Bài giảng Xác suất thống kê - Chương IV: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều - Phạm Trí Cao

iên X,Y. Ký hiệu V=(X,Y).
Bảng phân phối xác suất dồng thời của (X,Y) có dạng:
Y
X
y1 yj yn
x1 p11 p1j p1n
xi pi1 pij pin
xm pm1 pmj pmn
Trong đó: X nhận các giá trị x1, x2 ,, xm
Y nhận các giá trị y1, y2 ,, yn
Xác suất X nhận giá trị xi , Y nhận giá trị yj là:
pij = P(X=xi ,Y = yj )
3
Lưu ý: Ta không xét ĐLNN 2 chiều liên tục.
Tính chất: 0≤ pij ≤1 , i,j
1 ijpji
4
Ví dụ: Cho ĐLNN 2 chiều V=(X,Y) có bảng phân phối xác suất
đồng thời
Y
X
1 2 3 4
2 1/8 2/8 0 0
4 1/8 0 1/8 2/8
6 0 0 1/8 0
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
2
5
II.PHÂN PHỐI LỀ (PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN)
1) Phân phối lề của X
Ví dụ:
X 2 4 6
P 3/8 4/8 1/8
P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)]
= P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4)
8
3008
2
8
1

P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4)
= 8
4
8
2
8
108
1

Tương tự cho P(X=6) 6
X 2 4 6
P 3/8 4/8 1/8
Kỳ vọng: E(X) =  
i i
xXPix )( = 2
7
8
168
448
32 
Phương sai: D(X) = 2)( EX
i i
x  .P (X=xi)
= 4
7
8
1.2)2
76(8
4.2)2
74(8
3.2)2
72( 
7
Nhận xét: Để xác định phân phối lề đơn giản, ta lập
bảng sau:
Y
X
1 2 3 4 
2 1/8 2/8 0 0 3/8
4 1/8 0 1/8 2/8 4/8
6 0 0 1/8 0 1/8
 2/8 2/8 2/8 2/8 1 8
2) Phân phối lề của Y:
Ví dụ:
Y 1 2 3 4
P 2/8 2/8 2/8 2/8
P(Y=1)= P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)]
=P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)= 8
208
1
8
1

Tương tự cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6)
Kỳ vọng: E(Y) = 
j j
yYPjy )( = 2
5
8
248
238
228
21 
Phương sai: D(Y) = 
j
(yj -EY)2 . P(Y=yj)
= 4
5
8
2.2)2
54(8
2.2)2
53(8
2.2)2
52(8
2.2)2
51( 
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
3
9
III.ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X,Y .
X,Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j
Ví dụ: P(X=2, Y=1) = 8
2.8
3
8
1
 = P(X = 2).P(Y = 1)
Vậy X,Y không độc lập
10
IV. LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CHO X.Y ,
TÍNH E(X.Y)
Ví dụ:
XY 2 4 6 8 12 16 18
P 1/8 3/8 0 0 1/8 2/8 1/8
P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8
P(XY=4) = P(X=2, Y=2) + P(X=4, Y = 1) = 2/8+1/8=3/8
P(XY=6)= P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3)= 0+0= 0
E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8)= 19/2
11
 Bài tập:
 lập bảng ppxs cho X+Y?
 Tính E(X+Y), var(X+Y)?
12
V.PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN
Giả sử biến cố F đã xãy ra và P(F) > 0
Phân phối của X theo điều kiện F là: P(X=xi /F)
=
)(
),(
FP
FixXP  = iFP
Ví dụ: Xét F = (Y=1)
Phân phối có điều kiện của X theo F là:
XF 2 4 6
PiF ½ 1/2 0
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
4
13
P(X=2/Y=1) = 2
1
8
2
8
1
)1(
)1,2(



YP
YXP = P1F
P(X=4/Y=1) = 2
1
8
2
8
1
)1(
)1,4(



YP
YXP = P2F
P(X=6/Y=1) = 0
8
2
0
)1(
)1,6(



YP
YXP = P3F
14
Phân phối của Y theo điều kiện F là:
P(Y=yj /F) = )(
),(
FP
FjyYP  = PFj
Ví dụ: Xét F = (X=4)
YF 1 2 3 4
PFj ¼ 0 ¼ 2/4
P(Y=1/X=4) = 4
1
8
4
8
1
)4(
)1,4(



