Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 7: Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-7 
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier

 Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Chuỗi Fourier lượng giác

 Chuỗi Fourier hàm mũ phức

 ðáp ứng của hệ thống LTIC với tín hiệu tuần hoàn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Biểu diễn gần ñúng vectơ:
f


x

e

cx

2c x

2e

f


1c x

1e
f


11 2 2f cx e c x e c x e= + = + = +

     
: mine⇒
 f cx⇒

 
≃
2
1
| |c f xx⇒ =



Kích thước vectơ
Tích vô hướng
 Khi nào c=0?
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Biểu diễn gần ñúng tín hiệu:
 Biểu diễn gần ñúng f(t) theo x(t): 1 2( ) ( ); f t cx t t t t≤ ≤≃
1 2( ) ( ) ( )
0 
f t cx t t t t
e t
otherwise
− ≤ ≤
⇒ = 

2
1
2[ ( ) ( )] : minte tE f t cx t dt= −∫ Tìm c ñể sai số nhỏ nhất 
2
1
1 ( ) ( )t
t
x
c f t x t dt
E
⇒ = ∫
Kích thước tín hiệu
 Tính tương tự cho tín hiệu phức: (tổng quát)2
1
*( ) ( )t
t
f t x t dt∫
Tích vô hướng của f(t) với x(t)
 Khi nào c=0?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao
 Ví dụ: ( ) sinf t c t≃
2 2
0
sinxE tdt
pi
pi= =∫
2 2
0 0
( ) ( ) sin sin 4f t x t dt tdt tdtpi pi pi
pi
= − =∫ ∫ ∫
2
0
1 4( ) ( )
x
c f t x t dt
E
pi
pi
⇒ = =∫

 Không gian (tập) tín hiệu trực giao:
 {x1(t), x2(t),,xN(t)} trực giao trong khoảng [t1, t2] nếu:
2
1
*
0 ( ) ( )
t
m nt
n
m n
x t x t dt
E m n
≠
= 
=
∫
 Nếu En=1 với mọi n  tập trực chuẩn
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Biểu diễn tín hiệu dựa vào không gian tín hiệu trực giao:
 Tìm cn thỏa ñiều kiện năng lượng sai số  min:
 Sai số:
1
( ) ( ) ( )
N
n n
n
e t f t c x t
=
= −∑
2
1
1 ( ) ( )t
n nt
n
c f t x t dt
E
= ∫
 Năng lượng của thành phần sai số min: 2
1
N
e f n n
n
E E c E
=
= −∑
 Năng lượng của thành phần sai số  0 nếu N  ∞  tập cơ sở
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
N
N N n n
n
f t c x t c x t c x t c x t
=
+ + + =∑≃
 Khi N  ∞, ta có: lưu ý dấu “=” ñúng về mặt năng lượng
1 2
1
( ) ( ); 
n n
n
f t c x t t t t
∞
=
= ≤ ≤∑ Chuỗi Fourier
2
1
*1 ( ) ( )t
n nt
n
c f t x t dt
E
= ∫Thực: Phức:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Chọn tập cơ sở nào:
 Các hàm lượng giác
 Các hàm mũ phức
 Các hàm Walsh
 Các hàm Bessel
 Các ña thức Legendre
 Các hàm Laguerre
 ða thức Jacobi
 ða thức Hermit
 ða thức Chebyshev
 Trong môn học này chỉ tập trung khảo sát chuỗi Fourier theo
dạng hàm lượng giác và hàm mũ phức!!!
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Tại sao?
 Trong chương trước ta ñã biết ñáp ứng của hệ thống LTIC với
hàm mũ phức est:
( ) ( ) ( )st stf t e y t H s e= ⇒ =
( ) ( ) ( ) / ( )sH s h e d P s Q sττ τ∞ −
−∞
= =∫
 Nếu s=jω, suy ra: ( ) ( ) ( )j t j tf t e y t H j eω ωω= ⇒ =
 Do hệ thống là tuyến tính  biểu diễn f(t) thành tổng các tín hiệu
hàm mũ phức thì việc tính ñáp ứng ngõ ra trở nên ñơn giản!!! 
 Hàm lượng giác là một dạng ñặc biệt của hàm mũ phức: 
1
2cos( ) ( )j t j tt e eω ωω −= +
1
2sin( ) ( )j t j tjt e eω ωω −= −
 Hàm lượng giác: quen với giải tích mạch; tín hiệu: dùng hàm
mũ phức. 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Phổ tần số tín hiệu?
 Biểu diễn ñộ lớn và pha của các thành phần tần số
 Biểu diễn ñộ lớn gọi là phổ biên ñộ
 Biểu diễn pha gọi là phổ pha
 Ví dụ: xét tín hiệu sau: