Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền z

3z
2
1z
4
1
4
1
4
1z
4
1z
4
1z
2
1z
4
31 43214321
−


 ++++−++++ −−−−−−−−
= 
16
15
z
16
1z
8
3z
16
11
16
15 321 −−− +++
 = 1 + 
15
11 z-1 + 
5
2 z-2 + 
15
1 z-3
→ B3(z) = 15
1 + 
5
2 z-1 + 
15
11 z-2 + z-3
→ k3 = a3(3) = 15
1
→ A2(z) = 2
3
333
k1
)z(Bk)z(A
−
−
 = 
2
321321
15
11
zz
15
11z
5
2
15
1
15
1z
15
1z
5
2z
15
111
−


 +++−+++ −−−−−−
 = 
225
224
z
225
79z
75
53
225
224 21 −− ++
 = 1 + 
224
159 z-1 + 
224
79 z-2
→ B2(z) = 224
79 + 
224
159 z-1 + z-2
→ k2 = 224
79
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 78
→ A1(z) = 2
2
222
k1
)z(Bk)z(A
−
−
 = 2
2121
224
791
zz
224
159
224
79
224
79z
224
79z
224
1591


−


 ++−++ −−−−
 = 1 + 1
2
2 z299145
224
224
145159 −



×

 × = 1 + 
299
159 z-1
→ k1 = 299
159
Tóm lại hệ thống ổn định vì
k1 = 299
159 < 1
k2 = 224
79
 < 1
k3 = 15
1 < 1
k4 = 4
1 < 1
Ví dụ2.25:
 Giả sử ta có1 hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân sau :
 y(n) + a1y(n -1) + a2y(n - 2) = x(n)
Hãy xét sự ổn định của hệ thống theo hai tham số a1 , a2
Giải :
 Lấy biến đổi Z 2 vế của phương trình sai phân ta có
Y(Z)( 1+ a1z-1 + a2z-2 ) = X(z)
Vậy hàm truyền đạt H(z) = 
)z(X
)z(Y = 2
2
1
1 zaza1
1
−− ++
 Xét sự ổn định : ° A2(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2
 ° B2(z) = a2+ a1z-1 + z-2
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 79
° k2 = a2
A1(z) = 2
2
222
k1
)z(Bk)z(A
−
− = 2
2
21
122
2
2
1
1
a1
)zzaa(azaza1
−
++−++ −−−−
 = ( ) ( )2
2
1
211
2
2
a1
zaaaa1
−
−+− − = 1 + 
2
1
a1
a
+ .z
-1
→ k1 = 
2
1
a1
a
+ Điều kiện ổn định 2k < 1
1k < 1
⇒ 2a < 1 và
2
1
a1
a
+ < 1
⇒ – 1 < a2 < 1 và –1 < 
2
1
a1
a
+ < 1
Vậy : -1 < a2 < 1 và -1-a2 < a1 < 1+ a2
a2 > –1 – a1
Hay a2 > a1 – 1
–1 < a2 < 1
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 80
BÀI TẬP CHƯƠNG II
Bài tập 2.1
 Xác định biến đổi Z của các tín hiệu sau :
1) x(n) = {3, 0, 0, 0, 0, 6, 1, -4}
2) x(n) = 






≤
≥


4nkhi0
5nkhi
2
1 n
Bài tập 2.2
 Tính biến đổi Z và vẽ miền hội tụ của các tín hiệu sau :
1) x1(n) = 



<


≥


−
0nkhi
2
1
0nkhi
3
1
n
n
2) x2(n) = 



<
≥−


0nkhi0
0nkhi2
3
1 n
n
3) x3(n) = x1(n+4)
4) x4(n) = x1(–n)
Bài tập 2.3
 Tính biến đổi Z và vẽ sơ đồ không-cực tương ứng của các tín hiệu sau :
1) x(n) = (1 + n).u(n)
2) x(n) = (an + a-n).u(n)
3) x(n) = (-1)n 2nu(n)
4) x(n) = n.an sinωon.u(n)
5) x(n) = n.an cosωon.u(n)
6) x(n) = A.rn cosωon.u(n) (0< r <1)
7) x(n) = 


2
1 (n2 + n) 
1n
3
1 −

 u(n – 1)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 81
8) x(n) = 
2
2
1 

