Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 17: Đáp ứng tần số và bộ lọc tương tự - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-17
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng tần số và bộ lọc tương tự

 Đáp ứng tần số của hệ thống LTIC

 Biểu đồ Bode

 Thiết kế bộ lọc tương tự

 Bộ lọc Butterworth

 Bộ lọc Chebyshev

 Các phép biến đổi tần số
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev

 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Chebyshev:
2 2
1| ( ) |
1 ( )
cn
H j
C ωω
ω
ε
=
+
 Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1):
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
 Vậy khi có H(s)  H(s) bằng cách: 
( )sH / cs s ω← ( )H s
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev

 Xét đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp chuẩn hóa Chebyshev :
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
( )1( ) cos cosnC nω ω−= ; | | 1ω <
( )1( ) cosh coshnC nω ω−= ; | | 1ω >
Cn(ω) là một đa thức thỏa tính chất sau:
1 2( ) 2 ( ) ( ) ; 2n n nC C C nω ω ω ω− −= − ≥
0 ( ) 1C ω =Có: và 1 ( )C ω ω= 22 ( ) 2 1C ω ω⇒ = −
Một cách tương tự ta có thể tính được bảng Cn(ω)!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
n ( )nC ω
Chebyshev Polyminals
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev

 Đáp ứng biên độ bộ lọc Chebyshev:
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
2
1010 log (1 )r ε= +
-r ↔Gp (Butterworth)
p cω ω≡
Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) trong dãi thông:
(dB)
(dB)
Pass-band Pass-band
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev

 Xác định ε và bậc(n) của bộ lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế:
 Độ lợi tại tần số ω: 2 2101 0 lo g [1 ( )]pnG C ωωε= − +
 Độ lợi tại tần số ωs:
2 2
1 01 0 lo g [1 ( )]spnC
ω
ωε− +
⇒ ( ) 1 / 2/ 1 01 / 1 01 0 1c o s h c o s h 1 0 1
s
s
p
G
r
n
ω
ω
−
−
 
−  ≥   
− 
( )
1 / 2/ 1 0
1
/ 1 01
1 1 0 1
c o s h
1 0 1c o s h /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
⇒
( ) 21010 log (1 )designr rε= + ≤ ⇒ Xác định ε:
sG≤ 0≤
/1010 1rε ≤ −
/ 1 0
1
1 0 1
co sh [ co sh ( / )]
sG
s pn
ε
ω ω
−
−
−≥⇒
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
1
( 2 1) ( 2 1)
s in s in h c os c o sh
2 2
1, 2 , 3, ...,
1 1
s in h
k
k k
s x j x
n n
k n
x
n
pi pi
ε
−
− −
= − +
=
 
=  
 
Bộ lọc Chebyshev

 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:
Người ta tính được các poles của H(s) như sau: 
600
600
600
600
Re
Im
s in h ; c o sha x b x= =
H(s) H(-s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
' 1
1 1 0
( ) ( ) ...
n n
n n
n n
K K
s
C s s a s a s a−
−
= =
+ + + +
H
1 2
( ) ( )( )...( )
n
n
K
s
s s s s s s
=
− − −
H⇒
⇒
Kn được lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC: 
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Để việc thiết kế được đơn giản, người ta thành lập bảng C’n(s) 
hoặc giá trị của các poles với một số độ gợn r thường gặp 
Tra bảng!!!
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
0.5 dB ripple
0.5r dB=
1 dB ripple
1r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
2 dB ripple
2r dB=
3 dB ripple
3r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev

 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev:
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (0≤ω≤10) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≥20) 
Gs≤ -20dB
 Bước 1: Xác định: 
 Bước 2: Chọn ε:
( )
1 / 2/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
/ 10
/ 10
1
10 1 10 1
cosh [ cosh ( / )]
sG
r
s pn
ε
ω ω
−
−
− ≤ ≤ −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
 Bước 3: Xác định H(s):
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / ps s ω← ( )H s
'
( ) ( )
n
n
K
s
C s
=H
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Nếu ε sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB hoặc 3dB  tra bảng C’n(s); 
nếu không thỏa  tính C’n(s):
( )
( 2 1) ( 2 1)
2 2
11 1
'
1 2
sin sinh cos cosh
1, 2, 3, ..., ; sinh
( ) ( )( )...( )
k k
k n n
n
n n
s x j x
k n x
C s s s s s s s
pi pi
ε
− −
−
= − +
= =
= − − −
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bộ lọc Chebyshev
 Bước 1:
 Bước 2:
1 / 22
1
1 0 .2
1 1 0 1
c o s h 2 .4 7 3
c o s h ( 2 ) 1 0 1n
−
−
 −≥ = 
− 
 Bước 3:
 Bước 4:
 chọn n=3 
 chọn ε=0.764  (r)design=2dB
2
0 .2
1
10 1 10 1
cosh [3 cosh (2 )] ε−
− ≤ ≤ −
0 .382 0 .764ε⇔ ≤ ≤
Tra bảng: ' 3 2( ) 0.7378 1.0222 0.3269
n
C s s s s= + + +
0 0 .3269nn odd K a⇒ = =
3 2
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269
s
s s s
=
+ + +
H⇒
( ) ( )3 210 10 10
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269s s s
H s =
+ + +
3 2
326.9( )
7 .378 102.22 326.9
H s
s s s
=
+ + +
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số

 Bộ lọc thông cao (High-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-bandHigh-pass Filter
p ( )sH
( )s T s← ( )H s ( )
pT s
s
ω
=
Ví dụ 1: Thiết kế bộ lọc thông cao Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (ω≥200) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≤100) 
Gs≤ -20dB?
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số

 Bộ lọc thông dãi (Band-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-pass 
Filter
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
min ;p p s s p ps
s p p s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2
1 2
2 1
( ) ( )
p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
+
=
−
p ( )sH
( )s T s← ( )H s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 2: Thiết kế bộ lọc thông dãi Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≤ 1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
Ví dụ 3: Thiết kế bộ lọc thông dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≥ -1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số

 Bộ lọc chắn dãi (Band-stop Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-stop 
Filter
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
min ;s p p s p ps
p p s s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2 1
2
1 2
( )( ) p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
−
=
+p ( )sH
( )s T s← ( )H s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 4: Thiết kế bộ lọc chắn dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi chắn (100≤ω≤150) ≤ -20dB; độ lợi dãi thông
(ω≤60 hoặc ω≥260) ≥ -2.2dB?