Bài giảng Toán A2 - Chương 4: Trị riêng. Vector riêng - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán cao cấp A2
Nguyễn Anh Thi
2015
Chương 4
TRỊ RIÊNG-VECTOR RIÊNG
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn(R). Ta nói hệ số λ ∈ R là một trị riêng của ma trận
A nếu có một vector khác không x ∈ Rn sao cho
Ax = λx
hay nói cách khác
(A− λIn)x = 0
x được gọi là một vector riêng của A tương ứng với λ.
Ví dụ
λ = 3 là một giá trị riêng của ma trận
(
3 0
8 −1
)
tương ứng với
vector riêng x =
(
1
2
)
Trị riêng λ của một ma trận A là nghiệm của phương trình đặc
trưng
det(A− λI) = 0
Khai triển của det(A− λI) là một đa thức bậc n và được gọi là đa
thức đặc trưng của A
p(λ) = det(A− λI) = λn + c1λn−1 + · · ·+ cn
Một ma trận vuông cấp n có nhiều nhất n trị riêng.
Ví dụ
Tìm các trị riêng của ma trận 0 1 00 0 1
−4 17 8

Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n, các vector riêng của A tương
ứng với trị riêng λ là các vector khác không x trong không gian
nghiệm của hệ phương trình
(A− λI)x = 0
Không gian nghiệm này được gọi là không gian riêng E(λ) của A
tương ứng với λ.
Ví dụ
Tìm cơ sở cho các không gian riêng của ma trận
A =
 3 −2 0−2 3 0
0 0 5

Đa thức đặc trưng
PA(λ) = |A− λI3| = −(λ− 5)2(λ− 1)
Trị riêng
PA(λ) = 0 ⇔ λ1 = 5( bội 2), λ2 = 1( bội 1)
Không gian riêng
I Với λ1 = 5, không gian riêng E(5) là không gian nghiệm của
hệ
(A− 5I3)X = 0 ⇔
 −2 −2 0−2 −2 0
0 0 0

Giải ra ta được tập nghiệm
E(5) = {(−t, t, s)|t, s ∈ R} = {(−t, t, 0) + (0, 0, s)|t, s ∈ R}
= {t(−1, 1, 0) + s(0, 0, 1)|t, s ∈ R}
Suy ra E(5) có số chiều là dimE(5) = 2 với cơ sở
B1 = {(−1, 1, 0); (0, 0, 1)}
I Với λ2 = 1, không gian E(1) là không gian nghiệm của hệ
(A− I3)X = 0 ⇔
 2 −2 0−2 2 0
0 0 4
X = 0
Giải ra ta được tập nghiệm
E(1) = {(t, t, 0)|t ∈ R} = {t(1, 1, 0)|t ∈ R}
Suy ra E(1) có số chiều là dimE(1) = 1 với cơ sở
B2 = {(1, 1, 0)}
Định nghĩa
Cho A,B ∈ Mn(R). A được gọi là đồng dạng với B nếu tồn tại ma
trận khả nghịch P sao cho A = P−1BP.
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn(R). Ma trận A được gọi là chéo hóa được nếu nó
đồng dạng với ma trận đường chéo.
Thuật toán chéo hóa ma trận
Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng PA(λ) = det(A− λI).
I Nếu PA(λ) không phân rã thì A không chéo hóa được và thuật
toán kết thúc.
I Ngược lại, chuyển sang bước tiếp theo.
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm λ1, λ2, . . . , λp của PA(λ) và các số
bội m1,m2, . . . ,mp của chúng. Đối với mỗi i ∈ 1, p, tìm số chiều
của không gian nghiệm E(λi) của hệ phương trình (A− λiI)X = 0
I Nếu tồn tại một i ∈ 1, p sao cho dimE(λi) < mi thì A không
chéo hóa được và thuật toán kết thúc.
I Ngược lại, A chéo hóa được và chuyển sang bước tiếp theo.
Bước 3: Với mỗi i ∈ 1, p tìm một cơ sở Bi cho E(λi), gọi P là ma
trận có được bằng cách dựng các vector trong Bi thành các cột.
Khi đó ma trận P làm chéo A và P−1AP là ma trận đường chéo.
diag(λ1, . . . , λ1, . . . , λp, . . . , λp)
trong đó λi xuất hiện mi lần với mọi i.
Ví dụ
Cho ma trận thực A =
 3 3 21 1 −2
−3 −1 0
. Tìm trị riêng và
vector riêng của A. Xác định cơ sở, số chiều của các không gian
riêng tương ứng.
Đa thức đặc trưng
PA(λ) =
 3− λ 3 21 1− λ −2
−3 −1 −λ
 = −(λ− 4)(λ2 + 4)
Trị riêng
PA(λ) = 0 ⇔ λ = 4.
Do đó ma trận A chỉ có một trị riêng λ = 4. Không gian riêng
E(4) là không gian nghiệm của hệ (A− 4I3)X = 0.
(A− 4I3) =
 −1 3 21 −3 −2
−3 −1 −4
 −→
 −1 3 20 1 1
0 0 0

