Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Hệ thống rời rạc thời gian - Đặng Ngọc Hạnh

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
DSP (DIGITAL SIGNAL 
PROCESSING)
ThS. Đặng Ngọc Hạnh
hanhdn@hcmut.edu.vn
NỘI DUNG MÔN HỌC

Chương 1: Lấy mẫu & khôi phục tín hiệu

Chương 2: Lượng tử hóa

Chương 3: Hệ thống rời rạc thời gian

Chương 4: Đáp ứng xung hữu hạn

Chương 5: Biến đổi Z

Chương 6: Biến đổi Fourier rời rạc
Tài liệu tham khảo:

Lê Tiến Thường, “Xử lý số tín hiệu và wavelets – tập 
1”, ĐHQG Tp. HCM, 2001
1
9
-M
a
r-1
0
2
Chương 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian LTI 
(Linear Time Invariant System) được phân thành 2 
loại:

 FIR (Finite Impulse Response): đáp ứng xung hữu hạn

 IIR (Infinite Impluse Response): đáp ứng xung vô hạn
1
9
-M
a
r-1
0
4
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Quy tắc vào/ra:
1
9
-M
a
r-1
0
5
0 0
1 1
2 2
H
x y
x y
x y
x y
   
   
   = → =
   
   
      M M
•Phương pháp xử lý khối: một chuỗi đầu
vào được xem như 1 khối được hệ thống
xử lý cùng 1 lúc để tạo ra 1 khối ngõ ra
tương ứng
•Phương pháp biến đổi
mẫu theo mẫu được
xem là phương pháp xử
lý tức thời
0 0
1 1
2 2
...
H
H
H
x y
x y
x y
→
→
→
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

VD: y(n)=2x(n)

VD: y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2)
1
9
-M
a
r-1
0
6
{ } { }0 1 2 0 1 22 2 2, , , ... , , , ...Hx x x x x x→
0
01
2 1
3 2
34
5
2 0 0 0
3 2 0 0
4 3 2 0
0 4 3 2
0 0 4 3
0 0 0 4
y
xy
y x
y
y x
xy
y
   
               = =                   
    
Đây là trung bình cộng có
trọng số của liên tiếp các mẫu
đầu vào. Khối ngõ ra nhiều
hơn 2 phần tử vì bộ lọc nhớ 2 
phần tử.
Hai phần tử ra cuối cùng là
quá độ tắt khi ngõ vào đã hết.
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) được xử lý tương 
đương mẫu theo mẫu như sau:

y(n)=2x(n)+3w1(n)+4w2(n)

w2(n+1)=w1(n)

w1(n+1)=x(n)
*w1(n), w2(n) là các trạng thái trong của hệ thống. 
Thứ tự cập nhật của w1, w2 rất quan trọng
1
9
-M
a
r-1
0
7
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: y(n)=0.5y(n-1)+2x(n)+3x(n-1)

Ngõ ra được tính lại theo 1 hằng số của phương 
trình vi sai. Tại mỗi thời điểm n hệ thống phải 
nhớ các giá trị ngõ ra, ngõ vào trước đó (n-1)

Hệ thống trên được xử lý tương đương mẫu theo 
mẫu như sau:

 y(n)=0.5w1(n)+2x(n)+ 3v1(n)

 w1(n+1)=y(n)

 v1(n+1)=x(n)
1
9
-M
a
r-1
0
8
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
Tính tuyến tính:
Hệ thống tuyến tính khi: y(n) = a1y1(n) + a2y2(n)
1
9
-M
a
r-1
0
9
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: Kiểm tra tính tuyến tính của hệ thống sau:
a. y(n)=3x(n) +5
b. y(n)=ex(n)
1
9
-M
a
r-1
0
10
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
Tính bất biến:
Hệ thống bất biến khi: yD(n) = y(n-D)
1
9
-M
a
r-1
0
11
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: Kiểm tra tính bất biến của hệ thống sau:
a. y(n)=3x(n) +5
b. y(n)=ex(n)
1
9
-M
a
r-1
0
12
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
Hệ thống tuyến tính bất biến đặc trưng bằng chuỗi
đáp ứng xung đơn vị h(n), đáp ứng của hệ thống đối
với xung đơn vịδ(n)
1
9
-M
a
r-1
0
13
( ) ( )Hn h nδ →
0 1 2 31 0 0 0{ , , , , ...} { , , , , ...}
H h h h h→
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Tính bất biến và tuyến tính:

