Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Ngọc Lam

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 
 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính : 
1. Định nghĩa : Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng :	 
x j là biến , 
a ij được gọi là hệ số ( của ẩn ) 
b i : được gọi là hệ số tự do 
11/10/2021 
1 
Hệ phương trình tuyến tính 
 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
2. Ma trận các hệ số của phương trình : 
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: 
Hệ phương trình (1) có thể viết : AX = B 
11/10/2021 
2 
Hệ phương trình tuyến tính 
 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
4. Ma trận bổ sung: 
1.2. Nghiệm : 
 Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c 1 ,c 2 , c n ) thoả hệ phương trình (1). 
 Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm , và được gọi là không tương thích ( hệ vô nghiệm ) nếu nó không có nghiệm . 
 Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương , nếu các tập hợp nghiệm của chúng là trùng nhau . 
11/10/2021 
3 
Hệ phương trình tuyến tính 
 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm : 
 Định lý ( Định lý Kronecker – Capelli ): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . 
. 
1.4. Ví dụ : Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm : 
11/10/2021 
4 
Hệ phương trình tuyến tính 
 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 
2.1. Định nghĩa : Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình , n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không . 
2.2. Định lý Crame : Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A -1 B, tức là : 
Trong đó A j là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 
11/10/2021 
5 
Hệ phương trình tuyến tính 
 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 
2.3. Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
11/10/2021 
6 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
3.1. Định nghĩa : 
	 Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không . 
	Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang . 
11/10/2021 
7 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : 
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : 
3.3.1. Định nghĩa : 
11/10/2021 
8 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : 
3.3.1. Định nghĩa : 
Hệ luôn có nghiệm tầm thường 
11/10/2021 
9 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : 
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường . 
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm , phụ thuộc n-k tham số . 
3.3.3. Ví dụ : 
11/10/2021 
10 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
11/10/2021 
11 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X 1 , X 2 . 
11/10/2021 
12 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
3.3.4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số . Giả sử n-k tham số đó là x k+1 ,  x n . 
x 1 
x 2 
... 
x k 
x k+1 
x k+2 
x n 
c 11 
c 12 
c 1k 
1 
0 
... 
0 
c 11 
c 12 
c 1k 
0 
1 
... 
0 
... 
... 
... 
... 
c n-k,1 
c n-k,2 
c n-k,k 
0 
0 
... 
1 
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . 
11/10/2021 
13 
Hệ phương trình tuyến tính 
 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
Áp dụng : Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau : 
x 1 = 8x 3 – 7x 4 
x 2 = -6x 3 + 5x 4 
x 3 
x 4 
8 
-6 
1 
0 
-7 
5 
0 
1 
11/10/2021 
14 
Hệ phương trình tuyến tính