Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Hệ thống LTI - Đặng Quang Hiếu

ET 2060
Hệ thống LTI
TS. Đặng Quang Hiếu
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Outline
Phép chập
Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI
Biểu diễn hệ thống LTI
Phép chập (1)
Xét hệ thống LTI rời rạc
x [n]
T−→ y [n]; y [n] = T{x [n]}
Biểu diễn đầu vào x [n] theo hàm xung đơn vị
x [n] =
∞∑
k=−∞
x [k]δ[n − k]
và áp dụng tính chất tuyến tính, ta có:
y [n] =
∞∑
k=−∞
x [k]T{δ[n − k]}
Phép chập (2)
Với h[n] là đáp ứng của hệ thống T khi đầu vào là hàm xung đơn
vị, h[n] = T{δ[n]} (h[n] gọi là đáp ứng xung của hệ thống)
δ[n] h[n]
T
và áp dụng tính chất bất biến theo thời gian, ta có:
y [n] =
∞∑
k=−∞
x [k]h[n − k] := x [n] ∗ h[n]
Đầu ra y [n] được tính bằng phép chập (convolution) của đầu vào
x [n] và đáp ứng xung h[n] của hệ thống.
Các bước để tính phép chập
Cách tính y(n0)
y [n0] =
∞∑
k=−∞
x [k]h[n0 − k]
Thực hiện trên đồ thị!
1. Lấy đối xứng qua trục tung: h[k] → h[−k]
2. Dịch theo trục hoành: Dịch h[−k] đi n0 để được dãy
h[n0 − k], trái / phải?
3. Nhân hai dãy: vn0 [k] = x [k]h[n0 − k]
4. Tính tổng: Cộng tất cả các phần tử (khác không) của dãy
vn0 [k] thì được y [n0]
Tính phép chập bằng đồ thị (1)
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b b b
b b b b b
b b b k
x [k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b b b b
b
b
b
b
b b b k
h[k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b
b
b
b
b
b b b b b b k
h[−k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b b b
b
b
b b b b b b k
v0[k]
y [0] = 0.75+ 1
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b
b
b
b
b b b b b b b k
h[−1− k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b b b
b
b b b b b b b k
v−1[k]
y [−1] = 1
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b b
b
b
b
b
b b b b b k
h[1− k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
b b b
b
b
b
b b b b b k
v1[k]
y [1] = 0.5+ 0.75+ 1
Tính phép chập bằng đồ thị (2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4
b b b
b b b b b
b b b b b
n
x [n]
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4
b b b b
b
b
b
b
b b b b b
n
h[n]
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4
b b b
b
b
b
b b
b
b
b
b b
n
y [n]
Tính phép chập bằng đồ thị (3)
Ví dụ: Hệ thống đáp ứng xung h[n] = rectN [n] := u[n]− u[n−N],
hãy tìm đầu ra y [n] khi có đầu vào như sau:
x [n] =
{
n+3
4 , −3 ≤ n ≤ 1
0, n còn lại
Một số nhận xét:
◮ Nếu x [n] là dãy có chiều dài hữu hạn L: x [n] = 0,
∀n /∈ [N1,N1 + L− 1], và h[n] là dãy có chiều dài hữu hạn M:
h[n] = 0, ∀n /∈ [N2,N2 +M − 1]. Hãy xác định chiều dài hữu
hạn của y [n]?
◮ Nếu x [n] hoặc h[n] dịch đi một đoạn N mẫu thì y [n] thay đổi
như thế nào?
◮ Khi h[n] = δ[n]?
◮ Tính trên Matlab?
