Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc - Lê Tiến Thường

 bộ lọc FIR sau:
(a) y(n) = 2x(n) + 3x(n-1) + 5x(n-2) + 2x(n-3)
(b) y(n) = x(n) - 4x(n-4)
Solution: So sánh phương trình I/O với phương trình
(3.4.2), xác định hệ số đáp ứng xung:
(a) h = [2, 3, 5, 2]
(b) h = [1, 0, 0, 0, -4]
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Hay, khi cho một xung đơn vị làm đầu vào, x(n) = d(n), thì
ngõ ra là chuỗi các đáp ứng xung, y(n) = h(n):
(a) h(n) = 2d(n) + 3d(n – 1) + 5d(n – 2) + 2d(n – 3)
(b) h(n) = d(n) – d(n – 4) 
các biểu thức h(n) và h tương đương.
Ngược lại, một bộ lọc IIR, có khoảng thời gian đáp ứng
xung h(n) xác định trên khoảng thời gian vô hạn 0 ≤ n < 
•. phương trình (3.3.3) có vô số các số hạng:
(phương trình bộ lọc IIR) (3.4.3)
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( )∑∞
=
−=
0m
mnxmhny
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Phương trình I/O không có khả năng tính toán bởi vì
không thể tính toán một số lượng vô hạn các số hạng. Vì
thế phải giới hạn bộ lọc IIR thành các lớp phụ, trong đó
một số vô hạn các hệ số bộ lọc {h0, h1, h2,} không được
chọn một cách tùy ý, mà các lớp được ghép với nhau qua 
các hệ số hằng tuyến tính của phương trình vi sai.
Ví dụ 3.4.8: Xác định dạng chập vòng và đáp ứng xung
của bộ lọc IIR được mô tả bởi phương trình vi sai sau:
y(n) = 0,25y(n – 2) + x(n)
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Giải: Đáp ứng xung h(n) sẽ thỏa phương trình vi sai:
h(n) = 0,25h(n – 2) + d(n)
với h(–2) = h(–1) = 0. Một vài lần lặp sẽ cho:
h(0) = 0,25h(–2) + d(0) = 1
h(1) = 0,25h(–1) + d(1) = 0
h(2) = 0,25h(0) + d(2) = 0,25 = 0,52
h(3) = 0,25h(1) + d(3) = 0
h(4) = 0,25h(2) + d(4) = 0,252 = 0,54
Và thông thường, với n ≥0. Có thể viết tương đương:
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Có thể viết tương đương: h ={1, 0, 0.52, 0, 0.54, 0,. . .}
Và phương trình (3.4.3) trở thành:
y(n) = x(n) + 0.52x(n – 2) + 0.252x(n – 4)
Từ đó cho kết quả là phương trình vi sai
Ví dụ 3.4.9: xác định phương trình vi sai I/O của bộ lọc
IIR theo đáp ứng chu kỳ nhân quả sau:
h ={2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, . . .}
trong đó là chu kỳ lặp lại của bốn mẫu: 
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( )
⎩⎨
⎧
=
==
lẻ nếu
chẳn nếu
n
nnh
n
,0
,5.0
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Giải: Nếu làm trễ đáp ứng một chu kỳ, đó là bốn mẫu sẽ
có: h(n – 4) ={0, 0, 0, 0, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, . . .}
h(n) trừ đi sẽ có: h(n) – h(n – 4) = {2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0,. . .}
với tất cảc các mẫu lón hơn 4 sẽ triệt tiêu. Các toán tử sẽ
được minh họa như sau:
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Như vậy, vế phải chỉ khác không khi n = 0, 1, 2, 3 và có
thể viết lại theo phương trình vi sai như sau:
h(n) – h(n – 4) = 2d(n) + 3d(n – 1) + 4d(n – 2) + 5d(n – 3)
hay tính ra cho h(n):
h(n) = h(n – 4) + 2d(n) + 3d(n – 1) + 4d(n – 2) + 5d(n – 3)
Dùng phương pháp của ví dụ trước, có thể thấy y(n) thỏa
phương trình vi phân tương tự:
yn = yn – 4 + 2xn + 3xn-1 + 4xn-2 + 5xn-3
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
Ví dụ này cho thấy cách tạo dạng sóng số chu kỳ. Đối với
dạng sóng được phát ra dùng đáp ứng xung của hệ thống
LTI, cần phải xác định phương trình vi sai, và sau đó tác
động vào một xung, và sau đó nó sẽ phát ra các đáp ứng
xung là dạng sóng mong muốn.
