Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 4: Phân tích hệ thống LTIC trong miền thời gian - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-4 
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Phân tích hệ thống LTIC trong
miền thời gian

 Giới thiệu

 Đáp ứng với ngõ vào bằng không

 Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

 Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ

 Tính ổn định của hệ thống
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Giới thiệu

 Tập trung khảo sát hệ thống tuyến tính bất biến & liên tục (LTIC) 

 Mô tả toán học của hệ thống LTIC: dạng phương trình vi phân
1 1
1 1 0 1 1 01 1... ...
n n m m
n m mn n m m
d y d y dy d f d f df
a a a y b b b b f
dt dt dt dt dt dt
− −
− −
− −
+ + + + = + + + +
 {ai}, {bi} là các hằng số
Systemf(t) y(t) 
 Thực tế m≤n  tập trung khảo sát trường hợp này
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Giới thiệu
2
2
( ) 1 ( ) 1 1 ( )( )d v t dv t di tv t
dt RC dt LC C dt
+ + =
 Ví dụ 1: mạch điện RLC – hệ thống điện
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Giới thiệu
2
2
( ) ( ) 1 ( )( )d v t B dv t K df tv t
dt M dt M M dt
+ + =
 Ví dụ 2: Giảm sốc – hệ thống cơ học
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Giới thiệu
1 1
1 1 0 1 1 0( .. ) ( ) ( .. ) ( )n n m mn m mD a D a D a y t b D b D b D b f t− −− −+ + + + = + + + +
1 1
1 1 0 1 1 01 1... ...
n n m m
n m mn n m m
d y d y dy d f d f df
a a a y b b b b f
dt dt dt dt dt dt
− −
− −
− −
+ + + + = + + + +
 Ký hiệu D thay cho d/dt, ta có: 
 Đặt Q(D), P(D) lần lượt là đa thức bên trái và bên phải, ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )Q D y t P D f t=

 Đáp ứng của hệ thống: 2 nguyên nhân gây ra đáp ứng
 Điều kiện bên trong của hệ thống (năng lượng tích trữ,.)
 Tác nhân bên ngoài của hệ thống (f(t))

 Đáp ứng tổng cộng: do hệ thống tuyến tính nên
Total response = zero-input response + zero-state response
(2.1)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Đáp ứng với ngõ vào bằng không
0( ) ( ) 0Q D y t = Ngõ vào f(t)=0, từ (2.1) ta có:
 y0(t) phải có dạng Ceλt
0 ( ) tDy t C eλλ⇒ = 2 20, ( ) tD y t C eλλ= 0,..., ( )n n tD y t C eλλ=
1
1 1 0( ... ) ( ) 0n n t tnC a a a e CQ eλ λλ λ λ λ−−⇒ + + + + = =
( ) 0Q λ = Phương trình đặc trưng của hệ thống

 Phương trình đặc trưng của hệ thống LTIC
 Gọi y0(t) là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào bằng 0 (Zero-input)
1 1
1 1 0 1 1 0( .. ) ( ) ( .. ) ( )n n m mn m mD a D a D a y t b D b D b D b f t− −− −+ + + + = + + + +
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Đáp ứng với ngõ vào bằng không
 Nếu Q(λ)=0 có n nghiệm đơn:
11 2
0 1 2 1( ) ... n nt tt t n ny t C e C e C e C eλ λλ λ −−= + + + +
 Nếu Q(λ)=0 có nghiệm bội (giả sử λ1 là ngiệm bội r):
1 21
0 1 2 1( ) ( ... ) ... ntt trr r ny t C C t C t e C e C eλλ λ− += + + + + + +
 Nếu Q(λ)=0 có nghiệm phức: giả sử là α±jβ

 Các kiểu đặc trưng của hệ thống:
3
0 3( ) cos( ) ... nt tt ny t Ce t C e C eλ λα β θ−= + + + +
 Các hàm được gọi là các kiểu đặc trưng của hệ thốngiteλ
 Sự kết hợp của các kiểu đặc trưng rất quan trọng trong việc thể hiện
hành vi của hệ thống, cũng quan trọng trong việc tìm đáp ứng xung
đơn vị của hệ thống  Tính đáp ứng của hệ thống với f(t) trong miền t
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Đáp ứng với ngõ vào bằng không
 Điều kiện đầu là cần thiết trong việc tìm đáp ứng của hệ thống

 Điều kiện đầu:
 Nếu xét móc thời gian là t=0  biết trước giá trị tại t=0-
 Cần tìm giá trị tại t=0+, vì y0(t) độc lập với f(t) nên tại t=0+
, , ,, ,,
0 0 0(0 ) (0 ); (0 ) (0 ), (0 ) (0 ),....y y y y y y− + − + − += = =
 Lưu ý mô tả trên không đúng cho trường hợp đáp ứng tổng cộng y(t) 
(vì nó phụ thuộc vào ngõ vào f(t))
 Ví dụ: f(t)=10e-3tu(t); y(0-)=0 (dòng điện trong mạch); vc(0-)=5
,(0 ) 0; (0 ) 5y y− −= = −
,(0 ) 0; (0 ) 5y y+ += =
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Đáp ứng với ngõ vào bằng không

 Ví dụ:
 Tìm y0(t): (D2+3D+2)y(t)=Df(t); y0(0)=0; y0’(0)=-5
 Tìm y0(t): (D2+6D+9)y(t)=(D+2)f(t); y0(0)=3; y0’(0)=-7
ĐS: y0(t) = -5e-t+5e-2t
ĐS: y0(t) = 4e-2tcos(6t-pi/3)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

 Khảo sát đáp ứng của hệ thống với xung δ(t) là quan trọng trong việc
xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ.

 Phương trình toán của hệ thống: (chú ý m≤n  TH chung: m=n):
1 1
1 1 0 1 1 0( .. ) ( ) ( .. ) ( )n n n nn n nD a D a D a y t b D b D b D b f t− −− −+ + + + = + + + +

 Bản chất của đáp ứng với kích thích δ(t):
 Các điều kiện đầu tại t=0- đều bằng 0
 Xuất hiện kích thích tại t=0, sau đó kết thúc, xem như khởi tạo
điều kiện đầu tức thời tại t=0+.
 Không có kích thích của ngõ vào khi t≥0+  Đáp ứng: zero-input
 Vậy nếu gọi h(t) là đáp ứng với δ(t) thì nó sẽ có dạng:
h(t)=kết hợp của các kiểu đặc trưng ; t≥0+
 Phương trình trên chỉ đúng khi t>0, t=0 có kích thích δ(t)  Điều chỉnh
lại như sau: 
h(t)=A0δ(t)+kết hợp của các kiểu đặc trưng; t≥0
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

 Người ta xác định được h(t) như sau:
h(t)=bnδ(t)+[P(D)yn(t)]u(t)
 yn(t) là đáp ứng zero-input của hệ thống với điều kiện đầu như sau:
1 2 3 1(0) 1; (0) (0) ... (0) (0) 0n n nn n n n ny y y y y− − −= = = = = =

 Đáp ứng với δ(t-T)  h(t-T) - bất biến

 Ví dụ:
2( 3 2) ( ) ( )D D y t Df t+ + = Tìm h(t) của hệ thống:
2( ) ( 2 ) ( )t th t e e u t− −= − + ĐS:
 Tìm h(t) của hệ thống: ( 2) ( ) (3 5) ( )D y t D f t+ = +
2( ) 3 ( ) ( )th t t e u tδ −= − ĐS: