệ [ ] [ ]nh n a u n= là 111[ ] [ ] [ ] [ ]nn aas n u n a u n u n+−−= ∗ = 
Từ đáp ứng bước ta có thể tính được đáp ứng xung: 
[ 1] [ ] [ ]u n u n nδ− = − . 
Bảng sau tóm tắt về các mối quan hệ, các loại đáp ứng trong hai hệ liên tục và rời rạc 
( ) ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) [ ] [ ] [ 1]
( ) ( ) [ ] [ ] [ 1]
nt
k
nt
k
u t d u n k
s t h d h t u t s n h k h n u n
dt u t n u n u n
dt
dh t s t h n s n s n
dt
δ τ τ δ
τ τ
δ δ
−∞ =−∞
−∞ =−∞
= =
= = ∗ = = ∗
= = − −
= = − −
∑∫
∑∫
Continuous Time Discrete Time
2.4 HỆ RỜI RẠC LTI MÔ TẢ BỞI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 
Nói chung, hệ rời rạc LTI có thể được đặc trưng hoàn toàn bởi tổng chập tuyến tính. Hơn 
nữa, công thức tổng chập cũng cung cấp cho ta một phương tiện để thực hiện hệ thống. 
Với hệ FIR, để thực hiện hệ ta cần các khâu cộng, nhân và một số hữu hạn các bộ nhớ. Như 
vậy có thể thực hiện trực tiếp hệ FIR từ công thức tổng chập. 
Tuy nhiên với hệ IIR, ta không thể thực hiện hệ thống thực tế dựa vào tổng chập được, vì nó 
yêu cầu một số lượng vô hạn các khâu cộng, nhân và nhớ. 
Thực tế, có một cách biểu diễn hệ rời rạc khác ngoài tổng chập. Đó là biểu diễn bằng phương 
trình sai phân. 
2.4.1 Dạng tổng quát của phương trình sai phân 
Ta biết tín hiệu ra của hệ thống phụ thuộc vào tín hiệu vào và có thể phụ thuộc vào chính tín 
hiệu ra: 
]Mn[xb...]]1n[xb]n[xb]Nn[ya...]1n[ya]n[y M10N1 −++−+=−++−+ 
1a,]rn[xb]kn[ya 0
M
0r
r
N
0k
k =−=−⇔ ∑∑
==
Chương II 
- 46 - 
Đây là phương trình mô tả quan hệ vào-ra của hệ tuyến tính bất biến nên các hệ số của 
phương trình là hằng số và phương trình có tên gọi là phương trình sai phân tuyến tính hệ số 
hằng (Linear constant-coefficient difference equation) 
Căn cứ vào phương trình, ta phân hệ rời rạc LTI ra 2 loại: 
1. Hệ không đệ quy: 
Bậc N = 0, tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào 
2. Hệ đệ quy: 
Bậc N > 0, tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào và vào chính tín hiệu ra ở các thời điểm 
trước đó 
2.4.2 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 
Về cơ bản, mục đích của giải phương trình là xác định tín hiệu ra y[n], 0n ≥ của hệ thống 
ứng với một tín hiệu vào cụ thể x[n], 0n ≥ và ứng với các điều kiện ban đầu cụ thể nào đó. 
Nghiệm của phương trình là tổng của 2 phần: 
]n[y]n[y]n[y p0 += 
Trong đó y0[n] là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và yp[n] là nghiệm riêng. 
Nghiệm tổng quát y0[n] là nghiệm của phương trình vế phải bằng 0, tức là không có tín hiệu 
vào. Dạng tổng quát của y0[n] là: 
NN22110 C...CC]n[y λ++λ+λ= 
Trong đó iλ là nghiệm của phương trình đặc trưng: 
∑
=
−λ
N
0k
kn
ika 
và Ci là các hệ số trọng số, được xác định dựa vào điều kiện đầu và tín hiệu vào. 
Nghiệm riêng yp[n] là một nghiệm nào đó thỏa phương trình sai phân trên với một tín hiệu 
vào cụ thể x[n], 0n ≥ . Nói cách khác, yp[n] là một nghiệm nào đó của phương trình: 
1a,]rn[xb]kn[ya 0
M
0r
r
N
0k
k =−=− ∑∑
== 
Ta tìm yp[n] có dạng giống như dạng của x[n], chẳng hạn như: 
 x[n] yp [n] 
nsinKncosK
nsinA
ncosA
)K...nKnK(An.A
M.KM.A
KA
0201
0
0
M
1M
1
M
0
nMn
nn
ω+ω
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
ω
ω
+++ − 
Ví dụ: 
Tìm nghiệm tổng quát 0n],n[y ≥ của phương trình: 
Chương II 
- 47 - 
]n[x]1n[ya]n[y 1 =−+ 
với x[n] là tín hiệu bước nhảy và y[-1] là điều kiện đầu. 
