Bài giảng Toán cao cấp C - Nguyễn Viết Trí

ử 
dụng các loại hàng hóa khác nhau trong cơ cấu yếu tố sản xuất (chẳng hạn, việc sản 
xuất thép đòi hỏi phải sử dụng quặng sắt, điện, than,). Do đó tổng cân đối của 
một ngành bao gồm :
3. Cầu trung gian từ các phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho 
quá trình sản xuất.
4. Cầu cuối cùng từ các người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khấu,
bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hãng xuất khấu, 
Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, gọi qui ước là ngành 1, ngành 2, , 
ngành n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn 
lượng cầu của tất cả của các loại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giá
thị trường ổn định).Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa ngành i được tính theo công 
thức
1 2 ... (1)i i i in ix x x x b    
Trong đó :
 ix là tổng cân đối với hàng hóa của ngành i
 ikx là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất 
(Cầu trung gian).
 ib là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng và xuất khẩu (Cầu cuối 
cùng).
Công thức trên có thể viết dưới dạng
122
1 2
1 2
1 2
...i i ini n i
n
x x xx x x x b
x x x
     Đặt  , , 1,2,..., (2)ikik
k
xa i k n
x
 
Ta được hệ phương trình tuyến tính
1 11 1 12 2 1 1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2 21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... (1 ) ...
... (1 ) ...
............................................... .......
...
n n n n
n n n n
n n n nn n n
x a x a x a x b a x a x a x b
x a x a x a x b a x a x a x b
x a x a x a x b
         
            

      1 1 2 2
(3)
..............................................................
... (1 )n n nn n na x a x a x b





      
Hệ phương trình (3) có thể viết dưới dạng ma trận (E-A)X=B (4)
Trong đó 
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
 gọi là ma trận đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật
Ma trân (E-A) được gọi là ma trận Lêontief
1
2
...
n
x
x
X
x
 
 
 
 
 
 
 gọi là ma trận tổng cầu
1
2
...
n
b
b
B
b
 
 
 
 
 
 
 gọi là ma trận cuối cùng và E là ma trận đơn vị cấp n
Chú ý : Ở dạng giá trị phần tử aik nằm trên dòng i cột k của ma trận A là tỷ phần chi 
phí của ngành k trả cho việc mua hàng hóa của ngành i tính trên đơn vị giá trị hàng 
hóa của ngành k (chi phí cho yếu tố đầu vào của sản xuất). Chẳng hạn aik=0,2 có 
nghĩa là để sản xuất ra $1 giá trị hàng hóa của mình (tính theo bình quân), ngành k 
phải mua $0,2 hàng hóa của ngành i.
Theo giả thiết thứ hai nêu ở trên thì các phần tử aik không đổi và gọi là hệ số chi phí 
cho yếu tố sản xuất hay hệ số kỹ thuật. Theo ý nghĩa nêu trên thì 0 1ika 
Phương trình (E-A)X = B (4) cho phép xác định mức tổng cầu đối với hàng hóa 
của tất cả các ngành sản xuất.
  1X E A B 
Điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất, bảo đảm cho nền
kinh tế vận hành trôi chảy, tránh tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa.
123
Thí dụ 7.2.3 Quan hệ trao đổi của 3 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng 
sau (Đơn vị triệu USD)
7.4.1 Ngành cung
ứng
7.4.2 Sản phẩm
(Output)
7.4.3 Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)
7.4.4 Cầu
cuối cùng7.4.6 1 7.4.7 2 7.4.8 2
7.4.10 1 7.4.11 20 7.4.12 60 7.4.13 10 7.4.14 50
7.4.15 2 7.4.16 50 7.4.17 10 7.4.18 80 7.4.19 10
7.4.20 3 7.4.21 40 7.4.22 30 7.4.23 20 7.4.24 40
Trên bảng số liệu trên, mỗi dòng đứng tên một ngành sản xuất (Ouput), mỗi cột ở 
giữa đứng tên một ngành với danh nghĩa là người mua sản phẩm (Inputs).
 Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật.
Giải
Tổng cầu hàng hóa của :
 Ngành 1 : 1 20 60 10 50 140x     
 Ngành 2 : 2 50 10 80 10 150x     
 Ngành 3 : 3 40 30 20 40 130x     
Ma trận hệ số kỹ thuật :
20 60 10
140 150 130 0,143 0,400 0,077
50 10 80 0,375 0,067 0,615
140 150 130
0,286 0,200 0,15440 30 20
140 150 130
A
 
 
  
      
    
 
  
Thí dụ 7.2.4 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật trong một ngành kinh tế có 3 ngành 
sản xuất : ngành 1, ngành 2, ngành 3 là
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
A
 
