Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 4: Bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn - Đặng Ngọc Hạnh

G HỮU HẠN
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
Các phương pháp DSP trong thực tế:

Phương pháp xử lý khối: dữ liệu vào được thu 
thập và xử lý theo từng khối

Phương pháp xử lý mẫu: dữ liệu được xử lý từng 
mẫu ở từng thời điểm qua giải thuật DSP để cho 
các mẫu ở ngõ ra
2
3
-M
a
r-1
0
3
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
Phương pháp xử lý khối:

 Khối vào gồm L mẫu:
TL: tổng thời gian thu dữ liệu
fs: tốc độ lấy mẫu

 L mẫu lưu lại trong x(n), với n=0,1,,L-1:
x = [x0 x1 x2 x3 xL-1]

 Đáp ứng xung có chiều dài M+1: (bộ lọc FIR bậc M)
h = [h0 h1 h2 h3 hM]
2
3
-M
a
r-1
0
4
Hx0 x1 x2 ... xL-1 y0 y1 y2 y3 y4 
L s
L T f=
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
Phương pháp xử lý khối:

Tích chập

Dạng trực tiếp

Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian LTI

Dạng ma trận

Dạng lật và trượt

Trạng thái tức thời & trạng thái tĩnh

Tích chập đối với chuỗi không xác định chiều dài
2
3
-M
a
r-1
0
5
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
1. Tích chập:

Công thức tích chập dạng trực tiếp hoặc dạng LTI:
2
3
-M
a
r-1
0
6
Hx0 x1 x2 ... xL-1 y0 y1 y2 y3 y4 
( ) ( ) ( ) ( )
∑
∑∑
=+
=
−=−=
nji
ji
mm
jxihny
mnhmxmnxmhny
,
)()()(
)(
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
2. Dạng trực tiếp:

Xét bộ lọc nhân quả FIR bậc M: 

Với tín hiệu vào x chiều dài L, dạng trực tiếp:
2
3
-M
a
r-1
0
7
0 1 1[ , , ..., ]M hh h h h L M= = +
( ) ( ) ( )
m
y n h m x n m= −∑
 0
0 1 [y]
 0 1
[ ]
[ ]
h m M
n L M
x n m L
≤ ≤ 
⇒ ≤ ≤ − +
≤ − ≤ − 
Ngõ ra y(n) = [y0 y1 y2  yL – 1 + M]
có chiều dài Ly=L+M =Lx + Lh - 1
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN

Điều kiện của m:

Bộ lọc FIR bậc M, ngõ vào dữ liệu chiều dài L
2
3
-M
a
r-1
0
8
0
0 1
1
max( , ) min( , )
m M
n L m n M
n L m n
≤ ≤ 
⇒ − + ≤ ≤
− + ≤ ≤ 
0 1
min( , )
max( , )
( ) ( ) ( )
n M
m n L
y n h m x n m
= − +
= −∑
0 1 1, , ...,n L M= + −
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
VD: Xét bộ lọc bậc 3, chiều dài tín hiệu đầu vào là 5

Các khối ngõ vào, bộ lọc, ngõ ra: 

Ngõ ra y:
2
3
-M
a
r-1
0
9
0 1 2 3 4
0 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 7
[ , , , , ]
[ , , , ]
* [ , , , , , , , ]
x x x x x x
h h h h h
y h x y y y y y y y y
=
=
= =
3
0 4
min( , )
max( , )
n
n m n m
m n
y h x −
= −
= ∑
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
2
3
-M
a
r-1
0
10
0 0 4 0 3 0
0 1 4 1 3 0 1
0 2 4 2 3 0 1 2
0 3 4 3 3 0 1 2 3
0 4 4 4 3 0 1 2 3
0 5 4 5 3 1 2 3
0 6 4 6 3 2 3
max( , ) min( , )
max( , ) min( , ) ,
max( , ) min( , ) , ,
max( , ) min( , ) , , ,
max( , ) min( , ) , , ,
max( , ) min( , ) , ,
max( , ) min( , ) ,
m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
− ≤ ≤ ⇒ =
− ≤ ≤ ⇒ =
− ≤ ≤ ⇒ =
− ≤ ≤ ⇒ =
− ≤ ≤ ⇒ =
− ≤ ≤ ⇒ =
− ≤ ≤ ⇒ =
0 7 4 7 3 3ax( , ) min( , )m m− ≤ ≤ ⇒ =
0 0 0
1 0 1 1 0
2 0 2 1 1 2 0
3 0 3 1 2 2 1 3 0
4 0 4 1 3 2 2 3 1
5 1 4 2 3 3 2
6 2 4 3 3
7 3 4
y h x
y h x h x
y h x h x h x
y h x h x h x h x
y h x h x h x h x
y h x h x h x
y h x h x
y h x
=
= +
= + +
= + + +
= + + +
= + +
= +
=
y=[y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8]
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
3. Bảng tích chập:
2
3
-M
a
r-1
0
11
x0 x1 x2 x3 x4
h0 h0x0 h0x1 h0x2 h0x3 h0x4
h1 h1x0 h1x1 h1x2 h1x3 h1x4
h2 h2x0 h2x1 h2x2 h2x3 h2x4
h3 h3x0 h3x1 h3x2 h3x3 h3x4
,
n i j
i j
i j n
y h x
+ =
= ∑
j
i
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
3. Bảng tích chập:

 Ví dụ: tính tích chập của
h = [1, 2, -1, 1] và x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
2
3
-M
a
r-1
0
12
h x 1 1 2 1 2 2 1 1
1
2
-1
1 1
y = [ 1 3 3 5 3 7 4 3 3 0 1]
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
４. Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian LTI:

Tác động của bộ lọc là thay thế xung bị trễ bởi 
đáp ứng xung bị trễ
2
3
-M
a
r-1
0
13
0 1 2 3 4
0 1 2 3
[ , , , , ]
[ , , , ]
x x x x x x
h h h h h
=
=
0 1 2 3 41 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1[ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , ]x x x x x x= + + + +
0 1 2 3 41 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n x n x n x n x n x nδ δ δ δ δ= + − + − + − + −
0 1 2 3 41 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n x h n x h n x h n x h n x h n= + − + − + − + −
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
Mô tả khối dữ liệu ngõ vào, ngõ ra:
2
3
-M
a
r-1
0
14
0 0 1 2 30
1 0 1 2 31
2 2 0 1 2 3
3 3 0 1 2 3
4 4 0 1 2 3
0 0 0 01 0 0 0 0
0 0 0 00 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
[ , , , , , , , ][ , , , , ]
[ , , , , , , , ][ , , , , ]
[ , , , , ] [ , , , , , , , ]
[ , , , , ] [ , , , , , , , ]
[ , , , , ] [ , , , , , , , ]
H
x h h h hx
x h h h hx
x x h h h h
x x h h h h
x x h h h h
→
0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 2 4 3 3 3 4[ , , , ..., , ]y h x h x h x h x h x h x h x h x h x= + + + +
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
2
3
-M
a
r-1
0
15
h0` h1 h2 h3 h4
x0.h0 x0.h1 x0.h2 x0.h3 x0.h4
x1.h0 x1.h1 x1.h2 x1.h3 x1.h4
x2.h0 x2.h1 x2.h2 x2.h3 x2.h4
x3.h0 x3.h1 x3.h2 x3.h3 x3.h4
x4.h0 x4.h1 x4.h2 x4.h3 x4.h4
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
Dạng tuyến tính LTI của tích chập
2
3
-M
a
r-1
0
16
h0 h1 h2 h3 0 0 0 0
x0 x0h0 x0h1 x0h2 x0h3
x1 x1h0 x1h1 x1h2 x1h3
x2 x2h0 x2h1 x2h2 x2h3
x3 x3h0 x3h1 x3h2 x3h3
x4 x4h0 x4h1 x4h2 x4h3
yn y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y6
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
5. Dạng ma trận:

 x: vector chiều dài L

 H: ma trận (M+L) x L, xác định từ đáp ứng xung h(n)

 y = Hx là vector chiều dài L + M
2
3
-M
a
r-1
0
17
00
1 01
0
2 1 02
1
3 3 2 1 0
2
4 3 2 1 0
3
5 3 2 1
4
6 3 2
7 3
h 0 0 0 0
h h 0 0 0
h h h 0 0
h h h h 0
0 h h h h
0 0 h h h
0 0 0 h h
0 0 0 0 h
y
y
x
y
x
y
y x Hx
y
x
y
x
y
y
  
  
                = = =                
  
     
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
6. Dạng lật và trượt:

Chuỗi dữ liệu vào được mở rộng thêm M giá trị
zero ở đầu và cuối

Bộ lọc h(n) được lật ngược và trượt trên trên chuỗi 
dữ liệu vào

Tại mỗi thời điểm, mẫu ngõ ra được tính bởi tất cả
các điểm mà h(n) trượt với M+1 giá trị ngõ vào
2
3
-M
a
r-1
0
18
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
6. Dạng lật và trượt:

 yn = h0xn + h1xn-1 + ; + hMxn-M
2
3
-M
a
r-1
0
19
0 0 0 x0 x1 x2 
xn-3 xn-2 xn-1 xn xL-1 0 0 0
h3 h2 h1 h03 2 1 h03 2 1 h0 h3 h2 h1 h0 h3 h2 h1 h0
y0 y1 yn yL-1+My2
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN

0≤n<M: trạng thái ngõ vào mở tức thời

M ≤n ≤L-1: trạng thái tĩnh

L-1<n ≤L-1+M: trạng thái ngõ vào tắt tức thời
Nếu M+1≥L thì trạng thái tĩnh không tồn tại
2
3
-M
a
r-1
0
20
0
0
1
 0
 1
 1 1-
n
m n m
m
M
n m n m
m
M
m n m
m n L
h x n M
y h x M n L
h x L n L M
−
=
−
=
−
= − +

≤ <


= ≤ ≤ −


< ≤ − +

∑
∑
∑
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
7. Tích chập với chuỗi chiều dài không xác định:

Bộ lọc vô hạn, ngõ vào hữu hạn: M=∞, L< ∞

Bộ lọc hữu hạn, ngõ vào vô hạn: M<∞, L= ∞

Bộ lọc vô hạn, ngõ vào vô hạn: M=∞, L= ∞
2
3
-M
a
r-1
0
21
0 1
min( , )
max( , )
n M
n m n m
m n L
y h x −
= − +
= ∑
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN

Khi M∞: min(n.M)=n

Khi L∞: max(0,n-L+1)=0
2
3
-M
a
r-1
0
22
0 1
0
0
max( , )
min( , )
,
,
,
n
m n m
m n L
n M
n m n m
m
n
m n m
m
h x M L
y h x M L
h x M L
−
= − +
−
=
−
=

= ∞ < ∞


= < ∞ = ∞


= ∞ = ∞

∑
∑
∑
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
VD: Bộ lọc IIR h(n)=(0.75)nu(n). Tìm ngõ ra khi ngõ 
vào:
a, x(n)=u(n)
b, x(n) = u(n)-u(n-25)
2
3
-M
a
r-1
0
23
0 0
1
0
0 75
1 0 75
0 75 4 3 0 75 4
1 0 75
n n
m
m m
nn
m n
m
y n h m x n m u m u n m
n
= =
+
=
= − = −
−
= = = − → →∞
−
∑ ∑
∑
( ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( )
.
( . ) .( . ) ( )
.
0 1 0 24
0 75
max( , ) max( , )
( ) ( . )
n n
m
m n m
m n L m n
y n h x −
= − + = −
= =∑ ∑
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
８. Dạng khối chồng lấp:

 Khối dữ liệu vào x được chia thành các khối có chiều dài L.
2
3
-M
a
r-1
0
24
Khối x0 Khối x1 Khối x2
L + M
L + M
L + M
ytemp
L
x = 
y0 = 
y1 = 
y2 = 
n = 0 n = L n = 2L n = 3L
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
2
3
-M
a
r-1
0
25
Khối 0 Khối 1 Khối 2
h|x 1 1 2 1 2 2 1 1 0
1 1 1 2 1 2 2 1 1 0
2 2 2 4 2 4 4 2 2 0
-1 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -1 -1 0
1 1 1 2 1 2 2 1 1 0
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y0 1 3 3 4 -1 2
y1 1 4 5 3 0 2
y2 1 3 1 0 1
y 1 3 3 5 3 7 4 3 3 0 1
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
Phương pháp xử lý mẫu:
Các khối cơ bản của hệ thống DSP:

Bộ cộng:

Bộ nhân:

Bộ làm trễ:
2
3
-M
a
r-1
0
26
x1(n) x1(n)+x2(n)
x(n) ax(n)
x(n) x(n-1)z-1
a
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN

Khối trễ (Pure Delay): y(n)=x(n-1)

Tại mỗi thời điểm của n:

 Đưa ra ngõ ra giá trị x(n-1)

 Giữ lại giá trị x(n) lên thanh ghi, và nó sẽ đưa ra ở
thời điểm n+1

y(n)=w1(n)

w1(n+1)=x(n)
2
3
-M
a
r-1
0
27
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
2
3
-M
a
r-1
0
28
Bộ trễ đôi
Bộ trễ D đơn vị
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN

Bộ lọc FIR dạng trực tiếp:
2
3
-M
a
r-1
0
29
0
( ) ( ) ( )
M
m
y n h m x n m
=
= −∑
w0(n)=x(n)
y(n)=h0w0(n)++h3w3(n)
w3(n+1)=w2(n)
w2(n+1)=w1(n)
w1(n+1)=w0(n)
Thuật toán xử lý mẫu:
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN

Bộ lọc FIR dạng trực tiếp:
2
3
-M
a
r-1
0
30
v0(n)=x(n)
w0(n)=a1w1(n)+a2w2(n)+b0v0(n)+b1v1(n)+b2v2(n)
y(n)=w0(n)
v2(n+1)=v1(n);w2(n+1)=w1(n)
v1(n+1)=v0(n); w1(n+1)=w0(n)
yn=a1yn-1+a2yn-2+b0xn+b1xn-1+b2xn-2
Thuật toán xử lý mẫu:
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
VD: Cho bộ lọc bậc 3, chiều dài tín hiệu ngõ vào là 8
2
3
-M
a
r-1
0
31
1 2 1 1
1 1 2 1 2 2 1 1
[ , , , ]
[ , , , , , , , ]
?
h
x
y
= −
=
=
CHƯƠNG 4: 
BỘ LỌC ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN
VD: Vẽ sơ đồ khối & viết đáp ứng xung ngõ ra cho thuật 
toán xử lý mẫu trực tiếp của bộ lọc FIR với phương 
trình I/O sau:
y(n)=x(n)-x(n-4)
Cho ngõ vào x=[1,1,2,1,2,2,1,1], tính ngõ ra.
2
3
-M
a
r-1
0
32