Phép chập cho tín hiệu liên tục (1)
Biểu diễn đầu vào theo hàm xung đơn vị
x(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)δ(t − τ)dτ
Gọi h(t) là đáp ứng xung của hệ thống, áp dụng tính chất tuyến
tính + bất biến theo thời gian, ta có mối quan hệ:
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ := x(t) ∗ h(t)
Ví dụ: Cho mạch điện RC nối tiếp với RC = 1[s], hãy tính điện áp
y(t) trên tụ khi điện áp giữa hai đầu mạch điện là xung vuông:
x(t) = u(t)− u(t − 2)
Gợi ý: Đáp ứng xung của hệ thống là h(t) = e−tu(t)
Phép chập cho tín hiệu liên tục (2)
1
2
τ
x(τ)
1
τ
h(τ)
1
τ
h(t0 − τ)
1
τ
vt0(τ)
y(t0)
1
2
t
y(t)
Outline
Phép chập
Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI
Biểu diễn hệ thống LTI
Tính chất giao hoán
x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n]
Hệ thống LTI:
x [n] y [n]
h[n]
h[n] y [n]
x [n]
Tính chất kết hợp
(x [n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n] = x [n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n])
Ghép nối tiếp các hệ thống LTI:
x [n] y [n]
h1[n] h2[n]
x [n] y [n]
h1[n] ∗ h2[n]
Tính chất phân phối
x [n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = (x [n] ∗ h1[n]) + (x [n] ∗ h2[n])
Ghép song song các hệ thống LTI:
+
x [n] y [n]
h1[n]
h2[n]
x [n] y [n]
h1[n] + h2[n]
Hệ thống LTI không có nhớ
y [n] = x [n] ∗ h[n]
Áp dụng tính chất giao hoán, ta có:
y [n] = h[n] ∗ x [n] =
∞∑
−∞
h[k]x [n − k]
Hệ thống không có nhớ: y [n] chỉ phụ thuộc vào x [n], do đó:
h[k] = 0, ∀k 6= 0
tức là h[n] = Cδ[n], trong đó C là hằng số. Khi đó, ta có hệ thống:
y [n] = x [n] ∗ Cδ[n] = Cx [n]
Nghịch đảo một hệ thống LTI
x [n] x [n]
h[n] h1[n]
Điều kiện:
h[n] ∗ h1[n] = δ[n]
Ví dụ: Xét nghịch đảo của các hệ thống LTI sau:
(a) h[n] = δ[n − n0]
(b) h[n] = u[n]
Hệ thống LTI nhân quả
Áp dụng tính chất giao hoán, ta có:
y [n] = · · ·+h[−2]x [n+2]+h[−1]x [n+1]+h[0]x [n]+h[1]x [n−1]+· · ·
Do vậy, hệ thống nhân quả khi và chỉ khi
h[k] = 0, ∀k < 0
Tín hiệu nhân quả: x [n] = 0, ∀n < 0.
Hệ thống LTI ổn định
Điều kiện cần và đủ:
∞∑
n=−∞
|h[n]| <∞
Chứng minh điều kiện đủ: dễ dàng
Chứng minh điều kiện cần: a→ b ≡ b¯ → a¯
◮ Chỉ ra nếu
∑∞
n=−∞ |h[n]| =∞ thì có ít nhất một trường hợp
hệ thống có đầu vào bị chặn mà đầu ra không bị chặn.
◮ Chọn đầu vào như sau:
x [n] =
{
h∗[−n]
|h[−n]| h[n] 6= 0
0, h[n] = 0
◮ Đầu ra tại n = 0?
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống h[n] = anu[n].
Đáp ứng nhảy của hệ thống LTI
Xét hệ thống LTI với đầu vào là hàm nhảy đơn vị, khi đó đầu ra
được gọi là đáp ứng nhảy (step response) của hệ thống
s[n] = u[n] ∗ h[n]
u[n] s[n]
h[n]
Áp dụng tính chất giao hoán,
s[n] = h[n] ∗ u[n] =
n∑
k=−∞
h[k]
Ngược lại, ta có: h[n] = s[n]− s[n − 1]
Bài tập về nhà (1)
1. Viết lại các tính chất của hệ thống LTI cho trường hợp tín
hiệu liên tục
2. Làm các bài tập chương 2
3. Viết chương trình Matlab myconv để tính chập giữa hai tín
hiệu rời rạc. So sánh tốc độ với hàm có sẵn conv bằng lệnh
profile
4. Dùng Matlab để vẽ đáp ứng nhảy s[n] của hệ thống LTI nếu
biết trước đáp ứng xung h[n].
