Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

) có giới hạn là L (L có thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nói f(x) cógiới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nói f(x) cógiới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu
0x x 0x x
0
lim ( ) .x x f x L 


0x x 0x x
0
lim ( ) .x x f x L 
29
Chú ý 1.1:
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x xf x L f x f x L      
 và và

0 0.x x x x  
0 0x x x x   0.x x
0 0x x x x   0.x x
0
0 0
1
2
1 2
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L
f x L f x
L L



 
   
không tồn tại.
II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 
30
2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc TXĐ của nó được tính theo công thức 0x
0 0lim ( ) ( ). x x f x f xVí dụ 2.1: Tính các giới hạn sau
2
1
) lim( 2).
x
a x x  
0
sin 3) lim .
cosx
xb
x

2
) lim 2.
x
c x 
22/09/2017
6
31
Ví dụ 2.2: Cho
2
5 2 khi 1( ) 3 khi 1
x xf x x x
    
Tìm 11 1lim ( ), lim ( ), lim ( ).xx xf x f x f x   
Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau có giới hạn khi 2x 
2
2
1 khi 2( ) .2 1 khi 2
       
x mx xf x x x x
V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
32
Xem Bảng 1.
2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản: 
III. Một số định lý về giới hạn hàm số: 
33
0
lim ( ).x x k k k  ĐL 3.1:ĐL 3.2: Giả sửKhi đó: 0 0lim ( ) , lim ( ) .x x x xf x A g x B  
 
0
) lim ( ) ( ) .x xii f x g x A B    
0
) lim ( ). ( ) . .x xiii f x g x A B 
0
( )) lim ( 0).( )x x
f x Aiv Bg x B
     
 
0 0
) lim . ( ) . lim ( ) ( ).x x x xi k f x k f x k  
 
0
( )) lim ( ) (0 1).g x Bx xv f x A A   
34
Nếu
thì
0 0
) lim ( ) 0 lim ( ) 0.x x x xi f x f x   )ii
0 0
0 0( ) ( ) ( ), ( , ),lim ( ) lim ( )x x x x
g x f x h x x x x
g x h x L
 
 
       
0
lim ( ) .x x f x L 
ĐL 3.3:
ĐL 3.4: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất.
35
Chú ý 3.1: Trong tính toán về giới hạn hàmsố, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạngvô định:
Khi đó, ta không thể dùng định lý 3.2, mà phảidùng các phép biến đổi để khử các dạng vôđịnh đó.
0 00 , , 0. , , 0 , ,1 .0 
    
36
Chú ý 3.2: Một vài quy tắc với : ( ) ( ) ,a a      ( ) ( ) ,a a      , 0,.( ) ( ). , 0,
aa a a
      

, 0,.( ) ( ). , 0.
aa a a
      
22/09/2017
7
37
( ) ( ) ,     ( ).( ) ( ).( ) ,      ( ) ( ) ,    ( ).( ) ( ).( ) .      
 ta có*,n  ( ) ,n  
  
neáu chaün,( )
neáu leû.
n n
n
 0.a 
38
:0
a   a > 0 và mẫu > 0a 0 và mẫu 0
,,, . 
IV. Vô cùng bé (VCB):
39
Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùngbé khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x
0
lim ( ) 0.x x f x Ví dụ 4.1:
3) 3sin 2b x x 0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi0.x là VCB khi) cos , cotc x x .2x là VCB khi
2
1) 2
xd x
 .x là VCB khi
40
Tính chất 4.31) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB.2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn làmột VCB.3) Thương của hai VCB chưa chắc là mộtVCB.
Định lý 4.2.
0
lim ( ) ( ) ( )    x x f x L x f x L là một VCB khi 
0.x x
41
-Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) 0f x -Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).k  
-Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tươngđương. Ký hiệu: 
0,k k  
Định nghĩa 4.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x)là hai VCB khiXét 0.x x
0
( )lim .( )x x
f x kg x 
1k ( ) ( ).f x g x
Ví dụ 4.2: Một số vô cùng bé tương đương thường gặp(Xem Bảng 1).
 ( ) ( ) .f x O g x
V. Vô cùng lớn (VCL):
42
Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùnglớn khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x
0
lim ( ) .x x f x  Ví dụ 5.1:
0.x 1 1) , , cotsina xx x là VCL khi
2) , 2 1b x x  .x là VCL khi
22/09/2017
8
43
-Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) f x-Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).k  
-Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tươngđương. Ký hiệu: 
0,k k  
Định nghĩa 5.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x)là hai VCL khiXét 0.x x
0
( )lim .( )x x
f x kg x 
1k ( ) ( ).f x g x
 ( ) ( ) .f x O g x
44
Tính chất 5.3: Quan hệ trong VII và VIII làquan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau
1) ( ) ( ).f x f x
2) ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x
( ) ( )3) ( ) ( ).( ) ( )
 



f x g x f x h xg x h x
~
VI. Phương pháp tính
45
0
lim ( ) :x x f x
Thế vào f(x)0x
con số cụ thể biện luậnxem ? vô định
khử
0 00, , 0. , ,0 , ,1 .0 
   