 [u(n) – u(n – 10)]
Bài tập 2.4
 Xác định biến đổi Z của các tín hiệu sau :
1) x(n) = n(-1)n u(n)
2) x(n) = n2 u(n)
3) x(n) = (-1)n 

 n
3
cosπ u(n)
4) x(n) = (-1)n u(n)
5) x(n) = -n.an u(-n – 1)
6) x(n) = {1, 0, -1, 0, 1, -1,. . .}
Bài tập 2.5
 Biểu diễn biến đổi Z của tín hiệu :
y(n) = ∑
−∞=
n
k
)k(x qua X(z)
Bài tập 2.6
Sử dụng biến đổi Z để tính tổng chập của các tín hiệu sau :
x1(n) = 



<


≥


−
0nkhi
2
1
0nkhi
3
1
n
n
x2(n) = 
n
2
1 

 u(n)
Bài tập 2.7
 Xác định tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z ngược của nó
X(z) = ( )( )211 z1z21 1 −− −−
Bài tập 2.8
 Dùng phép chia, xác định biến đổi Z ngược của tín hiệu x(n) :
X(z) = 21
1
zz21
z21
+−
+
−
−
Bài tập 2.9
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 82
 Xác định tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z của nó
1) X(z) = 21
1
z2z31
z31
−−
−
++
+
2) X(z) = 
21 z
2
1z1
1
−− +−
3) X(z) = 1
76
z1
zz
−
−−
−
+
4) X(z) = 2
2
z1
z21
−
−
−
+
5) X(z) = 
4
1


 −+−
++
−−−
−−
121
21
z
2
11)z2z21(
zz61
6) X(z) = 21
1
z5,0z5,11
z5,12
−−
−
+−
−
7) X(z) = 21
21
z4z41
zz21
−−
−−
++
++
8) Cho X(z) bởi sơ đồ không cực với G = 
4
1
9) X(z) = 
1
1
z
2
11
z
4
11
−
−
+
−
Bài tập 2.10
 Xác định mọi tín hiệu x(n) có thể thu được từ biến đổi Z
X(z) = ( )11
1
z3)z21(
z5
−−
−
−−
Imz
Rezrθ
r
-1/4
θ = 
4
1
r = 
2
1
-1/2 0
Hình BT.2.9
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 83
Bài tập 2.11
 Xác định tổng chập của các cặp tín hiệu sau bằng cách dùng biến đổi Z :
 1) x1(n) = 
n
4
1 

 u(n – 1) ; x2(n) = 


 

+
n
2
11 u(n)
 2) x1(n) = u(n) ; x2(n) = δ(n) +
n
2
1 

 u(n)
 3) x1(n) = 
n
2
1 

 u(n) ; x2(n) = cosπn.u(n)
 4) x1(n) = n.u(n) ; x2(n) = 2n u(n-1)
Bài tập 2.12
 Xác định tổng chập của các cặp biến đổi Z sau bằng cách dùng biến đổi Z một
phía.
1) x1(n) = {1, 1, 1, 1, 1} ; x2(n) = {1, 1, 1}
2) x1(n) = 
n
2
1 

 u(n) ; x2(n) =
n
3
1 

 u(n)
3) x1(n) = {1, 2, 3, 4} ; x2(n) = {4, 3, 2, 1}
Bài tập 2.13
 Sử dụng biến đổi Z một phía để xác định y(n), n ≥ 0 trong trường hợp sau :
 1) y(n) + 
2
1 y(n – 1) 
4
1− y(n – 2) = 0 ; y(-1) = y(-2) = 1
 2) y(n) – 1,5y(n – 1) + 0,5(n – 2) = 0 ; y(-1) = 1, y(-2) = 0
 3) y(n) = 
2
1 y(n – 1) + x(n) ; x(n) = 
n
3
1 

 u(n), y(-1) =1
 4) y(n) = 
4
1 y(n – 2) + x(n) ; x(n) = u(n), y(-1) = 0, y(-2) = 1
Bài tập 2.14
 Chứng minh rằng hai hệ thống sau là tương đương :
1) y(n) = 0,2y(n-1) + x(n) – 0,3x(n-1) + 0,02x(n-2)
2) y(n) = x(n) – 0,1x(n-1)
Bài tập 2.15
 Xét hệ thống
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 84
H(z) = 
)z2,01)(z5,01)(z1(
zz2z21
111
321
−−−
−−−
−−−
−+− ; ROC : 0,5 < z <1
1) Vẽ sơ đồ không – cực của hệ thống. Hệ thống này có ổn định không ?
2) Xác định đáp ứng xung của hệ thống.
Bài tập 2.16
 Tính đáp ứng của hệ thống:
 y(n) = 0,7y(n-1) + 0,12y(n-2) + x(n-1) + x(n-2)
khi ngõ vào là x(n) = nu(n). Hệ thống này có ổn định không ?
Bài tập 2.17
 Xác định đáp ứng xung của hệ thống trên hình vẽ sau nếu biết :
h1(n) = 
n
3
1 

