Bài giảng Tin học lý thuyết - Chương 5: Văn phạm phi ngữ cảnh (Context Free Grammar)

dẫn xuất khác nhau cho từ aaabb: S  AB aAB  aaAB  aaaB  aaabB  aaabb S  AB AbB  Abb  aAbb  aaAbb  aaabb S  AB aAB  aAbB  aAbb  aaAbb  aaabb S  AB aAB  aaAB  aaAbB  aaabB  aaabb Dẫn xuất (a) là dẫn xuất trái nhất, (b) là dẫn xuất phải nhất Các dẫn xuất tuy khác nhau, nhưng có cùng một cây dẫn xuất Văn phạm mơ hồ Khái niệm: một văn phạm phi ngữ cảnh G được gọi là văn phạm mơ hồ (ambiguity) nếu nó có nhiều hơn một cây dẫn xuất cho cùng một chuỗi w. Ví dụ: xét văn phạm G với luật sinh: E  E + E E * E (E) a Với chuỗi a + a * a, ta có thể vẽ đến 2 cây dẫn xuất khác nhau Điều này có nghĩa là biểu thức a + a * a có thể hiểu theo 2 cách khác nhau: (a + a) * a hoặc a + (a * a) Văn phạm mơ hồ Khắc phục văn phạm mơ hồ: Quy định rằng các phép cộng và nhân luôn được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải (trừ khi gặp ngoặc đơn) 	E  E + T  E * T  T 	T  (E)  a Quy định rằng khi không có dấu ngoặc đơn ngăn cách thì phép nhân luôn được thực hiện ưu tiên hơn phép cộng 	E  E + T  T 	T  T * F  F 	F  (E)  a Giản lược văn phạm phi ngữ cảnh Trong CFG có thể chứa các yếu tố thừa: Các ký hiệu không tham gia vào quá trình dẫn xuất ra chuỗi ký hiệu kết thúc Luật sinh dạng A  B (làm kéo dài chuỗi dẫn xuất)  giản lược văn phạm nhằm loại bỏ những yếu tố vô ích, nhưng không được làm thay đổi khả năng sản sinh ngôn ngữ của văn phạm Mỗi biến và mỗi ký hiệu kết thúc của văn phạm đều xuất hiện trong dẫn xuất của một số chuỗi trong ngôn ngữ Không có luật sinh A  B (với A, B đều là biến) Nếu ngôn ngữ không chấp nhận chuỗi rỗng ε thì không cần luật sinh A  ε . Các ký hiệu vô ích Khái niệm: một ký hiệu X được gọi là có ích nếu có một dẫn xuất S * X* w với ,  là các chuỗi bất kỳ và w  T*.  có 2 đặc điểm cho ký hiệu có ích X phải dẫn ra chuỗi ký hiệu kết thúc X phải nằm trong dẫn xuất từ S Các ký hiệu vô ích Bổ đề 1: (loại bỏ các biến không dẫn ra chuỗi ký hiệu kết thúc) 	Cho CFG G(V, T, P, S) với L(G) ≠ Ø, có một CFG G'(V', T', P', S) tương đương sao cho mỗi A  V' tồn tại w  T* để A * w Giải thuật tìm V': 	Begin 	(1) OldV' := ; 	(2) NewV' := { A A  w với w  T* }; 	(3) While OldV'  NewV' do 	 begin 	(4) OldV' := NewV'; 	(5) NewV' := OldV'  {A  A   với   (T  OldV')* } 	 	end; 	(6) V' := NewV'; 	End; Các ký hiệu vô ích Bổ đề 2: (loại bỏ các biến không được dẫn ra từ ký hiệu bắt đầu) 	Cho CFG G(V, T, P, S), ta có thể tìm được CFG G'(V', T', P', S) tương đương sao cho mỗi X  (V'  T') tồn tại ,   (V'  T')* để S * X Cách tìm: Đặt V' = {S} Nếu A  V' và A 12n là các luật sinh trong P thì Thêm các biến của 1,2, n vào V' Lặp lại cho đến khi không còn biến nào được thêm vào nữa Các ký hiệu vô ích Định lý 5.2: mỗi ngôn ngữ phi ngữ cảnh (CFL) không rỗng được sinh ra từ một văn phạm phi ngữ cảnh (CFG) không có ký hiệu vô ích Ví dụ: xét văn phạm	S → A 	A → aBb | ε 	B → A | cB | cC 	C → AC | BCD 	D → ab Áp dụng bổ đề 1: 	V' = {S, A, B, D} 	S → A 	A → aBb | ε 	B → A | cB 	D → ab Áp dụng bổ đề 2: 	V' = {S, A, B} 	S → A 	A → aBb | ε 	B → A | cB Luật sinh ε Định lý 5.3: (loại bỏ luật sinh A  ε) 	Cho CFG G(V, T, P, S) và L là ngôn ngữ sinh ra bởi G. Khi đó L – {ε} là ngôn ngữ sinh ra bởi CFG G'(V, T, P', S) không có ký hiệu vô ích và không có luật sinh ε. Cách tìm: Bước 1: xác định tập biến rỗng Nullable A  ε 	 A  Nullable B  X1X2...Xn, Xi  Nullable	 B  Nullable Bước 2: xây dựng tập luật sinh P' 	Với mỗi luật sinh A  X1X2...Xn trong P, ta xây dựng luật sinh A 12n với điều kiện: Nếu Xi  Nullable thì i = Xi Nếu Xi  Nullable thì i = Xi ε Không phải tất cả i đều bằng ε Luật sinh ε Ví dụ: loại bỏ luật sinh ε trong văn phạm sau: 	S  AB	 	A  aA ε 	B  bB ε Bước 1: xác định tập biến rỗng Nullable A  ε 	 A  Nullable B  ε 	 B  Nullable S  AB	 S  Nullable Bước 2: xây dựng tập luật sinh P' 	S  AB Aε εB 	A  aA aε 	B  bB bε Chú ý: văn phạm G' không chấp nhận chuỗi rỗng ε như văn phạm G. Để G' tương đương G, ta cần thêm luật sinh S ε vào G'. Luật sinh đơn vị Định lý 5.4: (loại bỏ luật sinh A  B) 	Mỗi CFL không chứa ε được sinh ra bởi CFG không có ký hiệu vô ích, không có luật sinh ε hoặc luật sinh đơn vị. Cách tìm: đặt L=L(G) là CFL không chứa ε và được sinh ra bởi văn phạm G(V, T, P, S). Theo định lý 3, ta có thể loại bỏ tất cả luật sinh ε trong G. Để loại bỏ luật sinh đơn vị, ta xây dựng tập P' mới theo giải thuật: For (mỗi biến A  V) do 	Begin 	Tính ΔA = { B  B  V và A * B } ; 	For (mỗi biến B  ΔA) do 	For (mỗi luật sinh B  thuộc P) do 	If (B  không là luật sinh đơn vị) then 	Thêm luật sinh A  vào P' 	End ; Luật sinh đơn vị Ví dụ: loại bỏ luật sinh đơn vị trong văn phạm 	E  E + T  T 	T  T * F  F 	F  (E)  a Ta có: ΔE = {E, T, F}  thêm vào P' các luật sinh 	E  E + T T * F  (E)  a Tương tự: 	ΔT = {T, F}  thêm vào P' : T  T * F (E)  a 	ΔF = {F}  thêm vào P' : F  (E)  a Dạng chuẩn Chomsky (CNF) Định lý 5.5: một ngôn ngữ phi ngữ cảnh