Bài giảng Tin học lý thuyết - Chương 1: Bổ túc toán

Bổ túc toán Nội dung: Tập hợp Quan hệ Phép chứng minh quy nạp Đồ thị và cây Chương 1: Tập hợp (Set) Ví dụ: D = {Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun} Định nghĩa: Tập hợp là tập các đối tượng không có sự lặp lại Tập các đối tượng rời rạc Không trùng lắp Phần tử Ký hiệu tập hợp Liệt kê phần tử: D = {1, 2, 3} Đặc tả tính chất đặc trưng: D = { x | x là một ngày trong tuần } Một số dạng tập hợp đặc biệt Tập rỗng: Ký hiệu:  hoặc { } Tập hợp con: Ký hiệu: A  B (Ngược lại: A  B ) { 1, 2, 4 }  { 1, 2, 3, 4, 5 } { 2, 4, 6 }  { 1, 2, 3, 4, 5 } Một số dạng tập hợp đặc biệt Tập hợp bằng nhau: Ký hiệu: A = B (Ngược lại: A  B ) { 1, 2 } = { 2, 1 } nhưng { 1, 2, 3 }  { 2, 1 } Tập lũy thừa: Ký hiệu: 2A A = { 1, 2, 3 } thì 2A = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} } Các phép toán trên tập hợp Phần bù (complement): A’ = { x | ‌‌x  A } Phép hợp (Union): A  B = { x | x  A hoặc x  B } Phép giao (intersection): A  B = { x | x A và x  B } Các phép toán trên tập hợp Phép trừ (difference): A \ B = { x | x  A nhưng x  B } Tích Đềcác: A x B = { (a,b) | a  A và b  B } Các phép toán trên tập hợp Ví dụ: cho A = {1, 2} và B = {2, 3} A  B = { 1, 2, 3 } A  B = { 2 } A \ B = { 1 } A x B = { (1,2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3) } 2A = { , {1}, {2}, {1, 2} } R ( A  B ) = aRb miền xác định (domain) 	  miền giá trị (range) Quan hệ S Quan hệ Ví dụ: cho S = {0, 1, 2, 3} Quan hệ ‘thứ tự nhỏ hơn’ L = { (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) } Quan hệ ‘bằng’ E = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) } Quan hệ ‘chẵn lẻ’ P = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} Các tính chất của quan hệ Phản xạ (reflexive): nếu aRa là đúng với aS Đối xứng (symmetric): nếu aRb thì bRa Bắc cầu (transitive): nếu aRb và bRc thì aRc Ví dụ: L không là quan hệ phản xạ hay đối xứng E và P mang tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu Quan hệ tương đương Quan hệ tương đương = Quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu Ví dụ: E và P là quan hệ tương đương L không là quan hệ tương đương Lớp tương đương Nếu R là quan hệ tương đương trên S thì R phân hoạch S thành các lớp tương đương không rỗng và rời nhau: S = S1  S2  … Tính chất: Si  Sj =  Nếu a, b cùng thuộc Si thì aRb đúng Nếu a  Si và b  Sj thì aRb sai Ví dụ: P có 2 lớp tương đương {0, 2} và {1, 3} Bao đóng của quan hệ P-closure = quan hệ nhỏ nhất thỏa các tính chất trong P Bao đóng bắc cầu R+: Nếu (a,b)  R thì (a,b) R+ Nếu (a,b)  R+ và (b,c)  R thì (a,c)  R+ Không còn gì thêm trong R+ Bao đóng phản xạ và bắc cầu R*: R* = R+  { (a, a)  a  S } Bao đóng của quan hệ Ví dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } trên S = {1, 2, 3} R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) } R* = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) } Nguyên lý quy nạp Bước 1 (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0) Bước 2 (giả thiết quy nạp): giả sử P(n-1) Bước 3 (quy nạp): P(n - 1)  P(n),  n  1. Ví dụ: chứng minh Đồ thị G = (V, E) V : tập các đỉnh (nút) E : tập các cạnh nối giữa 2 nút Ví dụ: đồ thị G = (V, E) V = { 1, 2, 3, 4, 5 } E = { (n, m) | n+m = 4 hoặc n+m = 7} Đồ thị (Graph) Đồ thị G = (V, E) V : tập các đỉnh (nút) E : tập các cung có hướng v  w Ví dụ: đồ thị G = (V, E) V = { 1, 2, 3, 4 } E = { i  j  i < j } Đồ thị có hướng (Directed graph) Cây: là đồ thị có hướng 1 nút gốc Nút trung gian (nút trong) Nút lá: không dẫn ra nút con Thứ tự duyệt trên cây: trái  phải Cây (Trees) Ví dụ: cây minh họa cấu trúc cú pháp câu ‘An là sinh viên giỏi’ Cây (Trees)