 u(n) ; h2(n) = 
n
2
1 

 u(n) ; h3(n) = 
n
5
1 

 u(n)
Bài tập 2.18
Xác định đáp ứng xung và đáp ứng bậc của các hệ thống nhân quả sau đây. Vẽ sơ
đồ không-cực và xác định tính ổn định của hệ thống.
1) y(n) = 
4
3 y(n-1) 
8
1− y(n-2) + x(n)
2) y(n) = y(n-1) + 0,5y(n-2) + x(n) + x(n-1)
3) H(z) = 31
11
)z1(
)z1(z
−−
−−
−
+
4) y(n) = 0,6y(n-1) + 0,8y(n-2) + x(n)
5) y(n) = 0,7y(n-1) - 0,1y(n-2) + 2x(n) – x(n-2)
Bài tập 2.19
 Xét một hệ thống tuyến tính bất biến khi có tín hiệu ngõ vào là :
h1(n)
x(n) y(n)
h2(n) h3(n)
Hình BT.2.17
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 85
x(n) = 
n
2
1 

 u(n) 
4
1−
1n
2
1 −

 u(n – 1)
thì ngõ ra là :
 y(n) = 
n
3
1 

 u(n)
1) Hãy xác định đáp ứng xung h(n) và hàm truyền đạt H(z) của hệ thống thoả mãn
đề bài.
2) Tìm phương trình sai phân đặc trưng cho hệ thống này
3) Xác định sơ đồ thực hiện hệ thống và sơ đồ này dùng ít bộ nhớ nhất
4) Xác định tính ổn định của hệ thống.
Bài tập 2.20
 Hãy tìm miền ổn định của hệ thống nhân quả :
 H(z) = 2
2
1
1 zaza1
1
++ −
Bằng cách tìm các điểm cực và cho chúng nằm trong vòng tròn đơn vị.
Bài tập 2.21
 Xét hệ thống nối ghép như hình vẽ sau, biết :
h(n) = an u(n) ( a <1)
1) Xác định đáp ứng xung của hệ thống lớn và xác định nếu hệ thống có tính ổn
định và nhân quả.
2) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống.
Bài tập 2.22
 Xét hệ thống
h(n)
δ(n – 2)
δ(n – 1)
h(n)
x(n) y(n)
Imz
Rezrθ
r
-0,8
θ = 
6
π
r = 1,5
Hình BT.2.23
Hình BT 2.21
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 86
H(z) = 
21
21
z
25
2z
5
31
z
2
1z
−−
−−
+−
+
1) Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống.
2) Tìm đáp ứng bậc nếu y(-1) = 1 và y(-2) = 2.
Bài tập 2.23
 Xét hệ thống được đặc trưng bởi sơ đồ không – cực :
1) Xác định hàm truyền đạt và đáp ứng xung của hệ thống biết ==1z)z(H 1.
2) Hệ thống có ổn định không ?
3) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống và xác định phương trình sai phân biểu diễn hệ
thống.
Bài tập 2.24
 Một mạch lọc đệ quy có hàm truyền đạt :
H(z) = 
1zz2z3z4z5z6
z
23456
6
++++++
1) Hãy kiểm tra tính ổn định mạch lọc
2) Hãy thực hiện như câu (1) với :
H(z) = 
1zz2z3z4z5z6
)2z(
23456
2
++++++
+
Bài tập 2.25
 Một mạch lọc số đặc trưng bởi hàm truyền đạt :
H(z) = 
1zmzz3z4
z
234
4
++++
 Tìm khoảng giá trị của m để mạch lọc ổn định.
Bài tập 2.26
 Tìm biến đổi Z ngược :
X(z) = 








−
−
−
−
1
10
z
2
11
z1024
1024
1 với z >0
Bài tập 2.27 :
Cho hệ thống tuyến tính bất biến :
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số 87
y(n – 1) 
3
10− y(n) + y(n + 1) = x(n)
hệ thống là ổn định. Hãy xác định đáp ứng của hệ thống khi ngõ vào là:
x(n) = u(n)
Bài tập 2.28
 Cho hệ thống TTBB :
1) Xác định phương trình biểu diễn
quan hệ x(n) và y(n)
2) Hệ thống có ổn định không ?
+
z-
z-
++ z-3
2
z-9
1−
+
Hình BT.2.28