46
6.1. Khử dạng và : 00Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây

00
( ) ( )2) lim ( ) .lim ( ) 
   

x xx x
f x g x f x Lg x L
1 11
11 1
( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )3) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
   



f x g x f x g xf x f x f xf xg x g x g x g x
4) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x  nếu căn có nghĩa.
0
1) lim ( ) \{0} ( ) .x x f x L f x L    
47
Chú ý 6.1:Ta không thể viết hayngay cả khi hay vì điềunày vô nghĩa.
( ) 0f x  ( )f x ( ) 0f x  ( )f x 
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x g x f x g x
g x g x f x g x f x g x
      
 
 
48
Ví dụ 6.1: Cho và Tính:
a) b)
2( ) 5f x x  2( ) 3.g x x  
( )lim .( )x
f x
g x  lim ( ) ( ) .x f x g x 
Ví dụ 6.2: Tính các giới hạn sau
2
30
21) lim .3
x x xx x
2
2
( 2)( 5 1)4) lim .( 2)
  x x x xx x
2
3
2 33) lim
2 1x
x x
x x
 
 
2
22
42) lim .3 2
 x xx x
22/09/2017
9
49
0
sin 26) lim .x xx
20
7arctan 49) lim .1 xx
x
e
30
ln(1 2 )11) lim .1
 xx xe
0
1 2 110) lim .t an3
 
x
x
x
20
1 cos38) lim . x xx
2
07) lim .arcsin 3x
x
x
20
ln(cos )12) lim .x xx
22 3 55) lim .5 1
 x x xx
50
Chú ý 6.2 (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCBkhi sao cho
Khi đó:
0x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx 
      

neáu
( ) ( ) neáu
( ) neáu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b
Nếu thì ta không thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x
51
Ví dụ 6.3:
2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x    
4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x     
Ví dụ 6.4: Tính
2 3
3 80
3sin 4sin) lim .5x
x x xa x x x
  
30
tan sin) lim . x x xc x
3 5
0) lim . 
x x
x
e eb x
52
Chú ý 6.3. (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCLkhi sao cho
Khi đó:
x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx 
      

neáu
( ) ( ) neáu
( ) neáu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b
Nếu thì ta không thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x
53
Ví dụ 6.5: Tính
2
2
4 2 3lim .4x
x x x
x x
  
 
6.2. Khử dạng :   Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 0
0 .Ví dụ 6.6: Tính các giới hạn sau
22
1 4) lim .2 4     xa x x  2) lim 1 .xb x x x   
hoặc
54
6.3. Dạng : 0 . 00 hoặc .biến đổi đưa về dạng 
2 20
1 1) lim 1 .1xa x x    
Ví dụ 6.7: Tính các giới hạn sau
3
2 1) lim ( 1) .2
  x xb x x x
6.4. Dạng :  
0
( )lim ( ) g xx x f x0 00 , ,1 Giới hạn có dạng
Đặt  
0
( )lim ( ) g xx xa f x  0 ( )ln lim ln ( )  g xx xa f x
0
ln lim ( )ln ( )
Tính
x x
a g x f x b     
.ba e 
Ví dụ 6.8: Tính 210lim(cos ) .xx x
22/09/2017
10
55
§3. Hàm số liên tục
I. Hàm số liên tục tại một điểm:
56
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác địnhtrong một khoảng chứa x0. Ta nói:(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu
(ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu0
0lim ( ) ( ).x x f x f x 
0 0
lim ( ) ( ).x x f x f x 
57
(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu
0 0
lim ( ) ( ).x x f x f x Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điềusau: f(x) xác định tại x0. tồn tại.

0
lim ( )x x f x
0 0
lim ( ) ( ).x x f x f x 
58
Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là giánđoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) không xác định tại x0. f(x) xác định tại x0, nhưng
0
lim ( )x x f x không tồn tạihoặc
0
lim ( )x x f x không tồn tạihoặc
0 0
lim ( ) lim ( ).x x x xf x f x   f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 0lim ( )x x f x
0 0lim ( ) ( ).x x f x f x 
59
Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì
cũng liên tục tại x0., . , ( 0)ff g f g gg Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau
sin 3 khi 0) ( )
3 khi 0
   
x xa f x x x tại 0 0.x 
2
2
1 khi 1) ( ) khi 12
      
x xb f x x x
tại 0 1.x  
2
2 3 khi 0
) ( ) 1 khi 0
3 khi 0
     
x x
c f x x
x x
tại 0 0.x
60
Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số
3
2
2
1 khi 0) ( ) ln(1 )
1 khi 0
     
xe xa f x x
m x liên tục tại 0 0.x
khi 0) ( ) khi 0
xe xb f x x m x
     liên tục tại 0 0.x 
22/09/2017
11
II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 
61
Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc(a,b).Định nghĩa 2.2:
f(x) liên tục trên [a,b]
 
f(x) liên tục trên (a,b)
lim ( ) ( )x a f x f a 
lim ( ) ( )x b f x f b 
62
Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồthị là một đường liền nét (không đứt khúc)trên đoạn đó.
Liên tục Không liên tục
a b a b
63
Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phânthức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và cáchàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thìđạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Định lý 2.6:
f(x) liên tục trên [a,b]
( ). ( ) 0f a f b  ( , ) : ( ) 0.c a b f c  