Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 14: Phân tích tín hiệu liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt

huộc vào vị trí của poles và zeros của T(s).
Có cách ñể xác ñịnh nhanh chóng các thông số (PO, tr, ts) của hệ
thống bậc 2 không có ñiểm zero dựa vào vị trí của các poles. 
 Chúng ta sẽ khảo sát chi tiết hệ thống này (cơ sở nghiên cứu hệ
thống bậc cao hơn)

 Xét hệ thống bậc 2 có hàm truyền vòng kín T(s) như sau:
2
2 2( ) 2
n
n n
T s
s s
ω
ζω ω= + +
 Hai poles của hệ thống là: 
2
1,2 1n ns jζω ω ζ= − ± −
 ðáp ứng với u(t): 
2
2 2 2 2
21 1( )
2 2
n n
n n n n
sY s
s s s s s s
ω ζω
ζω ω ζω ω
+
= = −
+ + + +
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
1ζ <
dt
0.5
0.1
0
0.9
1
( )py t ( )y t
r
t
pt st t
Phân tích hệ thống bậc 2
2 1
2
1( ) 1 sin( 1 cos ) ( )
1
nt
ny t e t u t
ζω ω ζ ζζ
− −
 
= − − + 
−  
4
s
n
t ζω=
21
p
n
t
pi
ω ζ= −
2/ 1100PO e ζpi ζ− −=
21 0.4167 2.917
r
n
t
ζ ζ
ω
− +
≈
21.1 0.125 0.469
d
n
t
ζ ζ
ω
+ +
≈
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Phân tích hệ thống bậc 2
2/ 1100PO e ζpi ζ− −=
4
s
n
t ζω=
21 0.4167 2.917
r
n
t
ζ ζ
ω
− +
≈
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
2
2−
4−
6−
4
6
σ
jω
0
Phân tích hệ thống bậc 2

 Ví dụ: 2
( )( ) [1 ( )] 8
KG s KT s
KG s s s K
= =
+ + +
Yêu cầu thiết kế: chọn K sao cho PO≤16%, tr≤0.5s, ts≤2s?
16%; 0.5; 2
r sPO t t≤ ≤ ≤
 Xác ñịnh miền cho phép của các poles
 Xác ñịnh quỹ tích các poles khi K
thay ñổi (quỹ ñạo nghiệm số)
2 8 0s s K+ + =
1,2 4 16s K⇒ = − ± −
 Xác ñịnh giá trị của K
25 64K≤ ≤
2−
2
s
t =16%PO =
0.5
r
t =
4−
16K=
0K= 0K=
64K =
64K =
25K =
25K =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số

 Xét hệ thống với hệ số khuếch ñại K thay ñổi như sau:
( )( )
1 ( ) ( )
KG sT s
KG s H s
=
+
∑ K ( )G s
( )H s
( )F s ( )Y s
−
Phương trình ñặc trưng của hệ thống: 1 ( ) ( ) 0KG s H s+ =
Chúng ta sẽ khảo sát quỹ ñạo của nghiệm phương trình ñặc trưng
(poles của hệ thống) khi K thay ñổi từ 0 ñến ∞  Quỹ ñạo nghiệm số.
Hàm truyền vòng kín của hệ thống:
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Giá trị của s trong mp-s làm cho hàm truyền vòng hở KG(s)H(s) 
bằng -1 chính là các poles của hàm truyền vòng kín
( ) ( ) ( ) ( ) 101 −=⇔=+ sHsKGsHsKG
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
1
180 2 1
1
180 2 1o
KG s H s
KG s H s l
G s H s K
G s H s l
 =
⇒ 
∠ = ± +
 =
⇔ 
∠ = ± +
Independent of K
,,,l 210=
,,,l 210=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số

