Bài giảng Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị - Chương 2: Lý thuyết tập hợp

LÝ THUYẾT TẬP HỢP
Định nghĩa Tập hợp
1. Khái niệm
Tập hợp là nhóm đối tượng ta
quan tâm.
Phải được xác định tốt.
x ∈ A x ∈ A
Ví dụ:
1) Tập hợp sinh viên của một
trường đại học.
2) Tập hợp các số nguyên
3) Tập hợp các trái táo trên một
cây cụ thể.
Định nghĩa
Số phần tử của tập hợp A được gọi là lực lượng của tập 
hợp, kí hiệu |A|.
Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn.
Ngược lại, ta nói A vô hạn.
Ví dụ.
N, Z, R, là các tập vô hạn
X = {1, 3, 4, 5} là tập hữu hạn |X|=4
Lực lượng của tập hợp
Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
A={1,2,3,4,a,b}
Động Vật = {Chó, Mèo, Heo, Gà, Vịt}
X={0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}
Đưa ra tính chất đặc trưng
B={ n N | n chia hết cho 3}
Y={ n N | n là số nguyên tố}
Cách xác định tập hợp
Quan hệ giữa các tập hợp
Tập hợp con
A là tập con của B nếu mọi
phần tử của A đều nằm trong
B. Ký hiệu: A ⊂ B.
Hai tập hợp bằng nhau
A = B nếu mọi phần tử của A
đều nằm trong B và ngược
lại.
BA
A B BA
• a. Phép hợp
– Hợp của tập A và tập
B là tập hợp tạo bởi tất
cả các phần tử thuộc A
hoặc thuộc B.
– Ký hiệu:
– Ví dụ:
A
B
{ , , , }
{ , , , , , }
{ , , , }
A a b c d
A B a b c d e f
B c d e f
 
  
 
A B
( ) ( )x A B x A x B     
2. Các phép toán tập hợp
1. Tính lũy đẳng
2. Tính giao hoán
3. Tính kết hợp
4. Hợp với tập rỗng
A B B A  
A A A 
( ) ( )A B C A B C    
A A A   
Tính chất phép hợp
Phép giao
– Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi các
phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
– Ký hiệu:
– Tính chất:
1) Tính lũy đẳng
2) Tính giao hoán
3) Tính kết hợp
4) Giao với tập rỗng
Tính phân phối của phép giao và hợp
( ) ( )x A B x A x B     
A B
A BA B
A B B A  
A A A 
( ) ( )A B C A B C    
A A   
1) ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ) ( )
A B C A B A C
A B C A B A C
     
     
• ĐN:
– Hiệu của hai tập hợp là tập tạo
bởi tất cả các phần tử thuộc tập
này mà không thuộc tập kia
– Ký hiệu A\B
( \ ) ( )x A B x A x B    
A B
1)
2)
A B A B
A B A B
  
  
Luật De Morgan:
Hiệu của hai tập hợp
Tập bù
• Nếu A là con của B thì B\A được gọi là tập 
bù của A trong B.
B\A A
Tập các tập con của một tập hợp
ĐN: Cho X là một tập hợp. Khi đó tập tất cả các tập con của X 
được ký hiệu là P(X)
Ví dụ { , }X a b
( ) { ,{ },{ },{ , }}P X a b a b 
{1,2,3}, ( ) ?Y P Y 
| | | ( ) | ?X n P X  
ĐN: Tích Đề các của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp 
bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với
– Ký hiệu A.B hoặc
– Chú ý: Tích của 2 tập hợp không có tính chất giao
hoán.
,x A y B 
A B
( , ) ( )x y A B x A y B     
Tích Đề Các
| | ?A B 
ÁNH XẠ
Khái niệm
1. Định nghĩa. Cho hai tập hợp X, Y  . Ánh xạ giữa hai
tập X và Y là một qui tắc f sao cho mỗi x thuộc X tồn tại
duy nhất một y thuộc Y để y = f(x)
Ta viết:
:
( )
f X Y
x f x


