Bài giảng Vật lý đại cương - Chương III: Động lực học hệ chất điểm. Vật rắn - Nguyễn Minh Châu

i khối tâm. 
 212121 ... GGBBAA === 
 GBA ϑϑϑ === ... 
 GBA aaa === ... 
2/ Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến: 
22 .
2
1..
2
1
Giiitt MmWđW đ ϑϑ === ∑∑
.=∑
 3/ Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến: r
 Gi aMF
r
III.5. Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U. 
V
r
ϑr
A1 
1 2
C1 C2
A2
B B
G G
1 2
1ϑ
r
 2ϑ
r
gm r1 gm
r
2 
1
1N
r
2
N
r
N
r
m 
M 
V 
r
'ϑr 
ϑr 
'V
r
M 
V=0
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
 Δ
A1 
A2 
θA 
θB 
B1 
B2 
 1/ Định nghĩa: 
 v θθθ === ...BA
 ωωω === ...BA
 βββ === ...BA
 Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm có cùng 1 
 góc quay, cùng vận tốc góc và cùng gia tốc góc. 
2/ Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U: 
22222
/ .2
1..
2
1.
2
1
iiiiiiiiq rmrmmWđWđ ∑∑∑∑ ====Δ ωωϑ 
 : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U. Với ri
Đặt : moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U 2iirmI ∑=Δ
2
/ .2
1 ωΔΔ = IWđq=> 
 3/ Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU: 
 2iirmI ∑=Δ
 4/ Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU: 
 ∫=Δ
VR
rdmI 2.
Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều. Tính moment đối với trục 
quayU vuông góc với thanh và đi qua điểm giữa. 
122424
3
...
233
2
2
32
2
2
MLLL
L
M
x
L
MxdxI
L
L
L
L
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−−=
==Δ
−−
∫ λ
ΔΔ Δ
r
dx x
Δ
dx
O O
α 
+ Nếu chọn gốc O đối với trục U’: 
2
0
3
3
1
3
.' ML
x
L
MI
L
==Δ 
 + Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh: 
ααα 2
23
2
0
22
2
sin
33
.sinsin. MLL
L
Mxdx
L
MI
L
===Δ ∫ 
 + Nếu chọn trục U3 song song với thanh: 
222
3
.. dMdmdddmI
VR
===Δ ∫∫ 
Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vuông góc vành qua O 
R
d
Δ
O
222 .. RMdmRRdmI
VR
===Δ ∫∫ 
Vd3: Đĩa đặc phân bố đều 
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
 Δ 
r dr
2
..
4
.
.
....
2
2
0
0
4
2
2
00
3
2
2
RMr
R
M
ddrr
R
M
rddrrI
R
R
==
=
=Δ
∫∫
∫
π
π
ϕπ
ϕπ
ϕσ
Vd4: Đĩa rổng bán kính R1,R2 ∫∫−=Δ
π
ϕπ
2
0
3
2
1
2
2
2
1
.