 Quỹ ñạo nghiệm số ñược vẽ tuân theo các quy luật sau:
Ví dụ 1: vẽ quỹ ñạo nghiệm số của hệ thống sau khi K thay ñổi
∑ K 1( 1)( 2)s s s+ +( )F s ( )Y s
−
Áp dụng các quy luật dùng ví dụ sau:
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Luật #1
Giả sử G(s)H(s) có n poles và m zeros:
n nhánh của quỹ ñạo nghiệm bắt ñầu (K=0) tại n poles.
m trong n nhánh kết thúc (K=∞) tại m zeros
n-m nhánh còn lại kết thúc ở vô cùng theo các ñường
tiệm cận. 
Bước 1: Vẽ n poles và m zeros của G(s)H(s) dùng ký hiệu
x và o
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Áp dụng bước #1
( ) ( ) ( )( )21
1
++
=
sss
sHsG
Vẽ n poles và m zeros của
G(s)H(s) dùng ký hiệu x và o
 Có 3 poles:
0 1 2s , s , s= = − = −
 Không có zero
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Luật #2
Các ñiểm trên trục thực thuộc quỹ ñạo nghiệm khi bên
phải nó có tổng số poles thực và zeros thực của
G(s)H(s) là một số lẽ
Bước #2: Xác ñịnh các nghiệm trên trục thực. Chọn
ñiểm kiểm tra tùy ý. Nếu tổng số của cả poles thực và
zeros thực bên phải của ñiểm này là lẽ thì ñiểm ñó
thuộc quỹ ñạo nghiệm số.
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Áp dụng bước #2
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Giả sử G(s)H(s) có n poles và m zeros:
Các nghiệm s có giá trị lớn phải tiệm cận theo ñường thẳng
bắt ñầu tại ñiểm trên trục thực:
theo hướng của góc:
( )180 2 1o
n m
φ ± +=
−
ℓ
ℓ
0
i i
n m
p z
s
n m
σ
−
= =
−
∑ ∑
Luật #3
Bước #3: Xác ñịnh n - m tiệm cận của các nghiệm. Tại s = σ0
trên trục thực. Tính và vẽ các ñường tiệm cận theo góc φ
ℓ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Áp dụng bước #3
1 2 3
0
0 1 2 1
3 0 3
p p p
s σ
+ + − −
= = = = −
−
( )1 8 0 2 1
n m
φ ± +=
−
ℓ
ℓ
( )
( )






±=
−
+×±
=
±=
−
+×±
=
⇒
0
0
1
0
0
0
180
03
112180
60
03
102180
φ
φ
0 1 2, , ,=ℓ 
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Luật #4
ðiểm tách phải thỏa ñiều kiện sau:
Phương trình ñặc trưng của hệ thống có thể viết là: KG(s)H(s) = -1
0=
ds
dK
Bước #4: xác ñịnh ñiểm tách. Biểu diễn K dưới dạng:
( ) ( ) .sHsGK
1−
=
Tính và giải dK/ds=0 ñể tìm pole là ñiểm tách
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Áp dụng bước #4
2
1 2
3 6 2 0
1 5 77 4 0 4 2 26
s s
s . , s .
⇒ − − − =
= − = −
( )( )
sssK
sss)s(H)s(GK
23
211
23
−−−=
++−=
−
=
3 23 2dK / ds s s s= − − −
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Quỹ ñạo nghiệm số
Bước #5
Vẽ n-m nhánh kết thúc ở vô cùng dọc theo các
ñường tiệm cận
jω?
- jω
ωjs =
( ) ( ) 01 =+ sHsKG
0 2orω ω⇒ = = ±
Cho:
Thế vào:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các sai số xác lập

 Sai số xác lập là sự sai khác giữa tín hiệu vào f(t) và ra y(t) tại xlập
( ) ( ) ( )e t f t y t= − ( ) ( ) ( ) ( )[1 ( )]E s F s Y s F s T s⇒ = − = −
lim ( )ss
t
e e t
→∞
⇒ =
0
lim ( )
s
sE s
→
=
0
lim ( )[1 ( )]
s
sF s T s
→
= −
 Với f(t)=u(t):
0
lim[1 ( )]ss s
s
e e T s
→
= = −
 Với f(t)=tu(t):
0
[1 ( )]limss r
s
T s
e e
s→
−
= =
 (0) 1if T =
 Với f(t)=(1/2)t2u(t): 20
[1 ( )]limss p
s
T s
e e
s→
−
= =
 (0) 1 '(0) 0if T and T= =
'(0)re T⇒ = −
1 (0)se T⇒ = −
''(0) / 2pe T⇒ = −
13
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các sai số xác lập

