Bài giảng Toán A2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Huỳnh Văn Kha
Bài giảng Toán A2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Huỳnh Văn Kha
Nội dung
Các khái niệm chung
Phương pháp Gauss
Hệ thuần nhất
Hệ Cramer
Tóm tắt nội dung Bài giảng Toán A2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Huỳnh Văn Kha, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút "TẢI VỀ" ở trên
Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10 Nội dung 1 Các khái niệm chung 2 Phương pháp Gauss 3 Hệ thuần nhất 4 Hệ Cramer Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 1 / 10 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm Trong đó: xi là các ẩn số, aij là các hệ số, bj là các hệ số tự do Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 2 / 10 Đặt: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn , X = x1 x2 ... xn , B = b1 b2 ... bm Thì hệ được viết lại: AX = B . Ta gọi: A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng Một nghiệm là 1 vector (c1, · · · , cn) ∈ Rn mà khi thay x1 = c1, . . . , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 3 / 10 Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm. Ví dụ: Giải các hệ sau 1) −2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4 x1 + x2 + x4 = 2 −x1 + x2 + 4x3 = −1 −x1 − 2x3 = −2 − x2 − 2x3 + x4 = 4 2) x1 + 2x2 − x3 = −2 −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2 −x1 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 4 / 10 3) x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 24x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 2x1 + 7x2 − x3 = −1 Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có: Nếu r(A) < r ( A ) thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r ( A ) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) = r ( A ) < n thì hệ vô số nghiệm Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 5 / 10 4) 3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18 2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13 −x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11 2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13 −x1 − 2x3 + 3x4 = 8 Nếu A ∈Mn thì: hệ có nghiệm duy nhất⇔ r(A) = n⇔ det(A) 6= 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 6 / 10 Hệ thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả các hệ số tự do bằng 0 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường. Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau: 1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm thường ⇔ r(A) = số ẩn 2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < số ẩn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 7 / 10 Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Nếu A ∈Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: r(A) < n⇔ det(A) = 0. Ví dụ: giải hệ thuần nhất sau x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 8 / 10 Hệ Cramer Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0 Cách giải hệ Cramer AX = B : PP1: Dùng phương pháp Gauss PP2: X = A−1B PP3: Dùng công thức Cramer Thay B vào cột thứ i của A, gọi nó là ma trận Ai . Thì: xi = detAi detA Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 9 / 10 Ví dụ: 1) Giải hệ sau x1 + 3x2 + 7x3 = 12x1 + x2 + 2x3 = 0−7x1 + x2 + 4x3 = 1 2) Giải và biện luận hệ sau theo tham số m mx1 + x2 + x3 = 1x1 + mx2 + x3 = m x1 + x2 + mx3 = m 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 10 / 10
File đính kèm:
- bai_giang_toan_a2_chuong_2_he_phuong_trinh_tuyen_tinh_huynh.pdf