Chuỗi x(n) bất kỳ {x(0),x(1),x(2),}

Chuỗi ngõ ra tương ứng:
1
9
-M
a
r-1
0
14
( ) ( ) ( )
m
y n x m h n m= −∑ ( ) ( ) ( )
m
y n h m x n m= −∑
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...y n x h n x h n x h n= + − + − +
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...x n x n x n x nδ δ δ= + − + − +
( ) ( )Hn D h n Dδ − → −
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Hn n n h n h n h nδ δ δ+ − + − → + − + −
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
Hệ thống FIR và IIR
1
9
-M
a
r-1
0
15
Đáp ứng xung h(n) hữu hạn Đáp ứng xung h(n) vô hạn
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Bộ lọc FIR có đáp ứng xung h(n) có giá trị trong 
khoảng thời gian 0≤n ≤M:

 M: bậc bộ lọc

 Chiều dài đáp ứng xung Lh=M+1

Phương trình bộ lọc FIR:
1
9
-M
a
r-1
0
16
0 1 0 0 0{ , , ..., , , , ...}Mh h h
0
( ) ( ) ( )
M
m
y n h m x n m
=
= −∑
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: Bộ lọc FIR bậc ba đặc trưng bởi 4 trọng số:

Xét bộ lọc FIR sau:

Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc trên là:
h=[h0,h1,h2,h3]=[2,3,5,2]
1
9
-M
a
r-1
0
17
0 1 2 3[ , , , ]h h h h h=
0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n h x n h x n h x n h x n= + − + − + −
2 3 1 5 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n x n x n x n x n= + − + − + −
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Bộ lọc IIR có đáp ứng xung h(n) có giá trị trong 
khoảng thời gian 0≤n <∞:

Phương trình bộ lọc IIR:
1
9
-M
a
r-1
0
18
0
( ) ( ) ( )
m
y n h m x n m
∞
=
= −∑
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: Xét bộ lọc IIR có phương trình vi sai I/O sau:

Điều kiện nhân quả: h(-1)=0
Hay
1
9
-M
a
r-1
0
19
1( ) ( ) ( )h n h n nδ= − +
0 0 1 0
0 0 1
1 0 1 2 1 1
: ( ) ( ) ( )
: ( ) , ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( ) , ...
n h h
n n h n h n
h h h h
δ
δ
= = − +
> = = −
= = = =
1 0
0 0
( ) ( )
n
h n u n
n
≥
= = 
<
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Ngõ ra y(n):
1
9
-M
a
r-1
0
20
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
m m
y n h m x n m x n m
∞ ∞
= =
= − = −∑ ∑
1 2
1 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ...
( ) ( ) ( ) ( ) ...
y n x n x n x n
y n x n x n x n
= + − + − +
− = − + − + − +
Suy ra:
1( ) ( ) ( )y n y n x n− − =
1( ) ( ) ( )y n y n x n= − +
Phương trình I/O:
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
Tính nhân quả của hệ thống:

Tín hiệu nhân quả: tín hiệu chỉ tồn tại khi n≥0, 
triệt tiêu khi n≤-1

Tín hiệu không nhân quả: tín hiệu chỉ tồn tại khi
n≤-1, triệt tiêu khi n≥0

Tín hiệu trung gian: tín hiệu tồn tại trong cả 2 
miền thời gian trên
1
9
-M
a
r-1
0
21
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
VD: Xét bộ lọc làm trơn 5-tap, hệ số lọc h(n)=1/5 trong 
-2≤n ≤ 2
Bộ lọc có phần không nhân quả trong khoảng D=2, có
thể làm cho nó nhân quả bằng cách làm trễ 2 đơn vị:
1
9
-M
a
r-1
0
22
2 2
2 2
1
5
( ) ( ) ( ) ( )
m m
y n h m x n m x n m
=− =−
= − = −∑ ∑
1
2 1 1 2
5
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]y n x n x n x n x n x n= + + + + + − + −
2
1
2 1 2 3 4
5
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]y n y n x n x n x n x n x n= − = + − + − + − + −
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Xét bộ lọc không nhân quả hữu hạn -D≤n≤-1:
1
9
-M
a
r-1
0
23
( ) ( ) ( )
m D
y n h m x n m
∞
=−
= −∑
0
( ) ( ) ( )
D D
m
y n h m x n m
∞
=
= −∑
Không nhân quả hữu hạn Nhân quả hữu hạn
( ) ( )
D
y n y n D= −
CHƯƠNG 3: 
HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
Tính ổn định của hệ thống:

Hệ thống LTI ổn định khi đáp ứng xung h(n)0 
khi n±∞

Nếu đầu vào có giới hạn thì đầu ra cũng có giới hạn

Điều kiện ổn định:
1
9
-M
a
r-1
0
24
( )h n
+∞
−∞
< ∞∑