Ta có
E(4) = {(x1, x2, x3) = (−t,−t, t)|t ∈ R} = {t(−1,−1, 1)|t ∈ R}.
E(4) có cơ sở là B = {−1,−1, 1}.
Ví dụ
Chéo hóa ma trận thực A =
 1 3 3−3 −5 −3
3 3 1

Đa thức đặc trưng PA(λ) = |A− λI3| = −(λ− 1)(λ+ 2)2.
Trị riêng PA(λ) = 0 ⇔ λ1 = 1( bội 1), λ2 = −2( bội 2)
Không gian riêng
I Với λ1 = 1, không gian riêng E(1) là không gian nghiệm của
hệ phương trình (A− I3)X = 0.
(A− I3) =
 0 3 3−3 −6 −3
3 3 0
 −→
 1 2 10 −3 −3
0 0 0

Giải ra ta được tập hợp nghiệm
E(1) = {(x1, x2, x3) = (t,−t, t)|t ∈ R} = {t(1,−1, 1)|t ∈ R}.
Suy ra E(1) có dimE(1) = 1 với cơ sở B1 = {u1 = (1,−1, 1)}.
Ví dụ
Chéo hóa ma trận thực A =
 1 3 3−3 −5 −3
3 3 1

Đa thức đặc trưng PA(λ) = |A− λI3| = −(λ− 1)(λ+ 2)2.
Trị riêng PA(λ) = 0 ⇔ λ1 = 1( bội 1), λ2 = −2( bội 2)
Không gian riêng
I Với λ1 = 1, không gian riêng E(1) là không gian nghiệm của
hệ phương trình (A− I3)X = 0.
(A− I3) =
 0 3 3−3 −6 −3
3 3 0
 −→
 1 2 10 −3 −3
0 0 0

Giải ra ta được tập hợp nghiệm
E(1) = {(x1, x2, x3) = (t,−t, t)|t ∈ R} = {t(1,−1, 1)|t ∈ R}.
Suy ra E(1) có dimE(1) = 1 với cơ sở B1 = {u1 = (1,−1, 1)}.
I Với λ2 = −2, không gian riêng E(−2) là không gian nghiệm
của hệ phương trình (A+ 2I3)X = 0.
(A+ 2I3) =
 3 3 3−3 −3 −3
3 3 3
 −→
 1 1 10 0 0
0 0 0

Giải ra ta được tập hợp nghiệm là
E(−2) = {(x1, x2, x3) = (−t− s, t, s)|t, s ∈ R} = {(−t, t, 0) +
(−s, 0, s)|t, s ∈ R} = {t(−1, 1, 0) + s(−1, 0, 1)|t, s ∈ R}.
Suy ra E(−2) có chiều dimE(−2) = 2 với cơ sở
B2 = {u2 = (−1, 1, 0), u3 = (−1, 0, 1)}.
Vì các không gian E(λi) của A có số chiều bằng số bội của các trị
riêng tương ứng nên A chéo hóa được. Lập ma trận P bằng cách
lần lượt dựng các vector trong B1,B2 thành các cột
P =
 1 −1 −1−1 1 0
1 0 1

Khi đó P−1AP =
 1 0 00 −2 0
0 0 −2
.