Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Thiết kế bộ lọc số dựa vào hàm truyền - Lê Tiến Thường

ÏÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( )( )( )( ) 2211
2
2
1
1
11
11
1
1
Re1Re1
11
00
00
−−
−−
−−−
−−−
++
++=−−
−−=
zaza
zbzb
zz
zrezrezH jj
jj
ωω
ωω
2
201
2
201
 ,cos2
 ,cos2
rbrb
RaRa
=−=
=−=
ω
ω
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )2020
2
0
2
02
cos21cos21
cos21cos21
RRRR
rrrrH ++−+−−
++−+−−= ωωωω
ωωωωω
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng
Cộng hưởng có thể xem là một trường hợp đặc biệt với r 
= 0. Khi r > R, zero mạnh hơn cực và tạo nên một dip 
trong đáp ứng tần số. Đăïc biệt nếu r = 1, ta có một zero 
chính xác, một notch, tại w = w0.
Khi cựïc vàø zero rấát gầàn nhau, nghĩa làø r ≤ R hoặëc r ≥ R, 
đáùp ứùng tầàn sốá kháù bằèng phẳúng trong khoảûng tầàn sốá
kháùc w = ± w0, do khoảûng cáùch từø điểåm chuyểån độäng ejw
so vớùi cặëp cựïc/zero gầàn bằèng nhau, nên |H(â w)| ª 1. Chỉ
khi ởû gầàn khoảûng w = ± w0 thì |H(w)| mớùi thay đổåi rấát 
nhanh vàø tạïo ra mộät đỉnh hoặëc mộät dip.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.2. Các bộ cân bằng và bộ cộng hưởng
Hình 6.4.5 Bộ lọc cân bằng tham số
(Parametric equalizer filter).
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch
Trường hợp r = 1 ứng với bộ lọc notch sẽ dẫn đến 
những thảo luận sau. Trong trường hợp này, các hệ số
bộ lọc trong phương trình (6.4.7) có thể viết là:
a1 = Rb1 = -2Rcosw0, a2 = R2b2 = R2
Và hàm truyền có dạng:
Vớùi N(z) làø đa thứùc tửû sốá cóù cáùc zero tạïi hai vị trí notch 
:
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( )( )zRN zNzRbzRb zbzbzH 12211
2
2
1
1
1
1
−−−
−−
=++
++=
0ωjez ±=
( ) ( )( )112012211 00 11cos211 −−−−−−− −−=+−=++= zezezzzbzbzN jj ωωω
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch
Phương pháp này có thể tổng quát hóa để xây dựng bộ
lọc notch với các notch tại tại một loạt (hữu hạn) bất 
kỳ các tần số. Đa thức tử số N(z) được định nghĩa là đa 
thức có các zero trên đường tròn đơn vị tại những vị trí
notch mong muốn. Ví dụ có N tần số notch mong muốn 
wi, i = 1, 2, , M, N(z) là đa thức bậc M có các zero tại
(phương trình notch) (6.4.8)
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
Miez iji ,...,2,1, == ω
( ) ( )∏
=
−−=
M
i
j zezN i
1
11 ω
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch
Đa thức mẫu số D(z) = N(rz-1) với 0 < r < 1 là
Các zero của D(z) nằm cùng hướng với các zero notch, 
nhưng dịch vào phía trong đường tròn đơn vị tại bán 
kính ρ. Do đó với mỗi zero mong muốn , có một cực 
tương ứng . Khai triển phương trình (6.4.8)
Ta cóù hàøm truyềàn ứùng vớùi bộä lọïc notch
(6.4.9)
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( ) ( )∏
=
−− −==
M
i
j zezNzD i
1
11 1 ρρ ω
ij
i ez
ω=
ij
i e
ωρρ =
( ) MM zbzbzbzN −−− ++++= ....1 2211
( ) ( )( ) MMM
M
M
zbzbzb
zbzbzb
zN
zNzH −−−
−−−
− ++++
++++== ρρρρ ....1
....1
2
2
21
1
2
2
1
1
1
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch
Các hệ số mẫu số được chọn tỉ lệ với các hệ số tử số.
Nếu r gần một, r ≤ 1, các khoảng cách từ điểm chuyển 
động ejw tới cặp cực/zerogần bằng nhau, ngoại trừ vùng 
quanh cặp này, nghiã là không gần w = wi. Do đó H(w) 
vẫn bằng phẳng ngoại trừ trong vùng xung quanh các 
tần số notch mong muốn.
Ví dụ 6.4.3: Hệ thống DSP hoạt động tại tần số lấy mẫu 
600 Hz, bị nhiễu tại tần số 60 Hz và các hài của nó. 
Thiết kế bộ lọc notch loại bỏ tất cả các hài mà vẫn 
phẳng với các tần số khác.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
Miba i
i
i ,...,2,1, == ρ
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch
Giải: Hài cơ bản là
Các hài khác tại fi = if1 ứng với w = wi. Có 10 hài nằm 
trong khoảng tần số Nyquist [0, fs], ký hiệu là fi, ứng 
với i = 0, 1, , 9. Do fs = 10f1, tất cả các hài nằm ngoài 
khoảng tần số Nyquist (nếu không bị lọc bởi bộ lọc 
chống aliasing) sẽ bị aliase thành các hài nằm trong 
khoảng này. Ví dụ, hài f11 = 11fs bị aliase f11 – fs = 11f1 -
10f1 = f1, và cứ như thế. Do đó bộ lọc notch số phải 
được thiết kế sao cho có các notch tại 10 tần số trong 
khoảng tần số Nyquist.
Suy ra 10 nghiệm của đa thức
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
[rad/mẫu] πππω 2.0
600
6022 1
1 ===
Sf
f
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ lọc Comb và Notch
Bộ lọc notch tìm được là:
vớùi R = r10. Hình sau đưa ra sơ đồà cựïc/zero ứùng vớùi hàøm 
truyềàn nàøy vàø đáùp ứùng biên â độä tương ứùng (chỉ tính toáùn 
giữa 0 õ ≤ w ≤ p).
Chọïn R = 0.98, hoặëc r = R0.1 = (0.98)0.1 = 0.998. Báùn kính 
r củûa cáùc cựïc rấát gầàn đườøng tròøn đơn vị vàø do đóù tạïo ra 
cáùc notch rấát nhọïn tạïi cáùc hàøi mong muốán. Tạïi cáùc tầàn 
sốá kháùc, đáùp ứùng biên â độä bằèng phẳúng.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( )∏
=
−− −=−=
9
0
110 11
i
j zezzN iω
( ) ( )( ) 10
10
1010
10
1 1
1
1
1
−
−
−
−
− −
−=−
−==
Rz
z
z
z
zN
zNzH ρρ
6.4. Thiết kế cực và zero
6.4.3. Bộ Lọc Comb Và Notch
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
Trong một số ứng dụng có thể cần loại bỏ tác dụng lọc 
trước đó và khôi phục lại tín hiệu vào từ tín hiệu ra sẵn 
có. Tín hiệu ra y(n) liên hệ với tín hiệu vào theo phương 
trình chập: y(n) = h(n) * x(n) (6.5.1)
Mụïc đích củûa phương pháùp giảûi chậäp làø nhằèm khôi â
phụïc x(n) từø tín hiệäu đã biẽ áát y(n) vàø h(n). Theo lýù
thuyếát, điềàu nàøy cóù thểå thựïc hiệän nhờø lọïc ngượïc, tứùc làø
lọïc tín hiệäu y(n) qua bộä lọïc ngượïc:
(6.5.2)
Thựïc sựï, trong miềàn z từø phương trình (6.5.1) ta cóù:
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( )zHzH inv
1=
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
và trong miền thời gian:
x(n) = hinv(n) * y(n) (6.5.3) 
hinv(n) là đáp ứng xung của bộ lọc ngược Hinv(z). Hình 
6.5.1 minh họa quá trình:
Hình 6.5.1: Lọïc ngượïc đểå khôi phuâ ïïc tín hiệäu ban đầàu.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzHzYzHzXzXzHzY inv==⇒=
1
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
Hai ứùng dụïng điểån hình củûa lọïc ngượïc làø cân bâ èèng kênh â
(channel equalization) trong truyềàn dữ liẽ ääu hoặëc âm â
thanh sốá vàø cân bâ èèng trong âm thanh xe hoâ ëëc phòøng 
trong hệä thốáng âm tâ ààn.
Hình 6.5.2: Bộ kênh bằng kênh.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
Âm thanh tạo bởi hệ thống âm tần trong phòng nghe bị 
thay đổi do đặc tính phản xạ và hấp thụ của đồ vật và
hình dạng tường của phòng. Tác động của phòng có thể
mô hình bởi đáp ứng xung phản xạ hroom(n), sóng âm 
thanh thực sự đến tai người nghe là phiên bản đã bị 
nhiễu của tín hiệu nguyên thủy x(n) do hệ thống tạo ra:
yroom(n) = hroom(n) * x(n) (6.5.4)
Đáp ứng xung hroom(n) phụ thuộc vào vị trí người nghe 
trong phòng, nhưng có thể đo đạc được và giải chập 
bằng cách lọc ngược:
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
Bên cạnh việc loại tác động phản xạ nội trong phòng, 
người ta có thể muốn thêm tiếng phản xạ xung quanh 
phòng hòa nhạc để tăng phần ấm áp và sinh động. Nếu 
tín hiệu x(n) được nghe trong phòng hòa nhạc có đáp 
ứng phản xạ hhall(n), âm thanh nghe được thực sự là:
yhall (n) = hhall(n) * x(n) (6.5.5)
Bộ xử lý tác động âm tần DSP (DSP audio effects 
processor) có sẵn có thể mô phỏng đặc tính phản xạ
của một phòng hòa nhạc điển hình và thực hiện phép 
lọc trên. Hình 6.5.3 là bộ xử lý tác động âm tần lý
tưởng.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzHzXzXzHzY roomroomroomroom
1=⇒=
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
Hình 6.5.3 Bộ xử lý tác động âm tần lý tưởng.
Trước tiên, giải chập âm thanh trong phòng nhờ tiền 
lọc tín hiệu âm tần x(n) bằng bằng bộ lọc ngược của 
hàm truyền phòng, dự đoán trước tác động của phòng, 
và chập nó với đáp ứng phản xạ mong muốn của phòng 
hòa nhạc. Hàm truyền khi ấy là hàm truyền hiệu quả, 
có dạng
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
Với bộ xử lý tác động DSP, sóng âm thanh trong phòng 
sẽ nghe giống như ở phòng hòa nhạc, phương trình 
(6.5.5). Bộ xử lý này sẽ được đề cập chi tiết trong 
chương 8.
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
( ) ( ) ( ) ( ) ( )zHzHzHzHzH hallroomhallroomeff ==
1
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN
6.5. Mạch lọc ngược, giải chập và tính ổn định
CHUƠNG 6: THIẾÁT KẾÁ BỘÄ LỌÏC 
SỐÁ DỰÏA VÀØO HÀØM TRUYỀÀN