bất kỳ không chứa ε đều được sinh ra bằng một văn phạm nào đó mà các luật sinh có dạng A  BC hoặc A  a, với A, B, C là biến và a là ký hiệu kết thúc. Cách tìm: giả sử CFL L=L(G) với CFG G(V, T, P, S) Bước 1: thay thế tất cả các luật sinh có độ dài vế phải là 1 Áp dụng định lý 4.4 để loại bỏ luật sinh đơn vị và ε Bước 2: thay thế tất cả luật sinh có độ dài vế phải lớn hơn 1 và có chứa ký hiệu kết thúc Bước 3: thay thế các luật sinh mà vế phải có nhiều hơn 2 ký hiệu chưa kết thúc A  X1X2...Xi...Xn a A  X1X2...Ca...Xn Ca  a Dạng chuẩn Chomsky (CNF) Ví dụ: tìm văn phạm có dạng CNF tương đương văn phạm sau: 	S  A  ABA 	A  aA  a  B 	B  bB  b Bước 1: Δs = {S, A, B} , ΔA = {A, B} , ΔB = {B} 	S  aA  a bB  b  ABA 	A  aA  a  bB  b 	B  bB  b Bước 2: thay a bằng Ca và b bằng Cb trong các luật sinh có độ dài vế phải > 1:	S  CaA  a CbB  b  ABA 	A  CaA  a  CbB  b 	B  CbB  b 	Ca  a 	Cb  b Dạng chuẩn Chomsky (CNF) Bước 3: thay thế các luật sinh có độ dài vế phải > 2: 	S  CaA  a CbB  b  AD1 	A  CaA  a  CbB  b 	B  CbB  b 	Ca  a 	Cb  b 	D1  BA Dạng chuẩn Greibach (GNF) Bổ đề 3: (thay thế các luật sinh trực tiếp) 	Cho G(V, T, P, S) là một CFG, đặt A 1B2 là luật sinh trong P và B 12...r là các B - luật sinh; văn phạm G1(V, T, P1, S) thu được từ G bằng cách loại bỏ luật sinh A 1B2 và thêm vào luật sinh A 1121221r2 tương đương G Bổ đề 4: (dùng loại bỏ văn phạm đệ quy trái) 	Đặt G(V, T, P, S) là CFG; A A1A2Ar là tập các A – luật sinh có A là ký hiệu trái nhất của vế phải (luật sinh đệ quy trái). Đặt A 12...s là các A - luật sinh còn lại; G1(V {B}, T, P1, S) là CFG được tạo thành bằng cách thêm biến mới B vào V và thay các A - luật sinh bằng các luật sinh dạng: Thì ta có G1 tương đương G, hay L(G) = L(G1) Dạng chuẩn Greibach (GNF) Định lý 5.6: mỗi CFL bất kỳ không chứa ε được sinh ra bởi một CFG mà mỗi luật sinh có dạng A a với A là biến, a là ký hiệu kết thúc và là một chuỗi các biến (có thể rỗng) Đặt G là CFG sinh ra CFL không chứa ε Bước 1: xây dựng G' có dạng CNF tương đương G Bước 2: đổi tên các biến trong G' thành A1, A2, ..., Am (m ≥1 ) với A1 là ký hiệu bắt đầu. Đặt V = {A1, A2, ..., Am} Bước 3: thay thế luật sinh sao cho nếu Ai Aj thì j > i Nếu j i), Ai a hoặc Bk  với (V  {B1,B2, ...,Bi-1})* Bước 4: thay thế các Ai – luật sinh về đúng dạng (áp dụng bổ đề 3) Bước 5: thay thế các Bk – luật sinh về đúng dạng (bổ đề 3) Dạng chuẩn Greibach (GNF) Giải thuật : (thay thế sao cho Ai Ai thì j > i) 	Begin 	