Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Đạo hàm và vi phân

h-Louis Lagrange (1736-1813) là người Anh-Ý.
Ví dụ: |arctana – arctanb|  |a – b| (a, b  ℝ)



f(b) f(a)
f '(c)
b a
18
v1.0018112205
2.3.4. ĐỊNH LÝ CAUCHY
• Giả sử các hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b), g’(x)  0, x  (a,b).
Khi đó tồn tại điểm c  (a,b) sao cho:
• Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy (với g(x) = x).



f '(c) f(b) f(a)
g'(c) g(b) g(a)
19
v1.0018112205
2.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO
2.4.1 Đạo hàm cấp cao
2.4.2 Vi phân cấp cao
20
v1.0018112205
2.4.1. ĐẠO HÀM CẤP CAO
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x).
• Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai. Ký hiệu là: y’’ = f’’(x).
y’’ = f’’(x) = (f’(x))’
• Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là: f(n)(x)
f(n)(x) = (f(n-1)(x))’
Ví dụ:     
 
  
  
(n) n(n) nx x
n 1
1 ( 1) n!
a a lna
x a (x a)
21
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Đạo hàm cấp n của hàm số bằng:
• Đáp án đúng là:
• Vì: Ta có công thức
Áp dụng với a = 1, b = 2
22


1
f(x)
1 2x



n
n 1
( 1) n!
A.
(2x 1)

n
n 1
2 n!
B.
(2x 1)



n n
n 1
( 1) 2 n!
C.
(2x 1)


n n
n
( 1) 2 n!
D.
(2x 1)
n n n
n 1
1 1 n a
ax b ax b 
 
 
  
( )
( ) !
( )



n n
n 1
( 1) 2 n!
C.
(2x 1)
v1.0018112205
2.4.2. VI PHÂN CẤP CAO
• Định nghĩa: Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp (n-1) của hàm số đó.
Ký hiệu là: dny, dnf(x)
• Vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là
Ví dụ: Vi phân cấp n của hàm số y = 2x là
 n n 1d f(x) d d f(x)
n (n) nd f(x) f (x)(dx)
  n n x x n nd f(x) d 2 2 (ln2) (dx)
23
v1.0018112205
2.5. CÔNG THỨC TAYLOR VÀ CÔNG THỨC MACLAURIN
2.5.1 Công thức Taylor
2.5.2 Công thức Maclaurin
24
v1.0018112205
2.5.1. CÔNG THỨC TAYLOR
Định lý: Cho hàm số f(x) có các đạo hàm đến cấp n liên tục trong đoạn [a,b] và có đạo hàm cấp n+1 trong
khoảng (a,b). Khi đó tồn tại c  (a,b) sao cho với x0  (a,b) và với mọi x  (a,b) ta có:
Với c = x0 + (x – x0), 0 <  < 1
Brook Taylor (1685-1731) là một nhà toán học người Anh, đưa ra công thức Taylor năm 1712.

       

(n) (n 1)
n n 10 0
0 0 0 0
f '(x ) f (x ) f (c)
f(x) f(x ) (x x ) ... (x x ) (x x )
1! n! (n 1)!
25
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho f(𝑥) là một đa thức bậc 4, biết f(2) = –1, f’(2) = 0, f”(2) = 2, f’”(2) = –12, f(4)(2) = 24. Tính f'(0) .
A. –60
B. 60
C. 30
D. –30
• Đáp án đúng là: –60
• Vì: Khai triển Taylor tại x = 2, ta được
Do đó,
26
4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
f 2 f 2 f 2 f 2
f x f 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1 2 3 4
0 2 12 24
1 x 2 x 2 x 2 x 2
1 2 3 4
1 x 2 2 x 2 x 2
        

         
       
( )'( ) ''( ) '''( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
! ! ! !
( ) ( ) ( ) ( )
! ! ! !
( ) ( ) ( )
2 3f x 2 x 2 6 x 2 4 x 2 f 0 4 24 32 60            / /( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v1.0018112205
2.5.2. CÔNG THỨC MACLAURIN
• Trong công thức Taylor, khi x0 = 0  (a,b) ta có khai triển
Công thức trên gọi là công thức khai triển Maclaurin.
• Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp
Thay x bởi –x vào công thức trên ta có:



          
  
n 1
2 n n n 1
n 1
1 x
1 x x ... ( 1) x ( 1) ; 0 1
1 x (1 x)
 




        
  
        

n 1
2 n
n 1
2 n x
x n 1
1 x
1 x x ... x ; 0 1
1 x (1 x)
x x x e
e 1 ... x ; 0 1.
1! 2! n! n 1 !

