Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 12: Phân tích tín hiệu liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-12 
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Phân tích tín hiệu liên tục dùng biến
ñổi Laplace

 Biến ñổi Laplace và các tính chất

 Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC

 Sơ ñồ khối và thực hiện hệ thống

 Ứng dụng trong hồi tiếp và ñiều khiển
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Ví dụ: xét hệ thống LTIC có phương trình: 
2( 5 6) ( ) ( 1) ( )D D y t D f t+ + = +
, 4(0 ) 2; (0 ) 1; ( ) ( )ty y f t e u t− − −= = =
Lấy biến ñổi Laplace hai vế: 
2 ,( ) (0 ) (0 ) 5 ( ) (0 ) 6 ( ) ( ) (0 ) ( )s Y s sy y sY s y Y s sF s f F s− − − − − − + − + = − + 
2( 5 6) ( ) 2 11 ( 1) ( )s s Y s s s F s⇒ + + − − = +
2 2
2 11 ( 1)( ) ( )( 5 6) ( 5 6)
s sY s F s
s s s s
+ +
⇒ = +
+ + + +
Zero-input Zero-state
1( )
4
F s
s
⇒ =
+
13 3
2 23
2 3 4s s s
= − −
+ + +
( )2 3 413 32 2( ) 3 ( )t t ty t e e e u t− − −= − −
 Biến ñổi Laplace cho phép xác ñịnh cả zero-input & zero-state 
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Xét hệ thống LTIC có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )Q D y t P D f t=
1
1 1 0( ) ...n nnQ D D a D a D a−−= + + + +
1
1 1 0( ) ...m mm mP D b D b D b D b−−= + + + +
 Ta cần tính ñáp ứng zero-state, nên: ( 1)(0 ) '(0 ) ... (0 ) 0ny y y− − − −= = = =
 Lấy biến ñổi Laplace 2 vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( )Q s Y s P s F s=
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )( ) ( ) ...
m m
m m
n n
n
b s b s b s bP sH s Q s s a s a s a
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
( ) ( ) ( )Y s H s F s=⇒
( )H s ( )Y s( )F s
Hàm truyền
của hệ thống
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC

 Xác ñịnh ñược hàm truyền H(s) của hệ thống cho phép:
 Tính ñáp ứng zero-state với tín hiệu vào bất kỳ
 Thực hiện hệ thống
 Khảo sát tính ổn ñịnh của hệ thống
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Xác ñịnh hàm truyền của hệ thống
x: chiều cao mặt ñường , y: chiều cao xe
2
2
( ) ( ) ( )
 ( )d y t dy t dx tm b ky t b kx
dt dt dt
∴ + + = +
( ) ( )2 ( ) ( )b k b km m m mD D y t D x t⇔ + + = +
2( )
b k
m m
b k
m m
sH s
s s
+
⇒ =
+ +
 Ví dụ 1:
2
b k
m m
b k
m m
s
s s
+
+ +
( )X s ( )Y s
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
 Ví dụ 2:
+
-
( )f t
( )y t
4Ω
1H
1
3
F
2
 ( 4 3) ( ) ( )D D y t Df t∴ + + =
2( ) 4 3
sH s
s s
⇒ =
+ +
 Với hệ thống là mạch ñiện ta có thể ñưa biến ñổi Laplace vào mạch
và giải mạch trực tiếp như là mạch thuần trở
( ) ( )R Rv t Ri t= ( ) ( )R RV s RI s⇒ =
( )( ) LL
di t
v t L
dt
= ( ) ( )L LV s LsI s⇒ =
( )( ) cC
dv ti t C
dt
= ( ) ( )C CI s CsV s⇒ = 1( ) ( )C CV s I sCs⇒ =
• Trở R:
• ðiện dung C:
• ðiện cảm L:
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
• KCL:
1
( ) 0
n
j
j
i t
=
=∑
1
( ) 0
n
j
j
I s
=
=∑⇒
• KVL:
1
( ) 0
n
j
j
v t
=
=∑ ⇒
1
( ) 0
n
j
j
V s
=
=∑
 Ví dụ 3:
+
-
( )f t
( )y t
4Ω
1H
1
3
F ( )F s
( )Y s 4 s
3/ s
2( ) 4 3
sH s
s s
∴ =
+ + 2 4 3
s
s s+ +
( )F s ( )Y s
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
 Ví dụ 4: Bộ khuếch ñại
( ) fRRH s k∴ = − =
k( )F s ( )Y s
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
( )F s +
−
+
−
+
−
R
( )Y s
 Ví dụ 5: Bộ tích phân
( )F s +
−
+
−
+
−
R
( )Y s
1/ Cs
1/1( ) RC kRCs s sH s −∴ = − = =
k
s
( )F s ( )Y s
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
 Ví dụ 6: Hệ thống bậc 1
ka
s a+
( )F s ( )Y s
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
( )F s +
−
+
−
+
−
R
( )Y s
1/ Cs
fR
1;f
f
R
R R Ck a= − =
( )F s +
−
+
−
+
−
R ( )Y s
1/ fC s
fR
1/ Cs ( )
( )
k s a
s b
+
+
( )F s ( )Y s
1 1; ;
f f f
C
C R C R Ck a b= − = =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Xác ñịnh ñáp ứng zero-state của hệ thống
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
2
b k
m m
b k
m m
s
s s
+
+ +
( )X s ( )Y s
Giả sử cho m=1, k=2, b=3  2
3 2( )
3 2
sH s
s s
+
=
+ +
Giả sử x(t)=u(t)  1( )X s
s
=
( )2
3 2( ) ( ) ( )
3 2
sY s H s X s
s s s
+
⇒ = =
+ +
Ví dụ: Xét hệ thống cơ học sau
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
1 1 2( )
1 2
Y s
s s s
⇔ = + −
+ +
( )2( ) 1 2 ( )t ty t e e u t− −⇒ = − −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
Nếu chọn m=1, k=5, b=2  2
2 5( )
2 5
sH s
s s
+
=
+ +
2
1 2 5( ) ( ) ( )
2 5
sY s X s H s
s s s
+   ⇒ = =    
+ +   
( )12( ) 1 c o s ( 2 ) s in 2 t ( )t ty t e t e u t− − ∴ = − + 
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC

 Giá trị bắt ñầu và kết thúc của ñáp ứng
( 0 ) l im ( )
s
y sY s+
→ ∞
=
0
l im ( ) lim ( )
t s
y t sY s
→ ∞ →
=
( )2
3 2
: ( )
3 2
sE x Y s
s s s
+
=
+ +
( )2
3 2( 0 ) l im 0
3 2s
sy s
s s s
+
→ ∞
+
= =
+ +
( )20
3 2lim ( ) l im 1
3 2t s
sy t s
s s s→ ∞ →
+
= =
+ +
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Khảo sát tính ổn ñịnh của hệ thống
Hàm truyền và ñáp ứng của hệ thống LTIC
 Các poles của hàm truyền H(s) chính là các modes ñặc trưng (xem
lại chương 2) nên tính ổn ñịnh của hệ thống tùy thuộc vào vị trí của
các poles trong mặt phẳng phức
 Hệ thống ổn ñịnh tiệm cận nếu: các poles nằm ở LHP
 Hệ thống ổn ñịnh biên nếu: không có pole nào ở RHP và có poles
ñơn trên trục ảo
 Hệ thống không ổn ñịnh nếu có
một trong 2 ðK: có pole ở RHP hoặc
có pole lặp trên trục ảo.
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Sơ ñồ khối và thực hiện hệ thống

 Sơ ñồ khối hệ thống

 Thực hiện hệ thống
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Sơ ñồ khối hệ thống

 Ghép Cascade:

 Ghép Parallel:

 Ghép Feedback:
1( )H s 2 ( )H s
( )F s ( )W s ( )Y s
= 1 2( ) ( )H s H s
( )F s ( )Y s
1( )H s( )F s ( )Y s
2 ( )H s
∑ = 1 2( ) ( )H s H s+
( )F s ( )Y s
=
( )
1 ( ) ( )
G s
G s H s+
( )F s ( )Y s( )G s
( )F s ( )Y s
( )H s
∑
( )E s
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Thực hiện hệ thống

 Xét hệ thống với:
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )
...
m m
m m
n n
n
b s b s b s bH s
s a s a s a
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +

 Ta có thể thực hiện hệ thống theo 3 cách khác nhau:
 Dạng trực tiếp
 Dạng nối tiếp
 Dạng song song
 Dựa trên cơ sở bộ tích phân hoặc vi phân + khuếch ñại & bộ cộng
 Thực tế không dùng bộ vi phân  không ổn ñịnh!!!

