Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

hàm số phức tạp thành dạng đơn giản
Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức.
Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0
( ) ( )
( )
2 5 2 1
1
2
2 3
arct an ... 1 0
3 5 2 1
1 ... 0
2 ! 3 ! !
n
n
n
n
x n
x x x
x x x
n
x x x
e x x
n
-
-
= - + + + - +
-
= + + + + + +
CÔNG THỨC TAYLOR
Cho hàm số f(x):
Liên tục trên [a,b]
Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)
Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
20 0
0 0 0
1
10
0 0
' "
1 ! 2 !
...
! 1 !
n n
n n
f x f x
f x f x x x x x
f x f c
x x x x
n n
+
+
= + - + -
+ + - + -
+
PHẦN DƯ TRONG CÔNG THỨC TAYLOR
Dạng Lagrange:
Dạng Peano: (thường dùng hơn)
( )( )
( )
( )
1
1
0
1 !
n
n
n
f c
R x x
n
+
+
= -
+
( )0
lim 0n
nx
R
x x
® ¥
=
-
( )00
n
n
R x x= -
CÔNG THỨC MACLAURIN
Cho hàm số f(x):
Liên tục trên [a,b]
Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)
Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )2
' 0 " 0 0
0 ... 0
1 ! 2 ! !
n
n n
f x
f f f
f x x x x
n
=
+ + + + +
CÔNG THỨC L’HOSPITAL
Áp dùng tìm giới hạn dạng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng
Neáu thì
0
lim ;
0
lim lim
x a
x a x a
f x
g x
f x f x
L L
g x g x
®
® ®
¥
¥
¢
= =
¢
0
;
0
¥
¥
( )
( )
( )
( )
lim lim
x a x a
f x f x
L
g x g x® ®
¢
= =
¢
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Định lý Weierstrass
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt giá trị 
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b], tức là tồn tại x1, x2 
∈ ;  sao cho:
1 2
[ , ][ , ]
( ) max ( ) ( ) min ( )
x a bx a b
f x f x f x f x

 
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Định lý giá trị trung gian
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b). Khi
đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại
x0 ∈ (; )sao
 0f x c
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Hệ quả Định lý giá trị trung gian
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì 
tồn tại x0 ∈ (; ) sao cho f(x0)=0.
Tức là phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc 
(a;b)
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó:
Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc 
khoảng (3;5)
2 500,1 5 10; .
2
S DQ P P Q
P
   

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1. Ý nghĩa của đạo hàm
2. Giá trị cận biên
3. Hệ số co dãn
4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Phân tích cận biên trong kinh tế và kinh doanh
Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, 
nghĩa là đạo hàm. 
Do đó, nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản
phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên (chi phí biên) và
thể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phí
theo số lượng sản phẩm. 
Tương tự ta có các khái niệm như doanh thu cận biên là
đạo hàm của hàm tổng doanh thu và lợi nhuận cận biên
là đạo hàm của hàm tổng lợi nhuận.
CÁC HÀM CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ
Định nghĩa. Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra
trong một khoảng thời gian. Khi đó, ta có các hàm kinh tế
sau:
Các hàm cận biên thể hiện tốc độ biến thiên tức thời
theo sản phẩm tại một mức sản xuất cho trước
Hàm kinh tế Hàm cận biên
Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x)
Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên: R’(x)
Tổng lợi nhuận: 
P(x)=R(x)-C(x)
Lợi nhuận cận biên: 
P’(x)=R’(x)-C’(x)
HÀM CHI PHÍ C(X)
- Là tổng chi phí để sản xuất ra x sản phẩm, 
- Không phải là chi phí để sản xuất ra 1 sản phẩm. 
Để tìm chi phí sản xuất ra 1 sản phẩm ta có thể sử dụng 2 
giá trị của hàm chi phí như sau:
Tổng chi phí sản xuất ra (x+1) sản phẩm: C(x+1)
Tổng chi phí sản xuất ra x sản phẩm: C(x)
Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ (x+1): C(x+1) – C(x)
Tương tự cho các hàm còn lại
VÍ DỤ 18. (PHÂN TÍCH CHI PHÍ)
Một công ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe hơi. Tổng chi 
phí hàng tuần ($) để sản xuất ra x bình được cho bởi:
a) Tìm hàm chi phí cận biên
b) Tìm chi phí cận biên tại mức sản xuất 500 bình một
tuần và giải thích ý nghĩa
c) Tìm chi phí chính xác để sản xuất ra sản phẩm thứ 501.
  210000 90 0,05C x x x  
HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM BÌNH QUÂN CẬN BIÊN
Chi phí Doanh thu Lợi nhuận
Tổng
Tổng chi phí Tổng doanh thu Tổng lợi nhuận
Cận biên
Chi phí cận biên Doanh thu cận biên Lợi nhuận cận biên
Bình quân 
(trung 
bình)
Trung 
bình cận 
biên
 TC C x  TR R x  TP P x
 'MC C x  'MR R x  'MP P x
 
 
C x
AC C x
x
     
R x
AR R x
x
 
 
 