      

(n) (n 1)
n n 1f '(0) f (0) f ( x)f(x) f(0) x ... x x , x (a,b)
1! n! (n 1)!
27
v1.0018112205
2.6. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.6.2 Sự biến thiên của hàm số
2.6.3 Cực trị của hàm số
2.6.4
Liên hệ với đạo hàm cấp hai và tính lồi lõm của 
hàm số
28
2.6.1 Tính các giới hạn dạng vô định
v1.0018112205
2.6.1. TÍNH CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
Quy tắc L’Hospital
• Quy tắc này cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử các dạng vô định và khi tính giới hạn của hàm số.
• Định lý: Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện:
 Giới hạn có dạng vô định hoặc , tức là hai hàm số u(x) và v(x) cùng có giới hạn 0 hoặc cùng
có giới hạn vô cùng.
 Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn). Khi đó
Ví dụ: Tính


x a
u(x)
lim
v(x)
0
0
x a
u'(x)
lim
v '(x)  

x a x a
u(x) u'(x)
lim lim .
v(x) v '(x)
 
 x
3 2x 0 x
arcsinx x e
lim lim
x x
0
0


29
v1.0018112205
2.6.2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Định lý: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b). Khi đó:
 Nếu f’(x)>0, (f’(x)<0) tại mọi điểm x  (a,b) thì hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trong khoảng
(a,b).
 Nếu f’(x) = 0 tại mọi điểm x  (a,b) thì f(x) nhận giá trị không đổi trong khoảng (a,b).
• Ví dụ 1: Hàm số y = arctanx là hàm số tăng trên ℝ
• Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
     

   
2x
a) x ln(x 1) x x 0
2
b) arcsinx arccos x x
2
30
v1.0018112205
2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Khái niệm cực trị địa phương
• Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm số nhận giá trị cực đại (giá trị
cực tiểu) tại điểm x0  (a,b) nếu tồn tại số δ > 0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức f(x) f(x0)) luôn
được thỏa mãn khi 0 < |x – x0| < δ.
• Điểm x0 mà tại đó hàm số f(x) nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu)
của nó. Điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
31
v1.0018112205
2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo)
Điều kiện cần của cực trị
• Định lý:
Nếu hàm số f(x) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x0  (a,b) và tại đó hàm số có đạo hàm thì: f’(x0) = 0.
• Nhận xét:
Định lý cho biết hàm số f(x) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm thuộc một trong hai loại sau:
 Điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu (gọi là điểm dừng);
 Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Các điểm thuộc một trong hai loại trên được gọi chung là điểm tới hạn của hàm số. Để tìm cực trị của hàm
số trước hết ta tìm các điểm tới hạn (giải điều kiện cần), sau đó dùng một trong các điều kiện đủ dưới đây
để kiểm tra từng điểm tới hạn.
32
v1.0018112205
2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo)
Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp một
• Định lý: Giả sử x0 là một điểm tới hạn của hàm số f(x) và hàm số f(x) có đạo hàm trong một lân cận
(x0 – δ, x0 + δ) (có thể trừ tại x0). Khi đó:
 Nếu qua điểm x0 từ trái qua phải, đạo hàm f’(x) đổi dấu từ + sang – (từ – sang +) thì hàm số f(x) đạt cực
đại (cực tiểu) tại điểm đó.
 Nếu qua x0 đạo hàm f’(x0) không đổi dấu thì hàm số không đạt cực trị tại điểm đó.
• Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số
 
  
 
2 x
3
a) f(x) (x 3)e
b) g(x) ln(x 3) arctanx
c) h(x) 24lnx x
33
v1.0018112205
2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo)
Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp cao
Gọi x0 là một điểm dừng của hàm số f(x).
Định lý: Giả sử tồn tại số tự nhiên n≥ 2 sao cho f'(x0) = f''(x0) = ... = f
(n-1)(x0) = 0 và f
(n)(x0) ≠ 0.
Khi đó:
• Nếu n là số chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x)
 x0 là điểm cực đại nếu f
(n)(x0) < 0;
 x0 là điểm cực tiểu nếu f
(n)(x0) > 0.
• Nếu n lẻ thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).
34
v1.0018112205
2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo)
Bài toán cực trị toàn thể
• Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì trên đoạn đó hàm số có giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ
nhất (GTNN).
• Nếu hàm số đạt GTLN (GTNN) tại một điểm x0 bên trong khoảng (a,b) thì f(x0) là một giá trị cực đại (cực
tiểu). Ngoài ra, các giá trị tại đầu mút a, b cũng có thể là GTLN hoặc GTNN của hàm số.
• Như vậy, để tìm GTLN (GTNN) của hàm số f(x), trước hết ta phải tìm tất cả các điểm tới hạn. Sau đó so
sánh các giá trị đó cùng với các giá trị f(a) và f(b) để chọn ra số lớn nhất, số nhỏ nhất.
35
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Hàm số y = 2sin𝑥 + cos2𝑥 có mấy điểm cực trị trên đoạn [0,2]?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
• Đáp án đúng là: 4
• Vì: Ta có
Hơn nữa, ta nhận thấy khi 𝑥 đi qua các điểm này thì y’ đổi dấu nên chúng đều là các điểm cực trị.
36
/
/
y 2cosx 2sin(2x) 2cosx(1 2sin x)
3
cosx 0 x ;x
2 2
y 0 1
5sin x
x ;x2
6 6
   
 
   
   
      
v1.0018112205
2.6.4. LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM CẤP HAI VÀ TÍNH LỒI LÕM CỦA HÀM SỐ
a. Liên hệ với đạo hàm cấp hai
Định lý:
Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a,b).
Khi đó nếu f"(x) ≥ 0 thì hàm số f(x) lồi trên (a,b); nếu f"(x) ≤ 0 thì hàm số f(x) lõm trên (a,b).
Sử dụng định lý trên ta có thể xác định các khoảng lồi, lõm của hàm số thông qua việc xét dấu của đạo hàm
cấp hai.
37
v1.0018112205
2.6.4. LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM CẤP HAI VÀ TÍNH LỒI LÕM CỦA HÀM SỐ (tiếp theo)
b. Tính lồi lõm của hàm số
Điểm uốn của đồ thị hàm số
• Mệnh đề: Nếu hàm f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a,b), tại x0  (a,b) đạo hàm f"(x0) = 0 và nếu f"(x)
đổi dấu khi x đi qua điểm x0 thì x0 là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x).
• Chú thích: Khẳng định trên cũng đúng khi f"(x0) không tồn tại, nhưng f"(x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0.
Ví dụ: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
  xf(x) (x 1)e
38
v1.0018112205
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
• P là đơn giá, Q = Q(P) là hàm sản lượng,
• R = P.Q là hàm doanh thu, C = C(Q) là hàm chi phí,
•  = R - C là hàm lợi nhuận.
• Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí C = Q3 – 19Q2 + 333Q + 10.
Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất?
Giải:
• Ta có Q = 300 – P, suy ra P = 300 – P
• Do đó doanh thu R = PQ = (300 – Q)Q, lợi nhuận là:
 = R – C = (300 – Q)Q – (Q3 – 19Q2 + 333Q + 10) = – Q3 + 18Q2 – 33Q – 10
’(Q) = –3Q2 + 36Q – 33; ’(Q) = 0  Q = 1 hoặc Q = 11
Mặt khác ”(Q) = –6Q + 36; ”(1) = 30 > 0; ”(11) = –30 < 0
Vậy  đạt cực đại khi Q = 11, max = (11) = 474
39
v1.0018112205
TỔNG KẾT BÀI HỌC
Trong bài này chúng ta đã nghiên cứu bốn vấn đề là:
• Đạo hàm, vi phân của hàm số;
• Các định lý cơ bản về hàm khả vi;
• Khai triển Taylor, Maclaurin;
• Ứng dụng của đạo hàm.
40