Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Đạo hàm, vi phân - Trần Thanh Bình

x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ;
Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d)
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
f / (x) =
1
g/ (y)
x , y liên hệ bởi y = f (x) .
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ;
Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d)
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
f / (x) =
1
g/ (y)
x , y liên hệ bởi y = f (x) .
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ;
Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d)
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
f / (x) =
1
g/ (y)
x , y liên hệ bởi y = f (x) .
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
Hàm f (x) : (a, b)! (c , d) là hàm ngược của hàm g (y) ;
Hàm g (y) khả vi trên (c , d) và g/ (y) 6= 0, 8y 2 (c , d)
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
f / (x) =
1
g/ (y)
x , y liên hệ bởi y = f (x) .
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/
) 1
y
y/ = v/ ln u + v .
1
u
.u/
) y/ = y

v/ ln u + v .
u/
u

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/
) 1
y
y/ = v/ ln u + v .
1
u
.u/
) y/ = y

v/ ln u + v .
u/
u

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/
) 1
y
y/ = v/ ln u + v .
1
u
.u/
) y/ = y

v/ ln u + v .
u/
u

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/
) 1
y
y/ = v/ ln u + v .
1
u
.u/
) y/ = y

v/ ln u + v .
u/
u

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/
) 1
y
y/ = v/ ln u + v .
1
u
.u/
) y/ = y

v/ ln u + v .
u/
u

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x)v (x) trong đó u (x) > 0 khả vi, v (x) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x) ln u (x)) (ln y)/ = (v ln u)/
) 1
y
y/ = v/ ln u + v .
1
u
.u/
) y/ = y

v/ ln u + v .
u/
u

Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
5. Nếu trên khoảng mở, f (x) là hàm sơ cấp thì f (x) tính theo các quy
tắc 1),2),3). Tại các điểm đặc biệt ta dùng giới hạn để tính đạo hàm.
Ví dụ. Cho
f (x) =

x2 sin 1x , x 6= 0
0 , x = 0
Tính f / (x)
Trên mỗi khoảng mở (∞; 0) và (0;+∞) . Ta có hàm sơ cấp
f (x) = x2 sin
1
x
) f / (x) = 2x sin 1
x
+ x2 cos
1
x
.
1
x2

Tại x = 0 : lim
x!0
f (x)f (0)
x0 = limx!0
x2 sin 1x0
x0 = limx!0x sin
1
x = 0.
Vậy f / (0) = 0.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 12 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1 (xα)/ = αxα1, x > 0
2 (ax )/ = ax ln a
3 (loga x)
/ = 1x ln a
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x)/ = 1p
1x2 ,
(arccos x)/ =
 1p
1x2 ; x 2 (1; 1)
(arctan x)/ = 1
1+x2
;
(arccot x)/ =  1
1+x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
4. Vi phân
Định nghĩa
Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó đại lượng f
/ (x0)∆x gọi là vi phân
của f tại x0 ứng với số gia ∆x , ký hiệu là df (x0) .
Nếu f (x) = x , ta có dx = 1.∆x = ∆x . Vậy cũng có thể viết
df (x) = f / (x) dx
Đạo hàm f / (x) cũng còn ký hiệu: f / (x) = df (x)dx .
Các quy tắc tính vi phân
d (u + v) = du + dv ; d (uv) = vdu + udv ; d

u
v


= vduudv
v2
Ứng dụng vi phần để tính gần đúng.
Trong (1) ta có α (x) (x  x0) là VCB cấp cao hơn
f / (x0) (x  x0) (khi x ! x0)
Do đó khi ∆x = x  x0, nhỏ, ta có thể coi
f (x0 + ∆x) f (x0)  f / (x0)∆x hay
∆f (x0)  df (x0) (2)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 14 / 20
Ví dụ:
Tính gần đúng a = sin 460 = sin

pi
4 +
pi
180


Áp dụng công thức (2) cho ta
f (x) = sin x , x0 =
pi
4
,∆x =
pi
180
.
Ta có
f
pi
4
+
pi
180

 f
pi
4

 f /
pi
4


 pi
180
) a 
p
2
2
+
p
2
2

 pi
180
 0, 7071 (1+ 0, 017)
 0, 7194
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 15 / 20
Dạng bất biến của vi phân cấp 1
Cho y = y (x) và x = x (t) ; khi đó y là hàm của biến
t : y = y (x (t)).
Vi phân của y theo x : dy = y/x dx .
Vi phân của y theo t: dy = y/t dt = y
/
x x
/
t dt = y
/
x dx .
Như vậy, công thức dy = y/x dx đúng khi x là biến độc lập hay biến
phụ thuộc.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 16 / 20
5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Khái niệm: Ta nói hàm y = f (x) , x 2 (a, b) là hàm ẩn, xác định từ
phương trình
F (x , y) = 0 (3)
nếu
F (x , f (x)) = 0 8x 2 (a, b)
Ví dụ: Phương trình
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (4)
xác định hai hàm ẩn
y1 = f1 (x) =
b
a
p
a2  x2; y2 = f2 (x) = b
a
p
a2  x2
Đạo hàm của hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn cho bởi 3, ta lấy đạo hàm phương trình
3, coi y là hàm của x .
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 17 / 20
Ví dụ: Lấy đạo hàm (4) ta có:
2x
a2
+
2y .y/
b2
= 0 (5)
suy ra
y/ = b
2
a2

 x
y
tại những x mà y 6= 0.
Nói riêng:
y/1 = 
b2
a2

 x
y1 (x)
= b
a

 xp
a2  x2
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 18 / 20
Ví dụ: Tiếp tuyến của đường
x2
a2
+
y2
b2
= 1
tại (x0, y0) là
xx0
a2
+
yy0
b2
= 1
Gọi y (x)_hàm ẩn xác định bởi (4)
Phương trình tiếp tuyến:
y  y0 = y/ (x0) (x  x0)
Thay y/ (x0) =  b2a2 
 x0y0 , ta có
y  y0 = b
2
a2

 x0
y0
(x  x0)) xx0
a2
+
yy0
b2
=
x20
a2
+
y20
b2
= 1
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 19 / 20
Nói thêm về bài giảng
Bài giảng giới thiệu các định nghĩa và tính chất của Đạo hàm và Vi
phân.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 20 / 20