Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 9: Biến đổi Fourier - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-9 
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Fourier

 Biểu diễn TH không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng

 Các tính chất của biến đổi Fourier

 Năng lượng tín hiệu

 Truyền tín hiệu qua hệ thống LTIC

 Các bộ lọc lý tưởng và thực tế

 Ứng dụng trong viễn thông: điều chế AM
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
0
( )Tf t
0T
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có
chu kỳ dài vô hạn
 Xét f(t) biểu diễn cho tín hiệu không tuần hoàn:
( )f t
 Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau: 0
0
( ) lim ( )TTf t f t→∞  =  
 Xét fT0(t) biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn do sự lặp lại f(t) với
chu kỳ T0:
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Biểu diễn fT0(t) dựa vào chuỗi Fourier
0
0 0
0
/ 2 0
/ 2
0 0 0 0 0
sin1 1 2 2 sin( )T Sjn t jn tn TT S
n S SD f t e dt e dt
T T T n T
ω ω ω ω
ω ω
− −
− −
= = = =∫ ∫
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
n
ω
0 02 /Tω pi=
0
( )Tf t
0T
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Gấp đôi chu kỳ tín hiệu  gấp đôi số hài!!!
0
0 0
0
/ 2 0
/ 2
0 0 0 0 0
sin1 1 2 2 sin( )T Sjn t jn tn TT S
n S SD f t e dt e dt
T T T n T
ω ω ω ω
ω ω
− −
− −
= = = =∫ ∫
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
n
ω
0 02 /Tω pi=
0
( )Tf t
0T
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Khi T0∞, các hài rời rạc  một hàm liên tục!!!
[ ] 0 0
000 0
/ 2
0 / 2
2sinlim . lim ( ) ( ) ( )T jn t j tn TTT T
ST D f t e dt f t e dt Fω ω ω ω
ω
∞
− −
− −∞→∞ →∞
 
= = = =
  ∫ ∫
0
( )Tf t
0T
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
n
ω
0 02 /Tω pi=
0
0 0
0
/ 2 0
/ 2
0 0 0 0 0
sin1 1 2 2 sin( )T Sjn t jn tn TT S
n S SD f t e dt e dt
T T T n T
ω ω ω ω
ω ω
− −
− −
= = = =∫ ∫
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Khi T0∞, Chuỗi Fourier  Tích phân Fourier
0
( )Tf t
0
0
0 0
0
0
( )( ) lim ( ) lim jn tTT T
n
F nf t f t e
T
ωω
∞
→∞ →∞
=−∞
 
 = =   
 
∑
1( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
pi
∞
−∞
→ = ∫
[ ] 0 0
000 0
/ 2
0 / 2
2sinlim . lim ( ) ( ) ( )T jn t j tn TTT T
ST D f t e dt f t e dt Fω ω ω ω
ω
∞
− −
− −∞→∞ →∞
 
= = = =
  ∫ ∫
0T
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
n
ω
0 02 /Tω pi=
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier

 Vậy ta có kết quả:
1( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
pi
∞
−∞
= ∫
( ) ( ) j tF f t e dtωω ∞ −
−∞
= ∫
Phương trình phân tích –
Biến đổi Fourier thuận
Phương trình tổng hợp –
Biến đổi Fourier ngược

 Điều kiện tồn tại tích phân Fourier:
( )f t dt∞
−∞
< ∞∫ Điều kiện Dirichlet
 F(ω): Mật độ phổ tín hiệu – thường xem là phổ của tín hiệu f(t)!!!
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
n
ω
0 02 /Tω pi=
( ) ( )f t F ω↔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

 f(t)=δ(t):
( ) ( ) ( ) 1j tF t e dt t dtωω δ δ+∞ +∞−
−∞ −∞
= = =∫ ∫ ( ) 1tδ ↔⇒
( )tδ
t
0
ω
0
↔
1
2 ( )piδ ω
ω
0
↔
t
0
1

 f(t)=1:
( ) 2 ( )F ω piδ ω= 1( ) 2 ( ) 1
2
j tf t e dωpiδ ω ω
pi
+∞
−∞
⇒ = =∫ ⇒ 1 2 ( )piδ ω↔
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