XP
YXP
Tính chất: piF  0, i ,  
i iF
p 1
pFj  0, j ,  
j Fj
p 1
15
VI.KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN,
PHƯƠNG SAI CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Xét cho X:
E(XF)=E(X/F) = 
i iF
pix nếu biết bảng phân
phối XF
Nếu chưa biết bảng XF thì:
E(XF) =  


i i FP
FixXP
ixFixXPix )(
),(
)/(
var(XF) = var(X/F) = 
i iF
pFXEix
2))((
16
Ví dụ: F=(Y=1)
E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F = 3062
142
12 
Nếu ta chưa có bảng phân phối XF thì tính như
sau:
E(XF) =
)1(
)1,6(6
)1(
)1,4(4
)1(
)1,2(2








YP
YXP
YP
YXP
YP
YXP
= 382
0682
81482
812 
Tương tự : E(X/Y=2)=2 , E(X/Y=3)=5 ,
E(X/Y=4)=4
var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F
= 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 1
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
5
17
Ý nghĩa của E(X/F): là trung bình có điều kiện
của X, điều kiện là F
2. Xét cho Y:
E(YF)=E(Y/F) = 
j Fj
pjy nếu biết bảng phân
phối YF
Nếu chưa biết bảng YF thì:
E(YF) =  


j j FP
FjyYP
jyFjyYPjy )(
),(
)/(
var(YF) = var(Y/F) = 
j Fj
pFYEjy
2))((
18
Ví dụ: F=(X=4)
E(Y/F) = 1.pF1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4
=1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4)=3
Nếu ta chưa có bảng phân phối YF thì tính như
sau: E(YF) =
)4(
)3,4(3
)4(
)2,4(2
)4(
)1,4(1








XP
YXP
XP
YXP
XP
YXP
384
8/24
8/4
813
8/4
0.284
811
)4(
)4,4(4 


 XP
YXP
Tương tự : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)=3
var(YF)=(1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4)
+(4–3)2(2/4) =3/2
19
VIII. HIỆP PHƯƠNG SAI, HỆ SỐ TƯƠNG
QUAN, MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI ,
MA TRẬN TƯƠNG QUAN
Nếu E(Y/X=xi)=E(Y/xi)=a+bxi hoặc
E(X/Y=yj)=E(X/yj)=c+dyj thì ta nói X,Y có
tương quan tuyến tính.
1) Hiệp phương sai
Cov(X,Y)
=E EYEXXYEYEYXEX 





 )())(())((
Với E(XY) =
i j ij
pjyix
20
Cov(X,Y) đo mức độ phụ thuộc tương quan
tuyến tính giữa X và Y.
Cov(X,Y) phụ thuộc đơn vị đo của X,Y
Ví dụ: E(X.Y)=   
i j ij
pjyix )04038
228
11(2
+ )048
130201(6)8
248
130.28
11(4  =19/2
Cov(X,Y) = E(XY)–EX.EY = 4
3
2
5
2
7
2
19 
Nếu có bảng phân phối xác suất của XY thì ta
dễ dàng tính E(XY). Xem mục IV
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
6
21
Tính chất:
 Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
 Cov (X,Y) > 0 : X, Y tương quan thuận
Cov (X,Y) < 0 : X, Y tương quan nghịch
 Cov (X+ Z, Y) = Cov (X,Y) + Cov (Z,Y)
 Cov (aX,bY) = ab cov (X,Y) , a,b  R
D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2 cov(X,Y) ,
D(X-Y) = D(X)+D(Y)–2 cov(X,Y)
D(aX  bY) = a2DX+b2DY2ab.cov(X,Y)
22
 Nếu X,Y độc lập thì :
 E(X.Y)= EX.EY  cov(X,Y)= E(XY)-EX.EY= 0
 Vậy : X,Y độc lập  X,Y không tương quan
Điều ngược lại không đúng
 Nếu X,Y có phân phối chuẩn thì điều ngược lại đúng.
23
Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz:
|cov(X,Y)|  )().( YDXD
Dấu “=” đạt được khi : P(Y=aX+b) = 1, a 0
2) Hệ số tương quan:
YX
YX
DYDX
YXRXY  .
),cov(
.
),cov(

RXY đo mức độ tương quan tuyến tính giữa X
và Y
RXY không phụ thuộc đơn vị đo của X,Y
24
Ví dụ: RXY =
35
3
4
5
4
7
4
3