P x
AP P x
x
 
 'MAC C x  'MAR R x  'MAP P x
VÍ DỤ 19.
Một cửa hàng sản xuất nhỏ sản xuất các mũi khoan được
sử dụng trong ngành công nghiệp dầu khí. Giám đốc ước
tính rằng tổng chi phí hàng ngày ($) để sản xuất x mũi
khoan là:
A) Tìm AC và MAC
B) Tính giá trị AC và MAC tại x=10 và giải thích ý nghĩa
C) Sử dụng kết quả câu b) ước lượng chi phí trung bình
cho mỗi mũi khoan tại mức sản lượng 11 mũi khoan một
ngày.
  21.000 25 0,1C x x x  
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA CHI PHÍ
Cho hàm chi phí C=C(Q)
Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)
Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị
VÍ DỤ 20
Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là:
A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm.
B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi
Q=50.
2 5000, 0001 0, 02 5C Q Q
Q
= - + +
GIẢI
Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm:
Giá trị cận biên của chi phí:
Khi Q=50 thì MC(50)=3,75. Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị
(từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị
3 2. 0, 0001 0, 02 5 500C Q C Q Q Q= = - + +
20, 0003 0, 04 5
dC
MC Q Q
dQ
= = - +
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA DOANH THU
Cho hàm doanh thu R=R(Q)
Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)
Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị
VÍ DỤ 21
Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe bus được
cho bởi công thức:
A) Xác định hàm tổng doanh thu
B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và p=32
10000 125Q p= -
TIÊU DÙNG VÀ TIẾT KIỆM CẬN BIÊN
Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu nhập kinh
tế quốc dân.
Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ thay đổi của
tiêu dùng theo thu nhập.
Hàm tiết kiệm: S=I-C.
Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I)
VÍ DỤ 22
Cho hàm tiêu dùng là:
Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết
kiệm cận biên khi I=100.
( )35 2 3
10
I
C
I
+
=
+
GIẢI
Ta có:
Khi I=100 ta có:
( )
( )
3
2
5 30 3
10
I I
MC I
I
é ù
+ -ê ú
ë û=
+
( ) ( )100 0, 536 100 0, 464MC MS» »
TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN, CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ
Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Cực trị của hàm số
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(ĐL Fermat) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm
dừng hoặc các điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm.
Các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc hàm số liên
tục nhưng không có đạo hàm được gọi là điểm tới hạn
của hàm số. 
Để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta tìm các
điểm tới hạn của hàm số  dùng điều kiện đủ để kiểm
tra cho từng điểm tới hạn.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ
 Định lý. Giả sử 
0x là điểm tới hạn của hàm số ( )f x và ( )f x có đạo hàm 
' ( )f x
mang dấu xác định trong mỗi khoảng    0 0 0 0, và ,x x x x   . Khi đó, 
 Nếu ' ( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x 
 Nếu ' ( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x 
 Nếu ' ( )f x không đổi dấu khi x đi qua 0x thì ( )f x không đạt cực trị tại 0x 
ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Định lý. Giả sử hàm số ( )f x khả vi đến cấp n ( 2)n  trên ( , )a b và 0x là điểm dừng 
của ( )f x sao cho ' '' ( 1)0 0 0( ) ( ) ..... ( ) 0
nf x f x f x    và ( ) 0( ) 0
nf x  . Khi đó, 
 Nếu n là số chẵn thì ( )f x đạt cực trị tại 0x , cụ thể 
o ( )f x đạt cực đại tại 0x nếu 
( )
0( ) 0
nf x  
o ( )f x đạt cực tiểu tại 0x nếu 
( )
0( ) 0
nf x  
 Nếu n là số lẻ thì ( )f x không đạt cực trị tại 0x . 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ , ]a b , khả vi trên khoảng ( , )a b thì ( )f x đạt 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [ , ]a b . Sau đây là quy tắc tìm 
 Tính các giá trị ( ), ( )f a f b 
 Tinh các giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , )a b 
 So sánh giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , )a b và ( ), ( )f a f b để tìm 
ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
VÍ DỤ 23
Ví dụ 13. Cho hàm sản xuất 2 3120 ( 0).Q L L L   Hãy xác định mức sản lượng lao động 
để sản lượng tối đa 
Ví dụ 14. Cho hàm sản xuất ngắn hạn 5 3100 ( 0)Q L L  và giá của sản phẩm là 
5 ;p USD giá thuê lao động là 3 .Lp USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi 
nhuận tối đa 
Ví dụ 15. Cho hàm chi phí 3 2130 12 ( 0)TC Q Q Q Q    . Hãy xác định mức sản lượng 
Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. 
Ví dụ 16. Cho hàm chi phí 3 28 57 2( 0)TC Q Q Q Q     và hàm cầu đảo là 
45 0,5p Q  . Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận cực đại. 
ĐỘ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI VÀ TƯƠNG ĐỐI
Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng Δx thì ta 
nói:
Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x
Tỷ số
∆

. 100% gọi là độ thay đổi tương đối của x
Ví dụ. Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng. Nếu
tăng thêm 1 triệu thì độ thay đổi tuyệt đối là 1 triệu, độ
thay đổi tương đối là 0,5%
Không phụ thuộc đơn vị tính và cho thấy ngay tỷ lệ thay
đổi
HỆ SỐ CO DÃN
Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tương
đối của y và độ thay đổi tương đối của x ( khi x thay đổi
một lượng Δx).
Ký hiệu:
Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.
( )
( )
'/
. .
/
y
x
f xy y y x
x
x x x y f x
e
D D
= = »
D D
VÍ DỤ 24
Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi P=3
Giải
Ta có:
Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu giảm 3,3%.
( )
( )
2 2
2 24 2
30 4 4 30
3 3, 333
Q
P
Q
P
P PP
P
P P P P
e
e
+- -
= =
- - + -
= -
VÍ DỤ 25
Ví dụ. Giá p và lượng cầu x cho một sản phẩm có mỗi quan hệ như sau: 
500 10.000x p  
Tìm độ co giãn của cầu, E(p) và giải thích ý nghĩa trong các trường hợp sau: 
E(4); E(16); E(10)