Nghĩa là , ! : ( )x X y Y y f x    
Ví dụ
Cả hai đều Không là ánh xạ
Ánh xạ bằng nhau
bằng Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là 
nhau nếu x  X, f(x) = g(x).
Ví dụ: Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) và g(x) =x2-1 từ R->R
Ta có (x-1)(x+1) = x2 – 1 nên f(x) = g(x) x  R
Vậy hai ánh xạ này bằng nhau.
Ảnh và ảnh ngược
• Cho ánh xạ f từ X vào Y và A  X, B  Y. 
Ta định nghĩa:
• f(A) = {f(x)  x  A} = {y  Y  x  A, y = 
f(x)} được gọi là ảnh của A
Ảnh và ảnh ngược
f–1(B) = {x  X  f(x)  B} được gọi là ảnh ngược của B 
f(A) = {f(x)  x  A} = {y  Y  x  A, y = f(x)}
Như vậy y  f(A)  x  A, y = f(x);
y  f(A)  x  A, y  f(x).
f–1(B) 
Như vậy x  f–1(B)  f(x)  B
Ví dụ ảnh và ảnh ngược
Ví dụ. Cho f: R R được xác định f(x)=x2 +1
Ta có
f([1,3])=[2,10]
f([-2,-1])=[2,5]
f([-1,3])=[1,10]
f((1,5)) = (2,26)
f–1(1)={0}
f–1(2)={-1,1}
f–1(-5)= 
f–1([2,5])= [-2,-1] [1,2]
Phân loại ánh xạ
a. Đơn ánh Ta nói f : X  Y là một đơn ánh nếu hai phần tử 
khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:
Ví dụ. Cho f: N R được xác định f(x)=x2 +1 (là đơn ánh)
g: R R được xác định g(x)=x2 +1 (không đơn ánh)
Cách CM ánh xạ f là đơn ánh 
x, x'  X, x  x'  f(x)  f(x' )
Như vậy f : X  Y là một đơn ánh 
 (x, x'  X, f(x) = f(x')  x = x').
 (y  Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử).
 (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) 
có nhiều nhất một nghiệm x  X.
f : X  Y không là một đơn ánh 
 (x, x'  X, x  x' và f(x) = f(x')). 
 (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham 
số) có ít nhất hai nghiệm x  X 
Toàn ánh
b. Toàn ánh Ta nói f : X  Y là một toàn ánh f(X)=Y, nghĩa 
là:mọi phần tử của Y đều là ảnh của ít nhất một phần tử x thuộc 
X, nghĩa là
Ví dụ. Cho f: R R được xác định f(x)=x3 +1 (là toàn ánh)
g: R R được xác định g(x)=x2 +1 (không là toàn 
ánh)
Toàn ánh  f(X)=Y. Như vậy 
f : X  Y là một toàn ánh 
 (y  Y, x  X, y = f(x))
 (y  Y, f–1(y)  );
 y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham 
số) có nghiệm x  X.
f : X  Y không là một toàn ánh 
 (y  Y, x  X, y  f(x));
 (y  Y, f–1(y)  );
Cách CM ánh xạ f là toàn ánh
Song ánh
c. Song ánh Ta nói f : X  Y là một song ánh nếu f vừa là 
đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ. Cho f: R R được xác định f(x)=x3 +1 (là song ánh)
g: R R được xác định g(x)=x2 +1 (không là song 
ánh)
Tính chất của song ánh
Tính chất.
f : X  Y là một song ánh 
 (y  Y, !x  X, y = f(x));
 (y  Y, f–1(y) có đúng một phần tử);
 y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham 
số) có duy nhất một nghiệm x  X.
f–1 : Y  X
y f–1(y) = x với f(x) = y. 
Ánh xạ ngược
Ánh xạ ngược. 
Xét f : X  Y là một song ánh. Khi đó, theo tính chất trên, với 
mọi y  Y, tồn tại duy nhất một phần tử x  X thỏa f(x) = y. Do 
đó tương ứng y x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là 
ánh xạ ngược của f và ký hiệu f–1. Như vậy:


Ví dụ. Cho f là ánh xạ từ R vào R f(x) =2x+1.
Khi đó f–1(y)=(y-1)/2
Ánh xạ hợp
3. Ánh xạ hợp. Cho hai ánh xạ f : X  Y và g : Y'  Z 
trong đó Y  Y'. Ánh xạ hợp h của f và g là ánh xạ từ X vào Z 
xác định bởi: h : X  Z
x h(x) = g(f(x))
Ta viết: h = gof : X  Y  Z 

Ví dụ ánh xạ hợp
2( ) 1, ( ) 1f x x g x x   
Ví dụ. Tìm gof, fog 
2 0
( ) ( ) 2 1
1 0
x if x
f x g x x
x if x
 
  
 