)(
ddrr
RR
MI
R
R
 ππ 2.44)(
4
1
4
2
2
1
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
RR
RR
M 
 ( )21222 RRM += 
- Thanh dài: 2
12
1 MLI =Δ - Cầu đặc: 25
2 MRI =Δ
R1
Δ 
O
R2
- Vành, trụ rỗng: 2MRI =Δ
- Đĩa đặc, trụ đặc: 
2
2
1 MRI =Δ 
- Cầu rỗng: 
2
3
2 MRI =Δ 
3.5 Định lý Steiner-Huyghen: 
Trục U đi qua G 
 Trục U’//U và cách U 1 đoạn d 
 2' MdII += ΔΔ
Vd: Thanh rắn: 
 2
2
2
' 3
1
212
1 MLLMMLI =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=Δ 
 222' 2MRMRMRI =+=Δ
Lưu y: Moment quán tính có mang tính chất cộng 
Δ’ Δ 
L/2 
 Δ 
R 
( ) Δ+Δ=Δ+ MmMm
III
' 
Vd: Hệ 1 niềng M, 6 căm M: 
 ΔΔΔ += // 6 mM III
( ) 222 2
3
16 RmMmRMR +=⎟⎞⎜⎛+=
⎠⎝
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
 + Nếu khoét đi 1 lỗ sẽ trừ đi:( M:k/l đĩa chưa khoét; M’:k/l đĩa đã khoét; m: k/l lổ khoét) 
O1 • O2 
Moment quán tính là giá trị vô hướng dương, (là giá trị số học) 
III.6 Moment lực. M
r
 1. Moment lực đối với điểm O F
r
 FrM F
rrr
r ×=0/ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
 2. Moment lực đối với trục U Fr
 Δ
=Δ 0// FF MhcM rr
rr
 3. Moment lực của vật rắn đối với trục U Fr
Tác dụng lên vật rắn 1 lực để vật rắn quay quanh U. Fr
Lực được phân thành 3 thành phần: F
r
 znt FFFF
rrrr ++= 
:zF
r
 làm vật trượt trên U, không làm vật rắn quay => 0/ =ΔzFM r
r
:nF
r
 kéo vật trượt trên U, không làm vật rắn quay => 0/ =ΔnFM r
r
:tF
r
 làm vật rắn quay quanh U => tFrM tF
rrr
r ×=Δ/ ( r: khoảng cách từ M đến U ) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Δ
≠Δ
=
⇔=Δ
//
0
0/
F
F
F
M F r
I
r
r
r
r φ 
3.6.4 Moment tổng ngọai lực của vật rắn đối với U: 
-Điểm đặt: tại 0. 
-Phương: đt ⊥với mp tạo bởi ( Fr rr, ). 
-Chiều: MFr
rrr ,, tạo thành tam diện thuận. 
-Độ lớn: αsin.FrM = 
Rm
m
x
mM
r
R
m
M
G 6
1
2
0
3
1
4
..
.
2
2
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+=
=⇒= πσ
πσ
1 2dk/ 0 / 0 /
2 2
dk/
2
dk/
1 3
2 2
13 '.
24
I I I
I MR mr
I M R
Δ Δ Δ
Δ
Δ
= −
= −
=
F
r
Δ
O
rr 
/FM Δr
uur
/ 0FM r
uur
M
Δ
nF
r 'Fr
zF
r
ir
r
F
r
tF
r
/
/
2
/
.
( ) ( . ). ( . ).
. . .
F i it i i it
F i i i i i i i i i i i
F i i
M r F r m a
M m r r m r r r r
M m r I
β β β
β β
Σ Δ
Σ Δ
Σ Δ Δ
= × = ×
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × × = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =
∑ ∑
∑ ∑
∑
r
r
r
r rr r r
uur r r rr r r r r r
r r r
uu
uu
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
3.6.5 Phương trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh U: 
/FM Σ Δr
uur βr.Δ= I 
L
r
III.7. Moment động lượng. 
L
r
3.7.1 Moment động lượng đối với O 
 iOi PrL i
rrr ×=/ irr( : vectơ vị trí)
Điểm đặt: tại O 
Phương: vuông góc mặt phẳng tạo bởi 
3.7.2 Moment động lượng đối với U: 
=Δ/L
r
 hình chiếu 
ΔO
L/
r
3.7.3 Moment động lượng của vật rắn đối với U: 
Ghi chú: của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với /FM Σ Δr
uur βr
 của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với Δ/L
r ωr 
3.7.4 Định lý moment động lượng: 
 === ΔΔΔ βω
rrr
.. //
/ I
dt
dI
dt
Ld 
3.7.5 Định luật bảo tòan moment động lượng: 
 thì constL =Δ/
r
Vd: Ghế Giucopxki (người đi từ mép đĩa đến R/2) 
Vd: Viên đạn chạm thanh M, L: 
III.8. Vật rắn chuyển động lăn không trượt. 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ ( )ii Pr rr , 
Chiều: Oii LPr /,,
rrr tạo thành U diện thuận 
Độ lớn: / . .sini O i iL r p
r α =
iiiiii mrprLL ϑ
rrr r r r ×=×== ∑∑ ∑ΔΔ
∑∑ −=×× ])..().[()]([ iiiiiiiiiii rrrrmrrm r r rr r r r r r= ωωω
ωωr rΔ=∑ Irm iii .. 2=
12
G
M
m ϑr
2
'
2112121 )()( ωω IIIILL +=+⇒= ΔΔ
rr
2
2
2
1
22
42
1
2
1 ωω ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⇒ RmMRmRMR
hsLM F =⇔=∑ ΔΔ
rr 0
SVCTVC LL
rr =
'.'.