 Với hệ thống hồi tiếp ñơn vị:
∑ K ( )G s( )F s ( )Y s
−
 ðịnh nghĩa các hằng số sau:
• Hằng số sai số vị trí:
0
lim[ ( )]p
s
K KG s
→
=
• Hằng số sai số vận tốc:
0
lim [ ( )]v
s
K s KG s
→
=
• Hằng số sai số gia tốc: 2
0
lim [ ( )]a
s
K s KG s
→
=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các sai số xác lập
 Các sai số xác lập ñược tính như sau:
0
1/ 1lim
1 ( ) 1s s p
s
e s
KG s K→
= =
+ +
2
0
1/ 1
; lim
1 ( )r s v
s
e s
KG s K→
= =
+
3
0
1/ 1lim
1 ( )p s a
s
e s
KG s K→
= =
+
 Phân loại hệ thống ñiều khiển:
• Hệ thống loại 1: es=0; er=finite; ep=∞. Ví dụ: 
• Hệ thống loại 2: es=er=0; ep=finite. G(s) có 2 poles tại gốc tọa ñộ
• Hệ thống loại 0: es=finite; er= ep=∞. Ví dụ:
2( ) ( 1)( 10)
sG s
s s
+
=
+ +
1( ) ( 8)G s s s= +
• Hệ thống loại q: có q poles tại gốc tọa ñộ
14
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các sai số xác lập
 Kết luận: với hệ thống hồi tiếp ñơn vị việc tăng số poles tại gốc tọa
ñộ sẽ cải thiện chất lượng của hệ thống ở chế ñộ xác lập. 
Vậy có nên tăng số poles tại gốc tọa ñộ?
( )180 2 1o
n m
φ ± +=
−
ℓ
ℓ
0
i i
n m
p z
s
n m
σ
−
= =
−
∑ ∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các sai số xác lập

 Nói chung trong thiết kế hệ thống người ta phải xác ñịnh rõ ess
Ví dụ:
2
( )( ) [1 ( )] 8
KG s KT s
KG s s s K
⇒ = =
+ + +
1( ) ( 8)G s s s= +
∑ K ( )G s( )F s ( )Y s
−
Yêu cầu thiết kế: chọn K sao cho PO≤16%, tr≤0.5s, ts≤2s, 
es=0 và er≤0.15
 ðảm bảo yêu cầu quá ñộ: 25≤K≤64
 ðảm bảo yêu cầu xác lập: 0; 8/ ;s r pe e K e= = = ∞
8/ 0.15K⇒ ≤ 53.34K⇒ ≥
 Kết luận: 53.34 64K≤ ≤
15
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðiều chỉnh hệ thống

 Trong ví dụ trước ta thấy chất lượng xác lập tốt nhất khi K
lớn nhất!!!
64K = ( )min 8/ 8/64 0.125re K⇒ = = =
Nếu yêu cầu thiết kế là er<0.125?
2
2−
4−
6−
4
6
σ
jω
02−
2
s
t =16%PO =
0.5
r
t =
4−
16K=
0K= 0K=
64K =
64K =
25K =
25K =
Dời sang trái
0
i i
n m
p z
s
n m
σ
−
= =
−
∑ ∑
( )c
sG s
s
α
β
+
=
+
Bộ ñiều
chỉnh
Nối tiếp G(s) với Gc(s):
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðiều chỉnh hệ thống

 Hệ thống có bộ ñiều chỉnh:
∑ ( )cG s ( )K G s( )F s ( )Y s
−
1( ) ( 8)G s s s= + ; 16%; 0.5; 2; 0; 0.05r s s rPO t t e e≤ ≤ ≤ = ≤
 Ví dụ:
8( )
30c
sG s
s
+
=
+
( ) ( ) ( 30)c
KKG s G s
s s
⇒ =
+
8/ 0.05 160re K K= ≤ ⇒ ≥
Giả sử chọn:
Và chọn K=600: 2
600( )
30 600
T s
s s
⇒ =
+ +
16
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðiều chỉnh hệ thống
2
600( )
30 600
T s
s s
=
+ +
600nω⇒ = ; 15nζω = 0.61ζ⇒ =
4 4 /15 0.266 2s
n
t ζω= = = <
8.9% 16%PO = <
0.0747 0.5rt = <
0se =
0.05re =
; 16%; 0.5; 2; 0; 0.05
r s s rPO t t e e≤ ≤ ≤ = ≤
ðạt ñược mọi yêu cầu thiết kế!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðiều chỉnh hệ thống
 Với hệ thống ñiều khiển hồi tiếp ñơn vị thì Gc(s)=1/s sẽ bảo ñảm
cải thiện chất lượng xác lập. Tuy nhiên lại làm giảm chất lượng quá
ñộ, và tính ổn ñịnh của hệ thống!!! ðể dung hòa người ta chọn Gc(s) 
như sau:
( )c
sG s
s
α
β
+
=
+
α và β chọn rất nhỏ và tỷ số α/β rất lớn
0
i i
n m
p z
s
n m
σ
−
= =
−
∑ ∑
( ) ( ). (0) /p p c pcK K G Kα β= =
( ) ( ). (0) /v v c vcK K G Kα β= =
( ) ( ). (0) /a a c acK K G Kα β= =
( ) 1 1
1 ( ) 1s sc p c p
e e
K K
⇒ = < =
+ +
( ) 1/( ) 1/r v c r vce K e K⇒ = < =
( ) 1/( ) 1/p a c p ace K e K⇒ = < =