Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 3: Tích phân - Phan Trung Hiếu

 nhận bấy nhiêu giá trị thuộc TXĐ để lập hệ phương
trình. Từ đó, ta giải tìm các hệ số.
30
Ví dụ 3.5. Tính
3sin
)
2 cos
x
a dx
x
1
0
4 3
)
2 1


x
b dx
x
3
)
(2 1)
xdx
c
x
4
2
3
( 1)
)
3 2

 
x dx
d
x x
2
3 2
( 1)
)
3 4 12

  
x
e dx
x x x
2
2
( 2)
)
( 1)


x
f dx
x x
2
3 2
2 3 11
)
3 5
 
  
x x
g dx
x x x
02/11/2017
6
31
Dạng 6: Tính tích phân bằng phương pháp
tích phân từng phần
Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log);
đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác);
mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân.
Phương pháp:
B1: Đặt 
( ) ( )
( )
u f x du f x
dv g x v
  
 
  
dx
dx Nguyên hàm của g(x)
Đặt theo thứ tự ưu tiên là" "u dv
“Nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ”
(đứng trước thì đặt u, đứng sau thì đặt dv).
32
B2: Dùng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu  
hoặc
.
b b
b
a
a a
udv uv vdu  
33
Ví dụ 3.6 Tính
) cosa x xdx
2
0
) sin 2 ln(2 cos )

e x x dx
2) arccosd x xdx
1
2
0
)
xb x e dx
2
1
ln
) 
e
x
c dx
x
) sin
xf e xdx
34
§3. Tích phân suy rộng
I. Các loại tích phân suy rộng:
35
Loại 1:
( ) ; ( ) ; ( ) .
b
a
f x dx f x dx f x dx
 
 
  
Loại 2:
( )
b
a
f x dx trong đó vớilim ( )x c f x   [ , ].c a b
36
Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy
cho biết nó thuộc loại nào.
2
1
1
)

a dxx 2) 1



dx
b
x
/2
0
sin
)
cos


xdx
c
x
1
1
)


dx
d
x
1
2
) .



dx
e
x
02/11/2017
7
II. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
37
TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.
TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.
38
TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x

 
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.
39
Chú ý 2.1:
 ( ) lim ( )
b b
a
a
f x dx f x dx

 

 ( ) lim ( )
b
b
a a
f x dx f x dx

 


( ) ( ) ( ) ,     
c
c
f x dx f x dx f x dx c
 
 
 ( ) ( ) ( ) , (0, )

     
b
a a b
f x dx f x dx f x dx b


tùy ý
tùy ý
40
 Điểm suy rộng tại a  lim ( )
x a
f x

 
( ) lim ( )
b b
t a
t
f x dx f x dx

 
a
 Điểm suy rộng tại b  lim ( )
x b
f x

 
( ) lim ( )
t
t b
a a
f x dx f x dx

 
b
 Điểm suy rộng tại a và b
( ) ( ) ( ) , ( , )
c b
a c
f x dx f x dx f x dx c a b    
b
a
41
-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn
tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược
lại là tích phân phân kỳ.
-Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích
phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
 Điểm suy rộng tại ( , )a bc
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx f x dx   
c
c
42
Định lí 2.2: 
a) ( )
a
f x dx

 hội tụ và ( )
a
g x dx

 hội tụ
 ( ) ( )
a
f x g x dx

  hội tụ và
 ( ) ( ) ( ) ( ) .
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
  
    
b) ( )
a
f x dx

 hội tụ và k là một hằng số
. ( )
a
k f x dx

  hội tụ và . ( ) . ( )
a a
k f x dx k f x dx
 
 
02/11/2017
8
43
Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích 
phân sau (trong trường hợp hội tụ)
2
1
)
dx
a
x


0
) xb e dx


0
) xd xe dx


 2) 1
dx
e
x



1
2
0
)
1
dx
f
x

1
1
)
1
x
x
e dx
h
e


/2
0
sin
)
1 cos
xdx
g
x


1
ln
)
x
c dx
x


2
2
2
)
4
dx
i
x 

44
TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x

 
-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm.
45
Định lí 2.2: f(x), g(x) dương, liên tục trên [ , )a 
Xét
( )
lim .
( )x
f x
k
g x

i) 0 :k  
( ) , ( )
a a
f x dx g x dx
 
  cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
ii) 0 :k  ( )
a
g x dx

 hội tụ ( )
a
f x dx

  hội tụ.
( )
a
f x dx

 phân kỳ ( )
a
g x dx

  phân kỳ.
iii) :k   ( )
a
f x dx

 hội tụ ( )
a
g x dx

  hội tụ.
( )
a
g x dx

 phân kỳ ( )
a
f x dx

  phân kỳ.
46
Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên và
thì
[ , )a 
( ) ( )f x g x khi x  
( )
a
f x dx


cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
( )
a
g x dx

và
Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên 
( , ], [ , ), ( , ]b a b a b
47
Chú ý 2.4:
 Với , ta có0 a  
1

 n
a
dx
x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
 Với , ta có0 b  
0
1

b
n
dx
x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
48
Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
3
1
)
1
dx
a
x x

  5
1
2
)
1
xdx
b
x x

 

33
1
( 5)
)
1
x dx
c
x x




1
3/2
0
ln(1 )
)
x dx
e
x


1
0
)
sin
dx
f
x
3
0
)
dx
d
x


02/11/2017
9
49
Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
2
2
0
)

 x
x
a dx
e
2
3
1
5ln
)
2 1

 
 
x x x
b dx
x x
2
11
0
)  xc xe dx
1
0
ln
) 
x
d dx
x
50
Định lí 2.5: 
0 ( ) ( )f x g x  với mọi x trên 
[ , ) [ , )
[ , ), lim ( )
( , ] ( , ]
( , ], lim ( )
x b
x a
a b a
a b f x
a b b
a b f x