3
1.0.
3
1 2222 ωϑ mLML
L
mLML +Ω=+
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
3.8.1 Định nghĩa1: khi vật rắn lot là vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G và vùa chuyển 
động quay quanh G 
 Tịnh tiến Quay quanh G 
⎩⎨
⎧
G
G
ar
rϑ
⎩⎨
⎧
β
ω
r
r
A
G
B
θ
GAB θRcungABG == =21
R
dt
dRG ωθϑ ==G 
RaG β=⇒ A
• Vectơ vận tốc của chuyển động lot tại G, A, B, C 
- Xét chuyển động tịnh tiến: CBAG ϑϑϑϑ
rrrr === 
- Xét chuyển động quay quanh G: 
 ϑGtt=ϑAq=ϑBq=ϑCq . ϑGq=0 
- Xét chuyển động lot: 
Vậy: Alot Gtt Glot Gtt Blot Gtt Clot2 ; ; 2. ; 0;ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ= = = =
r r r r r r r
Định nghĩa 2: Lot là quay quanh tâm quay tức thời ( )
R
G
lot
ϑωϑ == :0 
3.8.2 Động năng của vật rắn Lot: 
 22/ 2
1
2
1 ωϑ GGñqGñttGlotñ IMWWW +=+= 
3.8.3 Phương trình cơ bản ĐLH của Lot: 
• Chú ý; 
*Trong cđ Lot có lực ma sát lăn: là dạng lực ma sát tỉnh: mslF
ur
- Điểm đặt: điểm tiếp xúc. 
- Phương: phương chuyển động tịnh tiến. ur ur
 - Chiều: * đi qua G: ngược chiều tịnh tiến F mslF
 * F
ur
0 đi qua G: cùng chiều tịnh tiến mslF
ur
 - Độ lớn:Phải tìm và 0 ≤ Fmsl ≤ kN. 
 * Công của lực ma sát lăn bằng không (dl=0). 
βI
Attϑ
r
Cttϑ
r
Gttϑ
r
Bttϑ
=
r
Bqϑ
r
Gqϑ
r
Aqϑ
r
Cqϑ
r
Glotϑ
r
Blotϑ
r
Clotϑ
r
A
Alotϑ
r
G B
qGttGlot ϑϑϑ
rrr +=
C
Gi aMF
rr .=∑
/ .FM I βΣ Δ Δ=r
uur r
F
r
G
+ 
mslF
r
N
r
gM rHình 1 
Ga
r
G
+
Ga
r
mslF
r
N
r F
r
gM rHình 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∑
=+++
βrr
rrrrr
r G
GF
Gmsl
IM
aMFFNgM
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+−
=++
R
aMRRFRF
MaFF
G
msl
Gmsl
2
2
1..
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==+
=+−
R
a
MRIRF
MaFF
G
Gmsl
Gmsl
2
2
1.. β
33
4 FF
M
Fa mslG ==33
2 FF
M
Fa mslG ==
III.9.Va chạm. 
