Bài giảng Toán 1 - Chương 2: Hàm số và liên tục - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng Toán 1
Giảng viên
Nguyễn Anh Thi
2016
Chương 2
HÀM SỐ VÀ LIÊN TỤC
Hàm số
Định nghĩa
Cho hai tập hợp X, Y ⊂ R. Hàm số f xác định trên X, nhận giá trị
trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số
y duy nhất thuộc Y. Ta viết
f : X −→ Y
x 7−→ y = f(x)
Nghĩa là với mỗi x ∈ X, tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f(x).
Ví dụ
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = x2
Định nghĩa
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a và viết
lim
x→a f(x) = L, nếu với mọi  > 0 cho trước, ta có thể tìm được
δ() > 0 sao cho |x− a| < δ() thì |f(x)− L| < . Dùng ký hiệu
toán, ta có thể viết
∀ > 0,∃δ() > 0,∀x ∈ D, |x− a| < δ()⇒ |f(x)− L| < 
Định nghĩa
Giới hạn của f(x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu
∀ > 0,∃δ() > 0 : a− δ() < x < a⇒ |f(x)− L| < 
Giới hạn của f(x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu
∀ > 0,∃δ() > 0 : a < x < a + δ()⇒ |f(x)− L| < 
Định lý
lim
x→a f(x) = L⇔ limx→a+ f(x) = limx→a− f(x) = L
Ví dụ
Tính
1. lim
x→0+
|x|
x ;
2. lim
x→0−
|x|
x ;
3. lim
x→0
|x|
x ;
Định nghĩa
I lim
x→a f(x) =∞ nếu: ∀M ∈ R,∃δ > 0 :
0 M.
I lim
x→a f(x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R,∃δ > 0 :
0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) < N.
I lim
x→∞ f(x) = L nếu: ∀ > 0,∃M ∈ R :
x > M⇒ |f(x)− L| < .
I lim
x→−∞ f(x) = L nếu: ∀ > 0,∃N ∈ R :
x < N⇒ |f(x)− L| < .
Tương tự cho các giới hạn
limx→±∞ f(x) = ±∞ và limx→a± f(x) = ±∞
Tính chất
Nếu tồn tại lim
x→a f(x) và limx→a g(x) thì
1. lim
x→a cf(x) = c limx→a f(x).
2. lim
x→a(f(x) + g(x)) = limx→a f(x) + limx→a g(x)
3. lim
x→a f(x)g(x) = limx→a f(x) limx→a g(x)
4. lim
x→a
f(x)
g(x) =
lim
x→a f(x)
lim
x→a g(x)
5. lim
x→a[f(x)]
n = [lim
x→a f(x)]
n
6. lim
x→a c = c và limx→a x = a
7. lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a f(x) (limx→a f(x) > 0 nếu n chẵn.)
Nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm trong miền xác
định của nó thì
lim
x→a f(x) = f(a)
Ví dụ
Tính các giới hạn
1. lim
x→−2
(x2 − x− 2)
2. lim
x→4
x2+
√
x−1
x2−1
Mệnh đề
Nếu f(x) = g(x),∀x 6= a thì lim
x→a f(x) = limx→a g(x).
Ví dụ
I lim
x→1
x2−1
x−1
I lim
t→0
√
t2+9−3
t2
Mệnh đề (giới hạn kẹp)
Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại trừ tại a) và
lim
x→a f(x) = limx→a h(x) = L thì khi đó: limx→a g(x) = L
Chú ý
lim
x→a f(x) = 0⇔ limx→a |f(x)| = 0.
Ví dụ
lim
x→0
x sin pix .
Định nghĩa
Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng giác ngược được
gọi là các hàm hàm sơ cấp cơ bản. Tổng, hiệu, tích, thương, hợp
nối các hàm sơ cấp cơ bản được gọi là các hàm sơ cấp.
Mệnh đề
Nếu a thuộc miền xác định của hàm sơ cấp f thì:
lim
x→a f(x) = f(a)
Tính toán với ±∞-dạng vô định
Khi gặp giới hạn có dạng ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R)
1. a + (±∞) = ±∞ và (±∞) + (±∞) = (±∞).
2. a.(±∞) =
{ ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞
∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞
3. a±∞ = 0,
1
0 =
{
+∞, nếu mẫu dương
−∞, nếu mẫu âm
4. Các biểu thức có dạng:
∞−∞, 0.∞, 00 ,
∞
∞
là các dạng vô định.
Ví dụ
1. lim
x→∞(x
2 − x)
2. lim
x→0
1
x2
3. lim
x→0
1
x
4. lim
x→1+
1
1−x
5. lim
x→1−
1
1−x
6. lim
x→∞
√
x− 3√x−√x
Tính toán với ±∞-dạng vô định
5. Với α > 0 : (+∞)α = +∞
6. Với a > 1 : a+∞ = +∞ và a−∞ = 0
7. Với a > 1 : loga(+∞) = +∞ và loga(0+) = −∞
8. sin(±∞), cos(±∞), tan(±∞), cot(±∞) đều không tồn tại.
tan(pi2
−) = +∞, tan(−pi2+) = −∞
cot(0+) = +∞, cot(pi−) = −∞
9. arctan(+∞) = pi2 , arctan(−∞) = −pi2
10. Các biểu thức có dạng:
∞0, 00, 1∞
là các dạng vô định.
Một số giới hạn quan trọng
1. lim
x→0
sin x
x = 1;
2. lim
x→0
1−cos x
x2 =
1
2 ;
3. lim
x→0
tan x
x = 1;
4. lim
x→+∞ e
x = +∞ và lim
x→−∞ e
x = 0;
5. lim
x→+∞ ln x = +∞ và limx→0 ln x = −∞
6. lim
x→0
ln(1+x)
x = 1;
7. lim
x→0
ex−1
x = 1;
8. Với mọi k ∈ N, lim
x→+∞
ex
xk = +∞; limx→−∞ x
kex = 0;
9. Với mọi k ∈ N, lim
x→+∞
ln x
xk = 0; limx→0 x
k ln x = 0.
Ví dụ
1. lim
x→0
ln sinxx
2. lim
x→∞ cos e
−x2
3. lim
x→1−
[sin(e
1
1−x )]
4. lim
x→1+
[sin(e
1
1−x )]
5. lim
x→0
(1 + x) 1x
6. lim
x→0
(cos x)
1
x2
Bài tập
Tính các giới hạn của f(x) khi x→ a
1. lim
x→4
x2−16
x−4 ;
2. lim
x→0
1
x (
1
2+x − 12);
3. lim
x→0
1
x
(
1
(4+x)2 − 116
)
;
4. lim
x→1
x10−1
x−1 ;
5. lim
x→0
2ln x2 ;
6. lim
x→0
1+cos x
1+(ln x2)2 ;
7. lim
x→0+
3−1/x;
8. lim
x→0−
3−1/x;
9. lim
x→0
x(ln x)100.
Hàm liên tục
Định nghĩa
Hàm f được gọi là liên tục tại a ∈ D nếu ứng với mọi  > 0, tồn tại
δ > 0 sao cho |f(x)− f(a)| <  với mọi x ∈ D, |x− a| < δ.
Ta có thể nói cách khác
Hàm số f được nói là liên tục tại x ∈ D nếu f xác định tại a, giới
hạn khi x→ a của f tồn tại, và lim
x→a f(x) = f(a).
Nếu f không liên tục tại a ta nói f gián đoạn tại a .
Định nghĩa
Hàm số f được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng đó.
Mệnh đề
Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.
Ví dụ
Tìm a để hàm số
1. f(x) =
{
x2−x
x2−1 , nếu x 6= 1
a, nếu x = 1
liên tục tại 1.
2. f(x) =
{
ln |x− 2|, nếu x 6= 2
a, nếu x = 2 liên tục tại 2.
Tính chất
1. Nếu f và g đều liên tục tại x thì các hàm sau cũng liên tục tại x:
f± g, cf, f.g, fg với g(a) 6= 0
2. Nếu f liên tục tại b và lim
x→a g(x) = b thì:
lim
x→a f(g(x)) = f(b).
3. Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp nối
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) liên tục tại a.
Hàm liên tục trên khoảng đóng
Định lý (Định lý giá trị trung gian)
Giả sử f liên tục trên khoảng [a, b], và N là giá trị bất kỳ sao cho
f(a) < N < f(b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = N.