(1) for k := 1 to m do begin 	(2) for j := 1 to k-1 do 	(3)	 for Mỗi luật sinh dạng Ak  Aj do 	 begin 	(4) for Tất cả luật sinh Aj   do 	(5) Thêm luật sinh Ak  ; 	(6) Loại bỏ luật sinh Ak  Aj 	 	 end; 	(7) for Mỗi luật sinh dạng Ak  Ak do 	 begin 	(8) Thêm các luật sinh Bk   và Bk  Bk; 	(9) Loại bỏ luật sinh Ak  Ak 	 	 end; 	(10) for Mỗi luật sinh Ak   trong đó  không bắt đầu bằng Ak do 	(11) Thêm luật sinh Ak  Bk 	 end; 	end; Dạng chuẩn Greibach (GNF) Ví dụ: tìm văn phạm có dạng GNF cho văn phạm G sau: 	A1  A2A1 A2A3 	A2  A3A1 a 	A3  A2A2 b Bước 1: G thỏa CNF Bước 2: ta có V = {A1, A2, A3} Bước 3: ta cần sửa đổi luật sinh A3  A2A2 Áp dụng bổ đề 3: A3  A3A1A2 aA2 A3  A3A1A2 aA2  b Áp dụng bổ đề 4, ta thu được tập luật sinh: 	A1  A2A1 A2A3 	A2  A3A1 a 	A3  aA2  b aA2B  bB 	B  A1A2 A1A2B Dạng chuẩn Greibach (GNF) Bước 4: A3 đã có dạng chuẩn. Thay thế A3 vào A2 : B A1A2 A1A2B 	A3aA2  b aA2B  bB 	A2aA2A1  bA1 aA2BA1  bBA1  a 	A1aA2A1A1  bA1A1 aA2BA1A1  bBA1A1  aA1 	 aA2A1A3  bA1A3 aA2BA1A3  bBA1A3  aA3 Bước 5: thay thế các Bk – luật sinh 	B aA2A1A1A2  bA1A1A2 aA2BA1A1A2  bBA1A1A2  aA1A2 	 aA2A1A3A2  bA1A3A2 aA2BA1A3A2  bBA1A3A2  aA3A2  aA2A1A1A2B bA1A1A2B aA2BA1A1A2B  bBA1A1A2B  aA1A2B 	 aA2A1A3A2B  bA1A3A2B aA2BA1A3A2B  bBA1A3A2B  aA3A2B Bổ đề bơm cho CFL Bổ đề bơm: cho L là một CFL bất kỳ, tồn tại một số n chỉ phụ thuộc vào L sao cho nếu z  L và |z| ≥ n thì ta có thể viết z=uvwxy sao cho: |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ n và i ≥ 0 ta có uviwxiy  L Ví dụ: chứng minh L = {aibici | i ≥ 1} không là CFL Giả sử L là CFL, khi đó tồn tại số n theo bổ đề bơm Xét chuỗi z = anbncn, |z| ≥ n, ta có thể viết z=uvwxy thỏa bổ đề Ta có: vwx anbncn, |vwx| ≤ n nên vwx không thể đồng thời chứa cả ký hiệu a và c (vì giữa a và c có n ký hiệu b) → vx cũng không thể chứa cả ký hiệu a và c. Do |vx| ≥ 1 và trong uvwxy chứa số ký hiệu a, b, c bằng nhau: Nếu vx có chứa ký hiệu a (nên không thể chứa ký hiệu c) thì khi bơm chuỗi vx, số ký hiệu c sẽ không đổi (luôn là n), nhưng số ký hiệu a sẽ thay đổi. Ví dụ: chuỗi uv0wx0y  L vì có số ký hiệu a (ít hơn n) số ký hiệu c (luôn là n) không bằng nhau. Nếu vx không chứa ký hiệu a thì khi bơm chuỗi vx, số ký hiệu a không đổi, nhưng số ký hiệu b (hoặc c) sẽ thay đổi. Tính chất đóng của CFL Định lý 5.7: CFL đóng với phép hợp, phép kết nối và phép bao đóng Kleen. Định lý 5.8: CFL không đóng với phép giao Hệ quả: CFL không đóng với phép lấy phần bù