3.9.1 Va chạm đàn hồi: 
 TVC 2211 , ϑϑ
rr
mm 
 SVC '22
'
11 , ϑϑ
rr
mm 
Trong va chạm hòan tòan đàn hồi thì động lượng của hệ và động năng hệ bảo tòan; 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+==
+=+→=
2'
22
2'
11
2
22
2
11
'
22
'
112211
2
1
2
1
2
1
2
1 ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
mmmmWW
mmmmPP
ñSVCñTVC
SVCTVC
rr
rrrrrr
• Nếu va chạm xuyên tâm: 
'
22
'
112211 ϑϑϑϑ mmmm +=+ 
(1), (2) 2
21
2
1
21
21'
1
2 ϑϑϑ
mm
m
mm
mm
+++
−=⇒ 
 2
21
12
1
21
1'
2
2 ϑϑϑ
mm
mm
mm
m
+
−++=⇒ 
Vd: 
2
2
22'2222
'
2'222
.
2
1
3
1
2
1.
2
1
3
1
2
1
.
3
1.
3
1
l
mlML
l
mlML
WW
l
mlML
l
mlML
LL
ñSVCñTVC
SVCTVC
ϑωϑω
ϑωϑω
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇔
=•
+=+⇔
=• rr
( ) ( ) )2('
2
1'
3
1
2
1
2
10
3
1
2
1
2
2
222
2
2
22
l
mlML
l
mlML ϑϑ ×+Ω×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=×+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
3.9.2 Va chạm mềm: 
(1)
(2) ( là giá trị đại số) '2
'
121 ,,, ϑϑϑϑ
( ) '
,
21
2211
ϑ
ϑϑ
r
rr
mm
mm
+ ⎩⎨
⎧
SVC
TVC
mslF
rN
r
gM rα 
Ga
r
+ G
⎪⎩
⎪⎧⎨ =∑
=++
βrr
r rr r
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==+
=+−
)2(..
)1(sin
2
R
aMRIRF
MaMgF
G
Gmsl
Gmsl
β
α
r G
GF
Gmsl
IM
aMFNgM
Vành: aG=1/2 gsinα F = Mams G
Đĩa: aG=2/3 gsinα F = 1/2Mams G
= 2/3MaCầu rổng: aG=3/5 gsinα Fms G
Cầu đặc: aG=5/7 gsinα F = 2/5Mams G 
Tròn trượt o ms: aG= gsinα 
+ 
G1
m1
G2
m21ϑ
r
2ϑ
r
G 
L 
l 
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 
Trong va chạm mềm chỉ có động lượng của hệ bảo toàn, động năng của hệ không bảo toàn. Động 
năng trước va chạm trừ đi động năng sau va chạm bằng nhiệt lượng làm vật bị biến dạng. 
( ) '212111 ϑϑϑ rrr mmmm +=+ 
Nếu va chạm xuyên tâm: ( ) '212111 ϑϑϑ mmmm +=+ ( ',, 21 ϑϑϑ là giá trị đại số) 
 Chú ý chọn chiều (+) 
Vd1: Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của m1,m2; là chiều quay 
 ròng rọc (U hướng vào) 
βrr
rrr
rrr
r .:
:
:
22222
11111
IMM
amTgmm
amTgmm
O
F =∑
=+
=+
( )
( )
Mmm
mmg
a
R
aMRRTT
amTgm
amTgm
IRTRT
amTgm
amTgm
2
1
.
2
1 21
12
2
21
222
111
21
2222
1111
++
−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
=−
=+−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
=+−
⇒
β
O 
+
+ + 
1T
r
1T
r
2T
r
2T
r
gm r1 gm r2
1a
r
2a
r
Vd2 ( )
Mmm
kmmg
a ++
−=
21
12 +
O
gm r1
1N
r
1msF
r
1T
r
1T
r
2T
r
Vd3: 
αα
αα
cossin:
cossin:
1
2
1
1
2
1
k
m
m
m
k
m
m
m
−>↓
+>↑
1T
r
 ( )[ ]
( )[ ]
Mmm
mkmg
am
Mmm
kmmg
am
2
1
cossin
:
2
1
cossin
:
21
21
1
21
12
1
++
−+=↑
++
+−=↑
αα
αα
gm r1
1N
r
1T
r
2T
r
2T
r
1msF
 + 
O
r