 f(t)=e-atu(t); a>0:
( ) ( )
0
0
1 1( ) ( )at j t a j t a j tF e u t e dt e dt e
a j a j
ω ω ωω
ω ω
+∞
+∞ +∞
− − − + − +
−∞
= = = − =
+ +∫ ∫
1( ); 0ate u t a
a jω
− > ↔
+
⇒
2 2( )
a jF
a
ω
ω
ω
−
⇒ =
+
2 2
1( )F
a
ω
ω
=
+
1( ) tan ( / )F aω ω−∠ = −
⇒
( )F ω
1/ a
ω
ω
/ 2pi
/ 2pi−
( )F ω∠
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

 f(t)=u(t):
0
0
1( ) ( ) ?j t j t j tF u t e dt e dt ej
ω ω ωω
ω
+∞
+∞ +∞
− − −
−∞
= = = − =∫ ∫
( )ate u t−
( )u t
t0
1
2 20 0 0
1( ) lim ( ) lim limat j t
a a a
a jF e u t e dt
a j a
ω ωω
ω ω
+∞
− −
−∞→ → →
− 
⇒ = = =  + + 
∫
0
( ) lim ( )at
a
u t e u t−
→
=
2 20
1( ) lim
a
aF
a jω ω ω→⇒ = ++ Diện tích bằng pi
1( ) ( )F jω piδ ω ω⇒ = +
( ) ( ) 1/u t jpiδ ω ω↔ +
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
↔
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

 f(t) xung cổng đơn vị:
( )e tr ct τ = 0 / 21 / 2
t
t
τ
τ
>
<
/ 2 / 2/ 2
/ 2
0
1( ) ( )
j j
j t j t j tt e eF rect e dt e dt ej j
ωτ ωττ
ω ω ω
τ τ
ω
ω ω
+∞
−
+∞
− −
−∞ −
−
= = = − =∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2sin sin( ) sinjF cj
ωτ ωτ
ωτ
ωτ
ω τ τ
ω
⇔ = = = ⇒ ( )2( ) sintrect c ωττ τ↔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tính chất tuyến tính:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F f t Fω ω↔ ↔ ⇒ 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F a Fω ω+ ↔ +

 Dịch chuyển trong miền thời gian:
( ) ( )f t F ω↔
1 0( ) ( ) ?f t f t t= − ↔
1 1 0( ) ( ) ( )j t j tF f t e dt f t t e dtω ωω
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
= = −∫ ∫
0 0 0( )
1( ) ( ) ( ) ( )j x t j t j tj xF f x e dx e f x e dx e Fω ω ωωω ω
+∞ +∞
− + − −−
−∞ −∞
⇔ = = =∫ ∫
⇒ 00( ) ( ) j tf t t F e ωω −− ↔ Linear phase shift
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Dịch chuyển trong miền thời gian:
0
0( ) ( ) j tf t t F e ωω −− ↔ Linear phase shift
/ 2ωτ−
Ví dụ:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Dịch chuyển trong miền tần số (điều chế):
( ) ( )f t F ω↔ 01( ) ( ) ?j tf t f t e ω⇒ = ↔
0( )
1 1 0( ) ( ) ( ) ( )j tj tF f t e dt f t e dt Fω ωωω ω ω
+∞ +∞
− −−
−∞ −∞
= = = −∫ ∫
⇒ 0 0( ) ( )j tf t e Fω ω ω↔ −
Ví dụ: Điều chế AM 0( ) c o sf t tω
0 0
0
1 1( )cos ( ) ( )
2 2
j t j tf t t f t e f t eω ωω −= + 1 10 0 02 2( )cos ( ) ( )f t t F Fω ω ω ω ω⇒ ↔ − + +
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Đối ngẫu thời gian-tần số:
( ) ( )f t F ω↔
1
2( ) ( ) j tf t F e dωpi ω ω
+∞
−∞
= ∫ 12( ) ( ) j tf t F e dωpi ω ω
+∞
−
−∞
⇒ − = ∫
2 ( ) ( ) j tf F t e dtωpi ω +∞ −
−∞
⇒ − = ∫ ( ) 2 ( )F t fpi ω↔ −⇒
Ví dụ:
( ); 0 1/( )ate u t a a jω− > ↔ + 1/( ) 2 ( ); 0aa jt e u aωpi ω⇒ + ↔ − >
( )2( ) sintrect c ωττ τ↔ ( )
00 0 2
2 sin 2 ( )c t rect ωωω ω pi⇒ ↔
⇒ ( )
0
0
0 2sin ( )2 c t rect
ω
ω
ω
ω ↔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Thay đổi thang độ (đồng dạng):
( ) ( )f t F ω↔ ( ); real ?f at a⇒ ↔
0 :a > ( )1 1( ) ( ) ( )aj xj t
a a a
f at e dt f x e dx Fωω ω+∞ +∞ −−
−∞ −∞
= =∫ ∫
0 :a < ( )1 1( ) ( ) ( )aj xj t
a a a
f at e dt f x e dx Fωω ω+∞ −∞ −−
−
−∞ +∞
= =∫ ∫
⇒ 1( ) ( )
aa
f at F ω=
Ví dụ:
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Đảo thời gian/tần số:
( ) ( )f t F ω↔ ( ) ?f t⇒ − ↔
1a = − ⇒
1( ) ( )
aa
f at F ω=
( ) ( )f t F ω− ↔ −
Ví dụ:
( ) 1/( )ate u t a jω⇒ − ↔ −( ) 1/( )ate u t a jω− ↔ +
( ) ?a te u t− ↔
2 2
1 1 2( ) ( ) ( )a t at at ae u t e u t e u t
a j a j aω ω ω
−
−
= + − ↔ + =
+ − +
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích chập trong miền thời gian:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F f t Fω ω↔ ↔ 1 2( ) ( ) ?f t f t⇒ ∗ ↔
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )j t j tf t f t e dt f f t d e dtω ωτ τ τ
+∞ +∞ +∞
− −
−∞ −∞ −∞
 ∗ = −
  ∫ ∫ ∫
1 2( ) ( ) j tf f t e dt dωτ τ τ
+∞ +∞
−
−∞ −∞
 
= −
  ∫ ∫ 1 2( ) ( )
jf F e dωττ ω τ+∞ −
−∞
= ∫
⇒
2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )jF f e d F Fωτω τ τ ω ω
+∞
−
−∞
= =∫
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F Fω ω∗ ↔
( ) ( )2 22 2 2 4 4( ) ( ) sint t t TT TT T Trect rect c ω∗ = Λ ↔
( )2 2 4( ) sint TTTrect c ω↔
( ) ( )22 4sint TTT c ωΛ ↔⇒
Ví dụ:
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích chập trong miền tần số:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F f t Fω ω↔ ↔ 1 2? ( ) ( )F Fω ω⇒ ↔ ∗
1 1
1 2 1 22 2( ) ( ) ( ) ( )j t j tF F e d F F d e dω ωpi piω ω ω τ ω τ τ ω
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
 ∗ = −
  ∫ ∫ ∫
1
1 22 ( ) ( ) j tF F e d dωpi τ ω τ ω τ
+∞ +∞
−∞ −∞
 
= −
  ∫ ∫
1
1 22 ( ) ( )j t jxtF e F x e dx dτpi τ τ
+∞ +∞
−∞ −∞
 
=
  ∫ ∫
2 1( ) ( ) j tf t F e dττ τ
+∞
−∞
= ∫ 2 12 ( ) ( )f t f tpi=
1
1 2 1 22( ) ( ) ( ) ( )f t f t F Fpi ω ω↔ ∗⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Đạo hàm trong miền thời gian:
( ) ( )f t F ω↔ ( ) ?df t
dt
⇒ ↔ ( ) ?
n
n
d f t
dt
⇒ ↔
( )1 12 2( )( ) ( ) ( )j t j tdf tf t F e d j F e ddt
ω ω
pi piω ω ω ω ω
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⇒ =∫ ∫
( )( ) ( )?df t j F
dt
ω ω⇒ ↔
( ) ( ) ( )
n
n
n
d f t j F
dt
ω ω↔⇒
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích phân trong trong miền thời gian:
( ) ( )f t F ω↔ ( ) ?t f dτ τ
−∞
⇒ ↔∫
( ) ( ) ( ) ( )f t u t f t u t dτ τ+∞
−∞
∗ = −∫
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) 1/ (0) ( ) ( ) /f t u t F j F F jω piδ ω ω pi δ ω ω ω∗ = + = +
⇒
( )t f t dτ
−∞
= ∫
( ) ( ) 1 /u t jpi δ ω ω↔ +
( ) (0) ( ) ( ) /t f d F F jτ τ pi δ ω ω ω
−∞
↔ +∫