 Nếu m>n  H(s) là bộ vi phân bậc m-n  không xét trên thực tế!!!

 Bài toán tổng quát trên thực tế m≤n – tổng quát m=n:
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )
...
n n
n n
n n
n
b s b s b s bH s
s a s a s a
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Dạng trực tiếp

 Xét trường hợp ñơn giản:
3 2
3 2 1 0
3 2
2 1 0
( ) b s b s b s bH s
s a s a s a
+ + +
=
+ + +
3 2
3 2 1 0
3 2
2 1 0
b s b s b s b
s a s a s a
+ + +
+ + +
( )F s ( )Y s
3 2
2 1 0
1
s a s a s a+ + +
( )F s ( )Y s
3 2
3 2 1 0b s b s b s b+ + +
( )X s
1( )H s 2 ( )H s
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Dạng trực tiếp
1 3 2
2 1 0
1( )H s
s a s a s a
=
+ + +
1
s
1
s
1
s
3 ( )s X s
2 ( )s X s
( )sX s
( )X s
∑( )F s
2a
1a
0a
-
-
-
3 2
2 3 2 1 0( )H s b s b s b s b= + + +
3b ∑ ( )Y s
2b
1b
0b
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )
...
n n
n n
n n
n
b s b s b s bH s
s a s a s a
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +

 Tổng quát cho H(s) bậc n:
Dạng trực tiếp
1
s
1
s
1
s
( )ns X s
1 ( )ns X s−
( )sX s
( )X s
∑( )F s
1na −
n ka −
1a
-
-
-
nb ∑ ( )Y s
1nb −
n kb −
1b
1
s
( )n ks X s−
0a
-
0b
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Ví dụ: Vẽ sơ ñồ thực hiện hệ thống sau
5) 
2
a
s +
5) 
7
sb
s
+
+
) 
7
s
c
s +
2
4 28) 
6 5
sd
s s
+
+ +
Dạng trực tiếp
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Thực hiện theo dạng nối tiếp và song song
Ví dụ: xét hệ thống sau: 2
4 28( )
6 5
sH s
s s
+
=
+ +
4 28 1( )
1 5
sH s
s s
+   ⇒ =    
+ +   
6 2( )
1 5
H s
s s
⇒ = −
+ +
4 28
1
s
s
+
+
( )F s ( )Y s1
5s +
6
1s +( )F s ( )Y s
2
5s +
∑
−
+

 Thực hiện H(s) có các poles thực ñơn:
 Dạng nối tiếp:
 Dạng song song:
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Ví dụ: xét hệ thống sau:
2
2
7 37 51( ) ( 2)( 3)
s sH s
s s
+ +
=
+ +

 Thực hiện H(s) có nghiệm lặp lại:
2
5 2 3( )
2 3 ( 3)H s s s s⇒ = + −+ + +
5
2s +( )F s ( )Y s
1
3s +
∑
−
+
1
3s + 3
2 +
Thực hiện theo dạng nối tiếp và song song
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Ví dụ: xét hệ thống sau: 2
10 50( ) ( 3)( 4 13)
sH s
s s s
+
=
+ + +

 Thực hiện H(s) có các cực liên hiệp phức:
2 1 2 1 2( )
3 2 3 2 3
j jH s
s s j s j
+ −
⇒ = − −
+ + − + +
2
2 2 8( )
3 4 13
sH s
s s s
−
⇔ = −
+ + +
2
3s +( )F s ( )Y s
2
2 8
4 13
s
s s
−
+ +
∑
−
+
Không
thực
hiện
ñược
Thực hiện theo dạng nối tiếp và song song
Thực hiện theo dạng trực tiếp
Thực hiện nhờ hệ thống bậc 2
13
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Thực hiện hệ thống dùng Op-amp
2
2 5
: ( )
4 10
sEx H s
s s
+
=
+ +