Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 9: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn theo thời gian - Đỗ Tú Anh

àn bất kể giá trị tần số ω của nó
là gì. Nhưng một dãy sin cos Ωk là tuần hoàn chỉ với những giá trị
Ω thỏa mãn Ω/2π là số hữu tỷ
ƒ Giá trị nhỏ nhất của N0 được thỏa mãn đgl chu kỳ của f[k]
mỗi chu kỳ chứa 6 mẫu
Chu kỳ bắt đầu tại k = 0 có mẫu (giá trị) cuối cùng đặt 
tại k = N0 – 1 = 5 (không phải tại k = N0 = 6)
Một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại k = -∞ (tín hiệu vô hạn)
11EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dãy sin
ƒ Nếu một dãy cos Ωk là tuần hoàn với chu kỳ N0 thì
ƒ Điều này chỉ có được nếu ΩN0 là một số nguyên lần của 2π
tức là
m nguyên (7.1)
ƒ Do cả m và N0 đều là số nguyên. Biểu thức (7.1) chỉ ra rằng dãy sin 
cos Ωk là tuần hoàn chỉ khi [Ω/2π] là một số hữu tỷ.
ƒ
ƒ Chọn giá trị nhỏ nhất của m làm cho m(2π /Ω) là số nguyên
ƒ Ví dụ: Nếu Ω = 4π/17, thì giá trị nhỏ nhất của m làm cho m(2π /Ω) = 
m(17/2) là số nguyên là 2. Do đó
12EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dãy sin - Sự tuần hoàn
2 8π Ω =
2 8.5π Ω =
2 2.5π πΩ =
13EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dãy sin – Sự không duy nhất
2. Một dãy sin cos Ωk không có một dạng sóng duy nhất với mỗi Ω. 
m nguyên
Ví dụ: Hai tín hiệu sin khác nhau có cùng một dãy sin
14EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dãy biến thiên theo hàm mũ
ƒ Biên độ thay đổi 
ƒ Ví dụ
1γ <
Biên độ
giảm dần
1γ >
Biên độ 
tăng dần
15
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống
gián đoạn
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian
7.1.1 Giới thiệu chung
7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích
7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu
7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn
7.2 Hệ thống gián đoạn
16EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dịch thời gian/ Đảo thời gian
ƒ Dịch thời gian: f[k-m] biểu diễn f[k] bị dịch (thời gian) bởi m
Nếu m dương, dịch sang phải (trễ)
Nếu m âm, dịch sang trái (vượt)
với
với
hay
ƒ Đảo thời gian: thay k bởi -k
với
tức là
17EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Co giãn thời gian
ƒ Nén thời gian: Downsampling
Phép toán này làm mất một phần dữ liệu. Trong trường hợp thời 
gian liên tục, nên thời gian chỉ đơn giản là làm tăng tốc tín hiệu mà
không làm mất dữ liệu
ƒ Giãn thời gian: 
ƒ Nội suy: Upsampling 
Khi giãn thời gian, các thời điểm lẫy mẫu bị bỏ qua sẽ được khôi 
phục từ các giá trị mẫu khác không sử dụng công thức nội suy
18EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Co giãn thời gian
ƒ Nội suy:
ƒ Nén thời gian: 
ƒ Giãn thời gian: 
19EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống
gián đoạn
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian
7.1.1 Giới thiệu chung
7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích
7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu
7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn
7.2 Hệ thống gián đoạn
20EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng
ƒ Trường hợp này, bản chất của các tín hiệu là gián đoạn theo thời gian 
f[k] = tiền gửi ở thời điểm thứ k
y[k] = số dư tài khoản ở thời điểm thứ k được tính ngay sau 
khi nhận được khoản tiền gửi f[k]
r = lãi suất kỳ hạn T
ƒ Số dư y[k] là tổng của (i) số dư trước đó y[k-1], (ii) lãi suất trên y[k-1] 
trong kỳ hạn T, và (iii) tiền gửi f[k] 
ƒ Tiền gửi f[k] là đầu vào (kích thích) và số dư y[k] là đầu ra (đáp ứng)
ƒ Để hiện thực hóa hệ thống, ta viết lại thành
21EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng
22EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống
gián đoạn
23EE3000-Tín hiệu và hệ thống
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian
7.2 Hệ thống gián đoạn
7.2.1 Phương trình sai phân
7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