 
  
  
  
Khi đó:
( )
b
a
g x dxi) hội tụ ( )
b
a
f x dx  hội tụ.
( )
b
a
f x dxii) phân kỳ ( )
b
a
g x dx  phân kỳ.
51
Chú ý 2.6:
 , ta có
 ta có
 ta có 
 ta có
 ta có
2 1.x x x  1x 
1,x  ln .xx x e 
Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
2
1
) xa e dx



1 1
0
)
xe dx
b
x


0,x  1.xe 
,x e  ln 1.x 
6
4
3
ln
)
( 3)
x
c dx
x 
2,x  ln(1 ) 1.x 
52
Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng của hội tụ ( )f x
 Tích phân suy rộng của hội tụ. ( )f x
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt
đối.
Chú ý kết quả: sin 1; cos 1, .X X X   
Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân 
3
1
sin x
dx
x


53
§4. Ứng dụng của tích phân
trong kinh tế
I. Xác định hàm tổng theo biên tế:
54
Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng
chi phí, tổng doanh thu, tổng tiêu dùng,) là hàm số
được xác định theo giá trị của biến số x:
y = f (x)
Nếu ta biết được hàm giá trị cận biên thì ta
có thể xác định được hàm tổng y = f (x) thông qua
phép toán tích phân
( )My f x
'( )y Mydx f x dx  
Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác
định nếu ta biết giá trị của y tại một điểm x0 nào đó:
y0 = f(x0).
02/11/2017
10
55
Ví dụ 1.1: Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức
sản lượng Q là
MC = 8.e0,2Q
và chi phí cố định là FC = 50. Tìm hàm tổng chi
phí C(Q) và chi phí khả biến VC(Q).
II. Tính thặng dư:
56
Trong kinh tế học:
-Tổng tất cả các giá trị hưởng lợi của mọi người
tiêu dùng được gọi là thặng dư của người tiêu
dùng (Consumers’ Surplus), ký hiệu là CS.
-Tổng tất cả các giá trị mà mọi nhà sản xuất được
hưởng lợi khi giá cân bằng là thặng dư của nhà
sản xuất (Producers’Surplus), ký hiệu là PS.
57
Giả sử:
Điểm cân bằng của thị trường là (P0,Q0), nghĩa
là khi giá P = P0 thì QS=QD
P(QS) là hàm cung (đảo).
P(QD) là hàm cầu (đảo).
Khi đó:
0
0
0 0
0
0 0
0
( ) .
. ( )
Q
D D
Q
S S
CS P Q dQ P Q
PS P Q P Q dQ
 
 


58
Ví dụ 2.1: Biết hàm cung, hàm cầu của một loại
hàng hóa được cho bởi
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và
nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.
1,
113 .
S
D
Q P
Q P
 
 
11 
BẢNG 3. TÍCH PHÂN CƠ BẢN 
 (1) 0  dx C 
(2) dx x C  Với 0A  : 
(3) 
1
1
x
x dx C




 

11 ( )
( ) ( 1)
1
Ax B
Ax B dx C
A

 


     

(4) ln ( 0)
dx
x C x
x
   
1
ln ( 0)
dx
Ax B C Ax B
Ax B A
    

(5) 
2
1
 
dx
C
x x
 
    

dx
. C
A Ax B(Ax B)2
1 1
(6) 


 
 n n
dx
C
x (n )x 1
1
1


  
   n n
dx
C
A(Ax B) (n )(Ax B) 1
1 1
1
(7)  
dx
x C
x
2 (x > 0)   


dx
Ax B C
AAx B
2
 (Ax + B > 0) 
(8)  

n nm n mnx dx x C
n m
     

m n mn nn(Ax B) dx (Ax B) C
A n m
1
(9) 
 

n n m
n m
n
dx x C
n mx
1
    


n mn
mn
n
dx (Ax B) C
A n m(Ax B)
1 1
(10) 

 
   
dx ax b
ln C
(ax b)(cx d) ad bc cx d
1
(11) 
x xe dx e C  ( ) ( )
1Ax B Ax Be dx e C
A
   
(12) 
ln
x
x aa dx C
a
  
( )
( ) 1 (0 1)
ln
Ax B
Ax B aa dx C a
A a

      
(13) cos sinxdx x C  
1
cos( ) sin( )Ax B dx Ax B C
A
    
(14) sin cosxdx x C   
1
sin( ) cos( )Ax B dx Ax B C
A

    
(15) cot ln sin  xdx x C 
1
cot( ) ln sin( )    Ax B dx Ax B CA 
(16) tan ln cos   xdx x C 
1
tan( ) ln cos( )

    Ax B dx Ax B CA 
(17) 2 tancos
dx
x C
x
  2
1
tan( )
cos ( )
dx
Ax B C
Ax B A
  

(18) 2 cotsin
dx
x C
x
   2
1
cot( )
sin ( )
dx
Ax B C
Ax B A

  

12 
(19) 
2 2
1
arctan ( 0)  

dx x
C k
k x k k 

  
 
dx Ax B
arctan C
A k k(Ax B) k2 2
1 1
(20) 
2 2
arcsin ( 0)  


dx x
C k
kk x

 
 

dx Ax B
arcsin C
A kk (Ax B)2 2
1
(21) 
2
2
ln
( 0)
   



dx
x x k C
x k
k
2
2
( )
1
ln ( ) ( )
 
     

dx
Ax B k
Ax B Ax B k C
A
(22) 
2
2 2 2 2 arcsin ( 0)
2 2
     
x k x
k x dx k x C k
k
(23) 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
      
x k
x k dx x k x x k C 
(24) 2 2 2ln
2 2
      
x k
k x dx k x x k x C