Tính chất:
- RXY = RYX = R = R(X,Y)
- R cùng dấu với cov(X,Y)
- |RXY|  1
- R(aX+b, cY + d) = R(X,Y) a,b,c,d  R
- Nếu Y = aX + b thì R(X,Y) =  1
- Nếu |R| càng gần 1 thì mức độ phụ thuộc
tuyến tính giữa X, Y càng chặt.
- Nếu |R| càng gần 0 thì mức độ phụ thuộc
tuyến tính giữa X, Y càng lỏng.
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
7
25
- Nếu |R| = 1 thì Y=aX+b với xác suất 1 .
Tức là : P (Y=aX+b) = 1
- Nếu R = 0: ta nói X,Y không tương quan.
Tính chất:
- E(X+Y)2 = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)
- E(X-Y)2 = E(X2) - 2E(XY) + E(Y2)
26
Lưu ý:
 r>0 : nếu X tăng thì Y sẽ tăng
 r<0 : nếu X tăng thì Y sẽ giảm
 Nếu phát biểu như vậy thì có đúng không?
27
3) Ma trận hiệp phương sai:












)(),cov(
),cov()(
YDXY
YXXD
Ví dụ: Ma trận hiệp phương sai của X,Y là:












4/54/3
4/34/7
4) Ma trận tương quan:














1
1
YXR
XYR
Ví dụ: Ma trận tương quan của X, Y là:












135/3
35/31
28
Một số thí dụ:
Bài 1: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp 1 có: 1 bi
mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3 . Trong hộp 2 có:
2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2 , 1 bi mang số 3. X là số ghi
trên bi rút ra từ hộp 1, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp 2.
Rút từ mỗi hộp 1 bi.
1) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của V=(X,Y)
2) Bảng phân phối xác suất lề của X, Y
3) Kỳ vọng, phương sai của X,Y
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
8
29
Giải
1) Bảng phân phối xác suất đồng thời
Y
X
1 2 3 
1 2/36 3/36 1/36 1/6
2 4/36 6/36 2/36 2/6
3 6/36 9/36 3/36 3/6
 2/6 3/6 1/6 1
2)
X 1 2 3 Y 1 2 3
P 1/6 2/6 3/6 P 2/6 3/6 1/6
3) EX = 7/3 , EY = 11/6 DX =5/9 , DY = 17/36
30
Bài 10: Có hai loại cổ phiếu A, B được bán
trên thị trường chứng khoán và lãi suất của
chúng là hai biến ngẫu nhiên X,Y tương ứng.
Giả sử (X,Y) có bảng phân bố xác suất như sau:
Y
X
–2 0 5 10
0 0 0,05 0,05 0,1
4 0,05 0,1 0,25 0,15
6 0,1 0,05 0,1 0
31
1) Nếu đầu tư toàn bộ cổ phiếu A thì lãi suất
kỳ vọng và mức độ rủi ro là bao nhiêu?
2) Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ
vọng là lớn nhất thì nên đầu tư vào cả hai
loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào?
3) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức
thấp nhất thì nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu
trên theo tỷ lệ nào? 32
Giải:
1)Ta phải tìm EX và X
Từ bảng phân bố xác suất của (X,Y) ta suy ra
bảng phân bố xác suất của X là:
X 0 4 6
P 0,2 0,55 0,25
EX=3,7(%) ; Var(X)=4,11;(X)= 11,4 = 2,0273
ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
9
33
2)Nếu ký hiệu  (0<=<=1) là tỷ lệ đầu tư vào
cổ phiếu A thì ta có tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu B
là (1–).
Ta phải tìm  sao cho:E(X+(1–)Y) max
Ta có : E (X + (1–) Y) =  EX + (1–) EY
Làm tương tự như đối với X ta tính được :
EY = 4,2 và Var(Y) = 17,96
Do đó: E(X+(1–)Y)= 3,7+(1–).4,2
=4,2– 0,5
 E (X + (1 - ) Y) = max khi  = 0. Tức là
muốn đạt được lãi suất kỳ vọng là lớn nhất thì
ta phải đầu tư vào mua toàn bộ cổ phiếu B. 34
3)Xác định  sao cho : Var(X+(1–)Y) min
Ta có : Var(X+(1–)Y)
= 2Var(X)+(1–)2 Var(Y)+2(1–)cov(X,Y)
Và cov(X,Y)= xiyjpij – EX.EY
= 12,4 – 3,7 * 4,2 = –3,14
Vậy var(X+(1–)Y)
= 4,112+17,96(1–)2+ 2(1–)(–3,14)
= 28,352– 42,2 + 17,96 = f()  min
f/() = 56,7 – 42,2 = 0   = 0,7443
f//() = 56,7 > 0 nên  chính là giá trị cực tiểu
cần tìm.
Kết luận : Nếu đầu tư vào cổ phiếu A và B
theo tỷ lệ 74,43% và 25,57% sẽ có mức độ rủi
ro là thấp nhất.
35
Mời ghé thăm trang web:





www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com