Thôngâ thườøng bộä lọïc IIR vớùi đáùp ứùng xung h(n) cóù dạïng:
hay khai triểån:
Dùøng phương pháùp trong ví dụï 3.4.7 cóù thểå thấáy phương
trình vòøng chậäp đượïc rúùt ra như sau:
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( )∑∑
==
−+−=
L
i
i
M
i
i inbinhanh
01
δ
LnnnMnMnnn bbbhahahah −−−−− +++++++= "" 1102211 δδ
3.4. Bộ lọc FIR và IIR
hay viết rõ ràng
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( )∑∑
−=
−+−=
L
i
i
M
i
i inxbinyany
01
LnLnnMnMnnn xbxbxbyayayay −−−−− +++++++= "" 1102211
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Giống như tính hiệu tương tự, tín hiệu số cũng được phân
loại thành tính hiệu nhân quả, không nhân quả và tính
hiệu trung gian, giống như hình 3.5.1.
Mộät tín hiệäu nhânâ quảû (causual) làø tín hiệäu chỉ tồàn tạïi khi
n ≥ 0 vàø triệät tiêuâ vớùi cáùc giáù trị n ≤ -1. Tín hiệäu nhânâ quảû
làø loạïi tín hiệäu phổå biếán nhấát bởûi vì đóù làø tín hiệäu thườøng
pháùt ra trong cáùc phòøng thí nghiệäm hoặëc khi mởû máùy
pháùt nguồàn tín hiệäu.
Mộät tín hiệäu khôngâ nhânâ quảû làø tín hiệäu chỉ tồàn tạïi khi
n ≤ -1 vàø triệät tiêuâ khi n ≥ 0. Tín hiệäu trung gian làø tín
hiệäu tồàn tạïi cảû trong hai miềàn thờøi gian nóùi trênâ .
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Hình 3.5.1 Tín hiệu nhân quả, không nhân quả
và hai phía
Các hệ thống LTI cũng có thể phân loại theo tính chất
nhân quả dựa vào đáp ứng xung h(n) nhân quả, không
nhân quả hay là tín hiệu hai phía. Đối với tín hiệu hai
phía, trên toàn dải -• < n < + •, phuơng trình chập vòng
có thể viết như sau:
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Như vậy các hệ thống có thể thực hiện trong thời gian
thực, và có thể viết lại như sau:
như vậy việc tính ngõ ra y(n) tại thời điểm n cần phải
biết các mẫu tương lai x(n+1), x(n+2),  , nhưng thực tế
chưa xuất hiện để xử lý.
Bộ lọc chèn và làm trơn FIR phụ thuộc vào các bộ lọc
hai phía trong đó không chỉ có phần không nhân quả hữu
hạn mà còn có khoảng thời gian không nhân quả hữu hạn
– D ≤ n ≤ D 
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
−=
m
mnxmhny
"" ++++++= −−+−+− 221101122 nnnnnn xhxhxhxhxhy
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Như các bộ lọc trình bày trog hình 3.5.2. Thông thường
phần nhân quả của h(n) có thể hữu hạn hay vô hạn. 
Phuơng trình I/O (3.5.1) thuộc lớp bộ lọc này.
Hình 3.5.2 Bộ lọc không nhân quả hữu hạn và dạng nhân
quả của nó.
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.5. Tính nhân quả và ổn định
(3.5.2)
Mộät kỹõ thuậät chuẩån đểå giảûi quyếát bộä lọïc nàøy làø cho nóù nhânâ
quảû bằèng cáùch làøm trễã thờøi gian D, đóù làø
hD(n) = h(n – D)
Như trình bày trong hình 3.5.2, toán tử này dịch h(n) sang 
vế phải D đơn vị làm cho nó nhân quả. Phuơng trình bộ
lọc I/O cho bộ lọc nhân quả hD(n) sẽõ làø:
(3.5.3)
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( )∑∞
−=
−=
Dm
mnxmhny
( ) ( ) ( )∑∞
−
−=
0m
DD mnxmhny
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Và có thể thực hiện trong thời gian thực. Kết quả có thể
rút ra yD(n) dễ dàng bằng cách làm trễ y(n) trong
phương trình (3.5.2) như sau: yD(n) = y(n – D)
Ví dụ 3.5.1: Xét bộ lọc làm trơn 5-tap của ví dụ 3.1.7 có
hệ số lọc h(n) = 1/5 trong -2 ≤ n ≤2. Phương trình chập
vòng I/O tương ứng như sau:
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( ) ( )∑∑
−=−=
−=−=
2
2
2
2 5
1
mm
mnxmnxmhny
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2112
5
1 −+−+++++= nxnxnxnxnx
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Nó được gọi là trung bình hay làm trơn bởi vì tại mỗi thời
điểm n, giá trị x(n) được thay thế bởi trung bình của nó
với hai giá trị trước và sau nó. Vì thế nó là bằng phẳng
bớt các thay đổi bất thường từ mẫu sang mẫu.
Nó có phần không nhân quả có khoảng thời gian D = 2 và
có thể làm cho nhân quả bằng cách làm trễ hai đơn vị, 
kết quả là:
Ngoài tính chất nhân quả hệ thống LTI có thể phân loại
thành các tính chất ổn định. 
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4321
5
122 −+−+−+−+=−= nxnxnxnxnxnyny
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Một hệ thống LTI ổn định là một hệ thống mà toàn bộ
đáp ứng xung h(n) tiến về 0 khi n -> ±•, cho nên ngõ ra
y(n) của hệ thống sẽ không bao giờ phân kỳ, nó tồn tại
một cận |y(n)| ≤ B nếu đầu vào bị giới hạn |x(n)| ≤ A. Đó
là hệ thống ổn định nếu đầu vào có giới hạn và tạo ra
đầu ra cũng có giới hạn.
Điều kiện cần và đủ để hệ thống LTI ổn định đó là đáp
ứng xung thỏa:
điều kiện ổn định (3.5.4)
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ∞<∑∞
−∞=n
nh
3.5. Tính nhân quả và ổn định
Ví dụ 3.5.2: Xét bốn mẫu sau :
a) h(n) = (0.5)nu(n) ổn định và nhân quả
b) h(n) = –(0.5)nu(– n – 1) không ổn định và không nhân quả
c) h(n) = –(0.5)nu(– n – 1) không ổn định và nhân quả
d) h(n) = –(0.5)nu(– n – 1) ổn định và không nhân quả
Có hai trường hợp nhân quả, sự tồn tại của bước đơn vị
u(n) là cho h(n) sẽ khác không chỉ khi n ≥ 0, trong khi đó
trong trường hợp phi nhân quả do có u(– n – 1) làm cho
h(n) khác không khi n ≤ – 1. Ví dụ đầu tiên là có khuynh
hướng giảm theo hàm mũ khi n –> •. D thứ hai phân kỳ
khi n –> –•. Thật vậy do n âm nến có thế viết n = -|n| và
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
3.5. Tính nhân quả và ổn định
như vậy nó sẽ tăng lên với các giá trị lớn n âm. Ví dụ thứ
ba tăng khi n –> • và ví dụ thứ tư tăng khi n –> -•. 
Nó có thể rút ra từ:
CHUƠNG 3: CÁÙC HỆÄ THỐÁNG 
THỜØI GIAN RỜØI RẠÏC
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1215.015.0 −−−=−−−=−−−= − nunununh nnn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )15.01212 −−−=−−−=−−−= − nunununh nnn