Cho x[n] = 0, nghiệm tổng quát y0[n] lúc này có dạng: 
 n0 ]n[y λ= 
Giải ra ta được: 
1a−=λ 
Do vậy, y0[n] là: 
n
10 )a(C]n[y −= 
Do x[n] là tín hiệu bước nhảy đơn vị nên chọn yp[n] có dạng: 
]n[Ku]n[yp = 
ở đây K là một hệ số, được xác định sao cho phương trình thỏa mãn. Thay yp[n] vào phương 
trình trên ta được: 
]n[u]1n[Kua]n[Ku 1 =−+ 
Đế xác định K, ta tính với 1n ≥ vì trong dải đó không có số hạng nào bị triệt tiêu. Vậy, 
1
1
a1
1K
1KaK
+=⇒
=+
Như vậy, nghiệm riêng của phương trình là: 
]n[u
a1
1]n[y
1
p += 
Nghiệm tổng quát của phương trình trên là: 
0n,
a1
1)a(C]n[y]n[y]n[y
1
n
1p0 ≥++−=+= 
C được xác định sao cho thỏa mãn điều kiện ban đầu. 
Cho n = 0, từ phương trình ta có: 
1]1[ya]0[y1]1[ya]0[y 11 +−−=⇒=−+ 
Mặt khác, kết hợp y[0] vừa tìm được với nghiệm tổng quát của phương trình, ta có: 
1
1
11
1 a1
a]1[yaC1]1[ya
a1
1C]0[y ++−−=⇒+−−=++= 
Thay C vào nghiệm y[n] ta được kết quả cuối cùng như sau: 
]n[y]n[y
0n,
a1
)a(1]1[y)a(]n[y
zszi
1
1n
11n
1
+=
≥+
−−+−−=
+
+
Ta nhận thấy nghiệm của phương trình gồm có hai phần: 
Chương II 
- 48 - 
1. yzi[n] là đáp ứng đầu vào 0 (zero-input response) của hệ thống. Đáp ứng này chỉ phụ thuộc 
vào bản chất của hệ thống và các điều kiện ban đầu. Vì vậy nó còn có tên gọi là đáp ứng tự 
do (free response). 
2. yzs[n] phụ thuộc vào bản chất của hệ thống và vào tín hiệu vào, do đó nó còn được gọi là 
đáp ứng cưỡng bức (forced response). Nó được xác định khi không để ý đến điều kiện đầu 
hay là điều kiện đầu bằng 0. Khi điều kiện đầu bằng 0, ta có thể nói hệ thống ở trạng thái 0. 
Do vậy, yzs[n] còn được gọi là đáp ứng trạng thái 0 (zero-state response) 
Qua đây ta cũng thấy: C phụ thuộc vào cả điều kiện đầu và tín hiệu vào. Như vậy, C ảnh 
hưởng đến cả đáp ứng đầu vào 0 và đáp ứng trạng thái 0. Nói cách khác, nếu ta muốn chỉ có 
đáp ứng trạng thái 0, ta giải tìm C với điều kiện đầu bằng 0. 
Ta cũng thấy rằng có thể tìm nghiệm riêng của phương trình từ đáp ứng trạng thái 0: 
]n[ylim]n[y zsnp ∞→= 
Ví dụ: 
Tìm 0n],n[y ≥ của hệ sau: 
]1n[x2]n[x]2n[y4]1n[y3]n[y −+=−−−− 
với x[n] = 4n u[n] và các điều kiện đầu bằng 0. 
Chương II 
- 49 - 
2.4.3 Thực hiện hệ rời rạc LTI 
Từ phương trình mô tả quan hệ vào-ra ta thấy để thực hiện hệ LTI, ta cần các khâu nhân, trễ 
và cộng. Có nhiều cách khác nhau để thực hiện hệ rời rạc, ở đây ta xét cách trực tiếp- là cách 
thực hiện trực tiếp dựa vào phương trình sai phân mà không qua một phép bíến đổi nào 
1. Dạng chuẩn tắc 1 
]Nn[y)a(...]1n[y)a(]Mn[xb...]]1n[xb]n[xb]n[y
]Mn[xb...]]1n[xb]n[xb]Nn[ya...]1n[ya]n[y
N1M10
M10N1
−−++−−+−++−+=⇔
−++−+=−++−+
2. Dạng chuẩn tắc 2 
Để ý thấy ở dạng chuẩn tắc 1, hệ thống gồm 2 hệ mắc nối tiếp. Theo tính chất giao hoán của 
tổng chập thì thứ tự các hệ con mắc nối tiếp có thể thay đổi được. Do vậy, ta có thể thay đổi 
hệ ở dạng 1 thành: