Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z - Lê Tiến Thường

ốá bậäc 1 tương ứùng vớùi biếán z-1 nhưng bậäc 2 ứùng 
vớùi z. Vì thếá, nóù thỏûa mảûn khai triểån dạïng (5.5.1) tương 
ứùng vớùi z-1 nhưng không vơâ ùùi z.
Nhiềàu sáùch thích sửû dụïng z hơn vàø do đóù đểå cóù thểå khai 
triểån PF, hệä sốá z đượïc chia đểå làøm giảûm bậäc củûa tửû sốá vàø
kếá đóù khôi phuâ ïïc khi kếá thúùc, nghĩa làø
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( )( ) ( )( )( )25.1z8.0z 05.2z2zz25.11z8.01 z05.22zX 11
1
−−
−=−−
−= −−
−
( ) ( )
( )( ) 25.1z
A
8.0z
A
25.1z8.0z
05.2z2z
z
zX 21
−+−=−−
−=
Khi z được khôi phục, ta có:
Dễ dàng chứng minh rằng các hệ số khai triển PF sẽ 
giống nhau theo 2 cách. Trong sách này, chúng tôi thích 
z-1 hơn và tránh các bước số học phụ mà yêu cầu viết mọi 
thứ theo số hạng z, cho chia z, khôi phục z, và viết lại kế
quả cuối cùng theo số hạng z-1.
Ví dụ 5.5.4: Tính các biến đổi z ngược hợp lý của
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) 121121 z25.11
A
z8.01
A
25.1z
zA
8.0z
zAzX −− −+−=−+−=
( ) 2
1
z25.01
z6zX −
−
−
+=
Giải: Bởi vì tử số có bậc 1 theo z-1, chúng ta có khai 
triển PF:
trong đó:
Hai cực tại ± 0.5 có cùng biên độ và vì thế chia mặt 
phẳng z thành 2 miền ROC I và II: |z| > 0.5 và |z| < 0.5.
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( )( ) 121111
1
2
1
z5.01
A
z5.01
A
z5.01z5.01
z6
z25.01
z6zX −−−−
−
−
−
++−=+−
+=−
+=
 2
z5.01
z6A,4
z5.01
z6A
5.0z
1
1
2
5.0z
1
1
1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=
−=
−
−
=
−
−
Đối với ROC thứ nhất, cả hai số hạng trong khai triển 
PF được biến đổi nhân quả thành:
x(n) = A1(0.5)nu(n) + A2(– 0.5)nu(n) 
Bởi vì ROC này cũng chứa vòng tròn đơn vị, tín hiệu 
x(n) sẽ ổn định. Với ROC thứ hai, cả hai khai triển PF 
được biến đổi phản nhân quả thành:
x(n) = – A1(0.5)nu(– n – 1) – A2(– 0.5)nu( – n – 1) 
Đáp số này không ổn định bởi vì ROC không chứa vòng 
tròn đơn vị.
Ví dụ 5.5.5: Xác định tất cả biến đổi z ngược của
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) 2
21
z25.01
zz10zX −
−−
−
−+=
Giải: Trong trường hợp này, không sử dụng được khai 
triển PF thông thường vì bậc của tử số bằng bậc của mẫu 
số. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể có khai triển dạng 
(5.5.3).
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( )( ) 1211011
21
2
21
z5.01
A
z5.01
AA
z5.01z5.01
zz10
z25.01
zz10zX −−−−
−−
−
−−
++−+=+−
−+=−
−+=
Trong đó, A1 và A2 được xác định theo cách thông 
thường và A0 được xác định bằng cách tính X(z) tại z = 0:
Một lần nửa, chỉ có hai ROC I và II: |z| > 0.5 và |z| < 0.5. 
Đối với ROC thứ nhất, cả hai số hạng A1 và A2 được biến 
đổi nhân quả thành và số hạng A0 đơn giản biến đổi ngược 
là δ(n).
x(n) = A0d(n) + A1(0.5)nu(n) + A2(– 0.5)nu(n) 
Với ROC thứ hai, ta có:
x(n) = A0d(n) – A1(0.5)nu(– n – 1) – A2(– 0.5)nu( – n – 1) 
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
 2
z5.01
zz10A ,4
z5.01
zz10A
4
25.0
1
25.0z
1zz10
z25.01
zz10A
5.0z
1
21
2
5.0z
1
21
1
0z
2
12
0z
2
21
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−+=
=−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+=
−=
−
−−
=
−
−−
==
−
−−
Chỉ biến đổi ngược thứ nhất là ổn định vì ROC chứa 
vòng tròn đơn vị.
Ví dụ 5.5.6: Xác định biến đổi z ngược nhân quả của
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) 2
5
z25.01
z6zX −
−
−
+=
Giải: Bậc của tử số hoàn toàn lớn hơn bậc của mẫu số. 
Phương pháp thứ nhất là chia tử số cho mẫu số, ta có: 
(6 + z-5) = (1 – 0.25z-2)(– 16z-1 – 4z-3) + (6 + 16z-1)
Trong đó (6 + 16z-1) là đa thức dư và (– 16z-1 – 4z-3) là số
thương. Kế tiếp:
và khai triển số hạng cuối cùng thành dạng PF:
Biếán đổåi z nhân quâ ûû cóù ROC sẽ lã øø |z| > 0.5:
x(n) = - 16 d(n - 1) - 4d(n - 1) + 19(0.5)nu(n) - 13( -0.5)nu(n) 
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) 2
1
31
2
5
z25.01
z166z4z16
z25.01
z6zX −
−−−
−
−
−
++−−=−
+=
( ) 1131 z5.01
13
z5.01
19z4z16zX −−
−−
+−−+−−=
Phương pháp thứ hai là “khử/khôi phục”. Bỏ qua tử số
chúng ta có:
mà có biến đổi z nhân quả:
x(n) = 0.5(0.5)nu(n) + 0.5( -0.5)nu(n)
Khi đã biết w(n) thì x(n) có thể tìm được bằng cách 
khôi phục tử số: X(z)= (6 + z-5)W(z)= 6W(z)+ z-5W(z)
Lấy biến đổi z ngược cả hai vế và sử dụng tính chất trể, 
ta có:
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) 112 z5.01
5.0
z5.01
5.0
z25.01
1zW −−− ++−=−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )5nu5.05.05nu5.05.0 
nu5.03nu5.03)5n(wnw6)n(x
5n5n
nn
−−+−+
−+=−+=
−−
Hai kết quả thu được từ hai phương pháp là tương 
đương.
Ví dụ 5.5.7: Xác định tất cả biến đổi z ngược có thể có
của:
Giải: X(z) thỏa khai triển PF
trong đó các hệ số khai triển PF dễ dàng tìm được. Bốn 
cực tại z = 0.5, 1, -1, 1.5 chia miền z thành 4 miền ROC I, 
II, III, IV. Miền I tương ứng với đảo hoàn toàn phản nhân 
quả và miền IV tương ứng với đảo hoàn toàn nhân quả.
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( )( )( )
1 2 3
2 1 1
7 9 .5 3 .5 5 .5
1 1 0 .5 1 1 .5
z z zX z
z z z
− − −
− − −
− − += − − −
( ) 1111 z5.11
2
z5.01
3
z1
1
z1
1zX −−−− −+−+++−=
Đối với miền II, cực tại z = 0.5 sẽ biến đổi ngược nhân 
quả và phần còn lại phản nhân quả. Còn miền III, z = 0.5 
và z = ±1 sẽ biến đổi ngược nhân quả và z = 1.5 thì đảo 
phản nhân quả. Do đó, bốn biến đổi z ngược có thể có là:
Nói chính xác, không có kết quả nào là ổn định bởi vì
hai cực z = ± 1 nằm trên vòng tròn đơn vị. Tuy nhiên, 
x2(n) và x3(n) là ổn định biên, nghĩa là không hội tụ cũng 
phân kỳ về 0 khi nhân quả lớn. 
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )nu5.125.0311nx 1nu5.12nu5.0311nx
1nu5.1211nu5.03nx
1nu5.125.0311nx
nnn
4
nnn
3
nnn
2
nnn
1
++−+=
−−−+−+=
−−+−+−=
−−++−+−=
Trong cả hai trường hợp, số hạng phản nhân quả (1.5)n
tiến về 0 với nhân quả âm lớn. Thật vậy, do nhân quả âm, 
chúng ta viết n = - |n| và (1.5)n = (1.5)- |n|ơ 0 khi n ơ•.
Các số hạng do cực z = ± 1 là nhân quả hoặc phản nhân 
quả trong trường hợp II và III, nhưng chúng vẫn bị chặn. 
Hai tín hiệu khác x1(n) và x4(n) là không ổn định vì vòng 
tròn đơn vị không nằm trong ROC của chúng.
Giả sử rằng đa thức tử số và mẫu số N(z) và D(z) có các 
hệ số thực nghĩa là các cực phức của X(z) là các cặp liên 
hợp phức. Trong trường hợp đó, khai triển PF có dạng:
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ...
zp1
A
zp1
A
zp1
AzX 1
2
2
1*
1
*
1
1
1
1 +−+−+−= −−−
Trong đó, các hệ số khai triển PF cũng là các cặp liên 
hợp phức. Vì thế, chỉ cần xác định một là đủ, không cần 
cả hai. Biến đổi z ngược tương ứng sẽ là thực, thật vậy, 
xét trường hợp nhân quả chúng ta có:
Bởi vì hai số hạng đầu tiên là liện hợp phức của nhau 
nên chúng ta có thể dùng kết quả C + C* = 2Re(C) cho 
bất kỳ số phức C nào để viết số hạng thứ nhất.
Viếát A1 vàø p1 dướùi dạïng cựïc: vớùi B1 > 
0 vàø R1 > 0, ta cóù:
vàø lấáy phầàn thựïc củûa lũy thõ ừøa, ta cóù:
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( ) ( ) ( ) ...nupAnupAnupAnx n22n*1*1n11 +++=
( ) ( ) [ ]n11n*1*1n11 pARe2nupAnupA =+
11 j
11
j
11 eReBA
ωα == pvà [ ] [ ] [ ]1111 jnjn11njn1j1n11 eReRBeReBRepARe α+ωωα ==
và
Do đóù, cáùc cựïc phứùc tương ứùng hàøm sin suy giảûm theo 
lũy thõ ừøa (nếáu R1 < 1). Đườøng bao suy giảûm vàø tầàn sốá ω1
phụï thuộäc vàøo cựïc phứùc .
Cáùc sốá hạïng bậäc mộät trong khai triểån PF tương ứùng vớùi 
cáùc cựïc liên hơâ ïïp phứùc cóù thểå đượïc tổå hợïp lạïi thàønh sốá
hạïng bậäc hai vớùi cáùc hệä sốá thựïc như sau:
Sửû dụïng đồàng nhấát thứùc:
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( ) [ ] ( )11n11n11n*1*1n11 ncosRB2pARe2nupAnupA α+ω==+ ( ) ( ) ...nupAncosRB2)n(x n2211n11 ++α+ω=
n
1R
1j
11 eRp
ω=
( ) ( )( )( )1*111
1
1
*
1
*
11
*
11
1*
1
*
1
1
1
1
zp1zp1
zpApAAA
zp1
A
zp1
A
−−
−
−− −−
+−+=−+−
Hoặc 
và viết A1 + A1* = 2Re(A1) = 2B1cos(a1)
A1p1* + A1*p1 = 2Re(A1p1*) = 2B1R1cos(ω1 - a1)
chúùng ta tìm đượïc:
cóù cáùc hệä sốá thựïc.
Ví dụï 5.5.8: Xáùc định tấát cảû biếán đổåi z ngượïc cóù thểå cóù
củûa:
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( )( ) ( ) 221111*111 zpzpRe21zp1zp1 −−−− +−=−−( )( ) ( ) 2211111j11j1 zRzcosR21zeR1zeR1 11 −−−ω−−ω +ω−=−−
( ) ( )
( ) 221111
1
111111
1*
1
*
1
1
1
1
zRzcosR21
zcosRB2cosB2
zp1
A
zp1
A
−−
−
−− +ω−
ω−α−α=−+−
( ) 2
21
z25.01
zz34zX −
−−
+
+−=
Giải:
vớùi cáùc giáù trị
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( )( )
1
2
1
1
0
11
21
2
21
jz5.01
A
jz5.01
AA 
jz5.01jz5.01
zz34
z25.01
zz34zX
−−
−−
−−
−
−−
+−+=
−+
+−=+
+−=
Vì thế:
ROC nhân quả là ⏐z⏐ > ⏐0.5j⏐ = 0.5 sẽ cho:
Vì hai sốá hạïng cuốái cùøng làø liên hơâ ïïp phứùc củûa nhau nên â
chúùng ta viếát lạïi thàønh:
Viếát jn+1 = ejπ(n+1)/2, ta tìm đượïc phầàn thựïc: 
vàø
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
j3
jz5.01
zz34A ,4
z25.01
zz34A
j5.0z
1
21
1
0z
2
21
0 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+−==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+−=
=
−
−−
=
−
−−
( ) 2
1
11 z25.01
z34
jz5.01
j3
jz5.01
j34zX −
−
−− +−=+−−+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nuj5.0j3nuj5.0j3n4nx nn −−+= δ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]1nnn jRenu5.06n4nuj5.0j3Re2n4nx ++=+= δδ
[ ] ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +=+ 2nsin2 1ncosjRe 1n ππ
( ) ( ) ( ) ( )nu
2
nsin5.06n4nx n ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= πδ
Tương tự, chúng ta tìm được
đối với phiên bản phản nhân quả có ROC ⏐z⏐ < 0.5. 
Một số ví dụ khác với các cực liên hợp phức là các trường 
hợp (6 – 9) của ví dụ 5.2.2.
CHƯƠNG 5: BIẾÁN ĐỔÅI Z
( ) ( ) ( ) ( )1nu
2
nsin5.06n4nx n −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+= πδ