Đáp ứng đầu vào không
7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị
7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
Đáp ứg trạng thái không
7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn
Phương trình sai phân
ƒ Có ba cách biểu diễn
ƒ Tổng quát cho phương trình sai phân cấp n
1) Sử dụng toán tử dịch tiến
Hệ số của y[k+n] bằng 1 để chuẩn hóa phương trình
2) Thay k bởi k + n (Sử dụng toán tử dịch lùi)
24EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Phương trình sai phân
3) Sử dụng các điều kiện đầu
ƒ y[n], đầu ra tại mẫu thứ k, được tính toán từ 2n + 1 thông tin
- n giá trị quá khứ của đầu ra: y[k-1], y[k-2], , y[k-2],
- n giá trị quá khứ của đầu vào: f[k-1], f[k-2], , f[k-n], và
- giá trị hiện tại của đầu vào f[k]
ƒ Nếu tín hiệu vào là nhân quả, thì f[-1] = f[-2] =  = f[-n] = 0, và
chúng ta chỉ cần n điều kiện đầu y[-1], y[-2], , y[-n]
25EE3000-Tín hiệu và hệ thống
PT sai phân – Điều kiện đầu
ƒ Sử dụng các điều kiện đầu
ƒ Hệ thống đệ quy (Recursive systems): cho phép chúng ta tính 
toán đầu ra y[0], y[1], y[2], y[3],  bằng cách lặp hoặc truy hồi
ƒ Ví dụ, để tìm y[0], ta đặt k = 0.
- Vế trái là y[0], và vế phải chứa các thành phần y[-1], y[-2], , y[-n] 
và các giá trị đầu vào f[0], f[-1], f[-2], , f[-n].
- Nếu biết các điều kiện đầu này, ta có thể dùng phép lặp để tìm đáp 
ứng y[0], y[1], y[2], y[3],  v.v
ƒ Hệ thống không đệ quy: là một trường hợp đặc biệt của hệ thống đệ
quy với
26EE3000-Tín hiệu và hệ thống
PT sai phân – Điều kiện đầu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Giải bằng phương pháp lặp
1) Điều kiện đầu y[-1] = 16 và
2) Đầu vào nhân quả f[k] = k2 (bđ tại k = 0)
ƒ Phương trình này có thể biểu diễn là
ƒ Nếu đặt k = 0
ƒ Đặt k = 1 và sử dụng giá trị y[0] = 8 và f[1] = (1)2 =1, ta có
ƒ Đặt k = 2 và sử dụng giá trị y[1] = 5 và f[2] = (2)2, ta có
27
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống
gián đoạn
28EE3000-Tín hiệu và hệ thống
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian
7.2 Hệ thống gián đoạn
7.2.1 Phương trình sai phân
7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
Đáp ứng đầu vào không
7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị
7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
Đáp ứg trạng thái không
7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn
Đáp ứng đầu vào không
ƒ Phương trình đặc tính
1
1 1 0 0
n n
na a aγ γ γ−−+ + + + ="
1 2( )( ) ( ) 0nγ γ γ γ γ γ− − − =
[ ]0 1 1 2 2k k kn ny k c c cγ γ γ= + + +"
ƒ Nghiệm phân biệt
[ ] 2 10 1 2 3 1 1 1( )r k k kr r r n ny k c c k c k c k c cγ γ γ− + += + + + + + + +" "ƒ Nghiệm bội r
je βγ γ= je βγ γ∗ −=ƒ Nghiệm phức (Dạng cực) và
[ ] ( )0 1 2 kky k c cγ γ ∗= + 1 ( 2) jc c e θ= 2 ( 2) jc c e θ−=và
[ ] ( ) ( )0 2( 2) [ ]k j k k j ky k c e c eβ θ β θγ γ+ − += +
[ ]0 cos( )ky k c kγ β θ= +
[ ]0 1 2k j k jy k c e c eβ βγ γ −= +
29EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ
ƒ Phương trình sai phân
1) Điều kiện đầu y[-1] = 0 và y[-2] = 25/4, và đầu vào f[k] = 4 - ku[k]
Trong ví dụ này ta chỉ xác định thành phần đáp ứng đầu vào không y0[k]
ƒ Phương trình hệ thống biểu diễn dạng toán tử là
ƒ Đa thức đặc tính là
ƒ Phương trình đặc tính là
vàƒ Các nghiệm đặc tính là
ƒ Đáp ứng đầu vào không là
ƒ Để xác định các hằng số c1 và c2, ta đặt k = -1 và -2, sau đó thay y0[-1] = 0 và
y0[-2] = 25/4 để nhận được
30ƒ Do đó
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ
ƒ Trường hợp 2: Nghiệm bội. Ví dụ, cho hệ thống được mô tả bởi 
phương trình
ƒ Xác định y0[k], đáp ứng đầu vào không với các điều kiện đầu là y0[-1] = 
-1/3 và y0[-2] = -2/9 
ƒ Đa thức đặc tính là
ƒ Các nghiệm bội đặc tính là
ƒ Đáp ứng đầu vào không là
ƒ Các chế độ đặc tính là và
ƒ Xác định các hằng số c1 và c2 từ các điều kiện đầu
ƒ Và c1 = 4 và c2 = 3 để có
31EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ
ƒ Trường hợp 3: Nghiệm phức. 