5. Viết chương trình Matlab để vẽ chập giữa hai tín hiệu liên
tục. Có thể sử dụng hàm myconv đã viết không? So sánh kết
quả trên cùng một đồ thị.
Outline
Phép chập
Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI
Biểu diễn hệ thống LTI
Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
N∑
k=0
ak
dk
dtk
y(t) =
M∑
k=0
bk
dk
dtk
y(t)
◮ Tìm yh(t) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
N∑
k=0
ak
dk
dtk
y(t) = 0 =⇒ yh(t) =
N∑
i=0
cie
ri t
Phương trình đặc trưng:
∑N
k=0 akr
k = 0
◮ Tìm nghiệm riêng yp(t) có dạng tương tự như x(t).
◮ Tìm các hệ số của nghiệm tổng quát sao cho nghiệm
y(t) = yh(t) + yp(t) thỏa mãn các điều kiện đầu.
Ví dụ: Xét mạch điện RC: y(t) + RC ddt y(t) = x(t). Tìm y(t)
(t > 0) khi x(t) = cos(ω0t)u(t) và y(0) = 2 [V], R = 1 [Ω],
C = 1 [F].
Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
N∑
k=0
aky [n − k] =
M∑
k=0
bkx [n − k]
◮ FIR Hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn: N = 0
◮ IIR Hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn: N > 0
Cách giải tương tự!
Lưu ý:
◮ Nghiệm tổng quát
yh[n] =
N∑
i=1
ci r
n
i
◮ Phương trình đặc trưng
N∑
k=0
ak r
N−k = 0
Thực hiện hệ thống LTI: Các phần tử cơ bản
x [n]
a
ax [n] x(t)
a
ax(t)
x1[n]
x2[n]
x1[n] + x2[n]+ x1(t)
x2(t)
x1(t) + x2(t)+
x [n] x [n − 1]D x(t) dx(t)
dt
D
Thực hiện hệ thống LTI: Sơ đồ loại I
y [n] = −
N∑
k=1
aky [n − k] +
M∑
r=0
brx [n − r ]
x [n] y [n]
b0
b1
b2
+
+
+
+
D
D
D
D
−a1
−a2
Thực hiện hệ thống LTI: Sơ đồ loại II
b
b
b
x [n] y [n]
b0
b1
b2
+
+
+
+
D
D
−a1
−a2
Phép tương quan
So sánh mức độ giống nhau giữa hai dãy (tín hiệu).
Tương quan chéo:
rxy [n] =
∞∑
m=−∞
x [m]y [m − n]
Tự tương quan:
rxx [n] =
∞∑
m=−∞
x [m]x [m − n]
Cách tính tương quan?
Matlab?
Ứng dụng: Radar (1)
Phát đi tín hiệu qua kênh truyền có nhiễu trắng và trễ một khoảng
thời gian τ không biết trước.
0 1 2
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time [sec]
Am
pl
itu
de
Transmitted waveform
0 1 2
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time [sec]
Am
pl
itu
de
Received waveform
Ứng dụng: Radar (2)
So sánh vị trí tại đó hàm tương quan chéo nhận giá trị lớn nhất và
τ = 0.88 s (trong trường hợp SNR = 20 dB)
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.5
0
0.5
1
delay [sec]
xc
o
rr
Cross correlation
Cross−correlation
True delay
Bài tập về nhà (2)
1. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng trên Matlab.
2. Viết lại chương trình Matlab minh họa ứng dụng radar.