   
  
a. Giải thích con số 0,4 trong ma trận A
b. Cho biết tỉ phần giá trị gia tăng (giá trị của lao động) hàng hóa của ngành
3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó
c. Cho biết mức cầu cuối s đối với các ngành 1,2,3 lần lượt là 10,5,6 (triệu 
USD), hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
Giải 
a. Số 0,4 ở dòng 2 cột 1 của ma trận A có ý nghĩa là: để sản xuất $1 hàng 
hóa của mình, ngành 1 cần $0,4 hàng hóa của ngành 2 để sử dụng trong quá trình 
sản xuất.
b. Tỉ phần chi phí của ngành 3 là tổng các phần tử ở cột 3 của ma trận A:
124
 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6
Vậy tỉ phần giá trị gia tăng trong tổng giá trị hàng hóa của ngành 3 là: 
 1– 0,4 = 0,6 hay 40%
c. Ta có ma trận Lêontief
1 0 0 0,2 0,3 0,2 0,8 0,3 0,2
0 1 0 0,4 0,1 0,2 0,4 0,9 0,2
0 0 1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,3 0,8
E A
      
               
           
Theo phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, ta tìm được
  1
0,66 0,30 0,24
1 0,34 0,62 0,24
0,384
0,21 0,27 0,60
E A 
 
    
  
Do đó ma trận tổng cầu là :
  1
0,66 0,30 0, 24 10 24,84
1 0,34 0,62 0, 24 5 20,68
0,384
0, 21 0,27 0,60 6 18,36
X E A B
     
             
          
BÀI TẬP CHƯƠNG VII
Bài 1. Giải các phương trình ma trận sau:
2 1 1 2 2 1 1 3
1. 4.
4 2 3 4 4 2 2 6
X X
        
                
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:
1. 
2 1 3 2 5
2 2 4 2. 2 3 1
4 4 2 2 3 11
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
       
        
        
3 8 20 31 45 26 16 0
3. 9 4 5 10 4. 30 65 48 0
15 4 10 29 45 52 32 0
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
      
       
       
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 1 3 5 7 12
3 2 4 3 5 7 0
5. 6.
2 3 6 5 7 3 4
2 3 4 7 3 5 16
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
        
          
          
          
125
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 2 2 3 4 5 13
2 0 2 2 3 4 10
7. 3 0 8. 2 2 2 3 11
4 2 2 2 2 2 6
5 5 2 2 2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
         
                    
           
          3






 
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 1 9 3 5 6 4
9. 2 1 10. 6 2 3 4 5
2 5 5 3 3 14 8
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
        
          
          
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
12 9 3 10 13 2 1
4 3 2 3 2 0
11. 12.
8 6 2 5 7 4 5 5 5 7 3
16 2 3 4 5. 3 3 3 3 4 2
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
         
          
          
          
Bài 3 Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường hai hàng hóa
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
18 3 , 12 2
2 4 2 3
d d
s s
Q p p Q p p
Q p Q p
     
     
Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng
Bài 4 Xét mô hình kinh tế vĩ mô:
0 0 1 1; 60 0,7 ; (1 )Y C I G C Y Y T Y      
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 =140 (triệu 
dollar) và thuế xuất nhập t = 40%
ĐS: Y=500
Bài 5 Quan hệ trao đổi của 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng 
sau (Đơn vị triệu USD)
Ngành cung
ứng sản phẩm
(Out put)
Ngành ứng dụng sản phẩm
(Out put)
Cầu
cuối
cùng
1 2 3 4
1 80 20 110 320 160
2 200 50 90 120 140
3 220 110 30 40 0
4 60 140 160 240 400
Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật 
(tính xấp xỉ đến 3 chữ số thập phân)
ĐS: x1= 600, x2 =600, x3 = 400, x4 = 1000.
0,133 0,033 0, 275 0,230
0,333 0,083 0, 225 0,120
0,367 0,183 0,075 0,040
0,100 0,233 0, 400 0,240
A
 
 
 
 
 
 
126
Bài 6 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và véc tơ cầu cuối cùng B, hãy xác định
mức tổng cầu và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản
xuất đối với mỗi ngành.
1.
0,1 0,3 170
,
0,5 0,2 280
A B       
   
2.
0,2 0,3 0,2 150
0,4 0,1 0,3 200
0,3 0,5 0,2 210
A B
   
       
      
ĐS: a) x1 = 358,96; x2 = 591,21.
Chi phí đầu vào: c1 = 231,58; c2 = 295,61.
3.x1 = 879,50; x2 = 1023,85; x3 = 1232,22
Chi phí đầu vào: c1 = 791,55; c2 = 921,465; c3 = 862,554
Bài 7 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và véc tơ cầu cuối cùng B,hãy xác định
mức tổng cầu và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào sản xuất
đối với mỗi ngành.
0,4 0,3 0,1 140
0,2 0,2 0,3 , 220
0,2 0,4 0, 2 180
A B
   
       
      
Tính mức tổng cầu mới khi cầu cuối cùng đối với ngành 1 tăng thêm 30, đối với
ngành 2 và 3 thi giảm đi tương ứng 15 và 35.
ĐS: x1 = 743,24; x2 = 756,76; x3 = 789,19
Chi phí đầu vào: c1 = 584,592; c2 = 681,084; c3 = 473,514
Tổng cầu mới: x1 = 767,79; x2 = 723,88; x3 = 735.14
127
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình
toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.
[2] Đỗ Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM.
[3] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD.
[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật 
[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP.
[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM
128