Với các điều kiện đầu là y0[-1] = 2 và y0[-2] = 1 
ƒ Đa thức đặc tính là
ƒ Các nghiệm đặc tính là hay
ƒ Do đó và và đáp ứng đầu vào không là
ƒ Để xác định các hằng số c và θ, ta đặt k = -1 và -2, sau đó thay y0[-1] 
= 2 và y0[-2] = 1 để nhận được
32EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ
hay
ƒ Hai phương trình đồng thời với hai biến là c cosθ và c sinθ
ƒ Nghiệm của các phương trình này là
và
ƒ Chia c sinθ cho c cosθ nhận được 
ƒ Thay θ = -0.17 radian vào c cosθ = 2.308 nhận được c = 2.34 và
33EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống
gián đoạn
34EE3000-Tín hiệu và hệ thống
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian
7.2 Hệ thống gián đoạn
7.2.1 Phương trình sai phân
7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
Đáp ứng đầu vào không
7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị
7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
Đáp ứg trạng thái không
7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn
Xung Kronecker & Đáp ứng xung đơn vị
ƒ Gọi δ[n] là xung gián đoạn theo thời gian, còn gọi là xung Kronecker
ƒ Đáp ứng xung h[n]: đáp ứng của hệ LTI rời rạc với xung gián đoạn 
theo thời gian 
ƒ Một cách dễ hiểu, nó tương ứng với việc đưa vào hệ thống một tác 
động tức thời tại n = 0 và xem điều gì sẽ xảy ra
35EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các xung đơn vị/Dịch thời gian 
ƒ Ý tưởng: sử dụng tập (vô hạn) các xung đơn vị để biểu diễn tín hiệu 
gian đoạn
ƒ Xét một tín hiệu gián đoạn x[n] bất kỳ. Nó có thể được viết thành tổ
hợp tuyến tính của các xung đơn vị
Giá trị thực Xung bị dịch
ƒ Do đó tín hiệu có thể được biểu diễn thành
ƒ Tổng quát, một tín hiệu gián đoạn bất kỳ có thể mô tả bởi
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 36
Ví dụ 1: Các xung đơn vị
ƒ Tín hiệu gián đoạn x[n]
ƒ Được phân tích thành tổng của 
các thành phần sau
37EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ 2: Các loại đáp ứng xung đơn vị
Đáp ứng xung hữu hạn, ổn định, nhân quả
ƒ Nhìn vào đáp ứng xung, ta 
có thể xác định được một số
tính chất của hệ thống
Đáp ứng xung vô hạn, ổn định, nhân quả
Đáp ứng xung vô hạn, không ổn định, nhân quả
38EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống rời
rạc
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian
7.2 Hệ thống gián đoạn
7.2.1 Phương trình sai phân
7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
Đáp ứng đầu vào không
7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị
7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
Đáp ứg trạng thái không
7.2.4 Các tính chất hệ gián đoạn
39EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng hệ LTI rời rạcc
ƒ Đáp ứng xung 
ƒ Đầu vào bất kỳ
ƒ Đáp ứng với đầu vào bất kỳ
= tích chập
40EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tích chập
ƒ Tích chập gián
đoạn theo thời gian
ƒ Tích chập liên
tục theo thời gian
ƒ Với mỗi giá trị của n, ta
tính toán một tổng mới
ƒ Với mỗi giá trị của n, 
ta tính toán một tích
phân mới
Hệ LTI được
biểu diễn bởi
đáp ứng xung
Hệ LTI được
biểu diễn bởi
đáp ứng xung
41EE3000-Tín hiệu và hệ thống