Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ. Biến đổi Laplace ngược, các tính chất - Đỗ Tú Anh

place
6.4 Hàm truyền đạt
5EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
6EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tại sao cần phép biến đổi Laplace?
ƒ Ta có
ƒ Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó. 
ƒ Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức
s jσ ω= +
7EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là
Định nghĩa phép biến đổi Laplace
ƒ Giải thích bằng phép biến đổi Fourier
ƒ Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của
tín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực te σ−
8EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
9Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả
chỉ tồn tại khi a > 0
ƒ Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có
ƒ Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi
giá trị σ > -a
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
10EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Do s = σ+jω, ta viết lại thành
ƒ Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω).
Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω).
ƒ Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ
Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
11
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả
Ảnh Laplace của nó là
ƒ Miền hội tụ
Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier
Biến đổi Laplace: Ví dụ 2
12EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Sơ đồ điểm không/điểm cực
ƒ Ảnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là
( )( ) ,
( )
B sX s
A s
= với s thuộc miền hội tụ (MHT)
trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s
ƒ M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace
N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace.
ƒ Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm
không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT.
ƒ Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng
s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài
MHT. 
13EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả
có ảnh Laplace là
ƒ Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức
Điểm
không
Điểm
cực
Biến đổi Laplace: Ví dụ 3
14EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
15EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các tính chất của miền hội tụ
ƒ Với tín hiệu một phía phải
1( ) 0, .x t t t= >
{
ƒ Với tín hiệu một phía trái
2( ) 0, .x t t t= <
} maxRe ,s σ>
trong đó σmax là phần thực lớn nhất
của các điểm cực
MHT:
{ } minRe ,s σ<
trong đó σmin là phần thực nhỏ nhất
của các điểm cực
MHT:
0
t
1t
( )x t
( )x t
0
t
2t
16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
( )x t
0
t
ƒ Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa là
một phía trái
1 2( ) 0, .x t t t t t= 
MHT: toàn bộ mặt phẳng s
ƒ Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên)
{ }1 2Re ,sσ σ< <
trong đó σ1 và σ2 là các phần thực
của (ít nhất) hai điểm cực
MHT:
Các tính chất của miền hội tụ
( )x t
0 t1t 2t
2( )x t
sdfssdfdsfs	
1( )x t
sdfssdf	
17EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xét tín hiệu hai phía ( ) ( ) ( )at atx t e u t e u t−= − −
( )x t
0
( 0)a >
t
( )x t
0
( 0)a <
t
ƒ Do đó 1 1( ) , Re ,X s a a
s a s a
= + − < <+ −
2 2
2 Re ,s a a
s a
= − < <−
ƒ Từ các ví dụ trên ta có
{ }1 1( ) , ReX s s as a= > −+ { }2
1( ) , ReX s s a
s a
= <−và
σ
jω
a− a× ×
Miền hội tụ: Ví dụ
18EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
19
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi
Fourier ngược.
ƒ Do ( ) ( ) ,t j t
Biến đổi Laplace ngược
X j x t e e dtσ ωσ ω
∞
− −
−∞
⎡ ⎤+ = ⎣ ⎦∫
nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là
1( ) ( )
2
t j tx t e X j e dσ ωσ ω ωπ
∞
−
−∞
= +∫
ƒ Nhân cả hai vế với eσt, ta có
( )1( ) ( )
2
j tx t X j e dσ ωσ ω ωπ
∞
+
−∞
= +∫
ƒ Thay s = σ+jω và ds=jdω,
1 ( ) ( ) 
2
j
st
j
x t X s e ds
j
σ
σπ
+ ∞
− ∞
= ∫
nằm trong MHT
20EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
ƒ Cho hàm phân thức bậc 2
được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản
ƒ Có 3 khả năng của MHT
và
21EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
ƒ Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu một phía phải
ƒ Ta có
ƒ Do đó ảnh Laplace của
là
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 22
ƒ Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía
ƒ Ta có
ƒ Do đó ảnh Laplace của
là
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 23
ƒ Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái
ƒ Ta có
ƒ Do đó ảnh Laplace của
là
Các cặp biến đổi Laplace
24EE3000-Tín hiệu và hệ thống
25EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
26
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tuyến tính
ƒ Cho các tín hiệu x1(t) và x2(t) có các ảnh Laplace là X1(jω) và X2(jω)
với các MHT tương ứng R1 và R2
ƒ Ta có 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aX s bX s+ ↔ +
MHT: 1 2R R R′ ⊃ ∩
ƒ Thông thường, khi không có sự triệt tiêu điểm cực/điểm không
1 2R R R′ = ∩
ƒ Khi R1 và R2 không giao nhau, R’ là tập rỗng
ảnh Laplace của 1 2( ) ( )ax t bx t+ không tồn tại
27
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tuyến tính: Ví dụ
ƒ Xét hai tín hiệu x1(t) và x2(t) sau
1( ) ( ),
atx t e u t−=
2 ( ) ( ) ( )
at atx t e u t e u t−= − −
1
1( ) , Re{ }>X s s a
s a
= −+
2
2( ) , Re{ }<
( )( )
sX s a s a
s a s a
= − <+ −
ƒ Tổng của hai tín hiệu 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= +
1 2
1 2 3( ) ( ) ( ) ,
( )( ) ( )( )
s s aX s X s X s
s a s a s a s a s a
−= + = + =+ + − + −
Do đó 1 2 2R R R R′ = ∩ =
ƒ Hiệu của hai tín hiệu 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= −
1 2
1 2 1( ) ( ) ( ) ,
( )( )
sX s X s X s
s a s a s a s a
−= − = − =+ + − −
Do đó, MHT R’ lớn hơn 1 2R R∩
Re{ }a s a− < <
Re{ }s a<
28EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính dịch thời gian
ƒ Theo định nghĩa
{ }0 0( ) ( ) stL x t t x t t e dt∞ −−∞− = −∫
Đặt 0t tτ = −
{ } 0
0 0
0
( )
0
( )
( ) ( )
( )
( )
s t
st s t
st
L x t t x e d
e x e d
e X s
τ
τ
τ τ
τ τ
∞ − +
−∞
∞− − +
−∞
−
− =
=
=
∫
∫
0
0( ) ( ), 
stx t t e X s R R− ′− ↔ =ƒ Do đó
ƒ Cho tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) với MHT là R
29EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính dịch tần số (Điều chế)
ƒ Dễ dàng chứng minh được
{ }0 0 0( ) ( ), Res te x t X s s R R s′↔ − = +
ƒ Ví dụ { }1( ) , Reate u t s a
s a
− ↔ > −+
{ }1( ) , Re
( )
u t s a a
s a a
↔ > − +− +
{ }1( ) , Re 0u t s
s
↔ >
σ
jω
b c
R
σ
jω
{ }0Reb s+
R′
{ }0Rec s+
Tính co giãn
ƒ Ảnh Laplace của x(at) 
1( ) ( ), sx at X R aR
a a
′↔ =
30
σ
jω
b c
R R ′
σ
jω
ab ac
ƒ Đặc biệt khi a = -1, ta có
( ) ( ), x t X s R R′− ↔ − = −
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính đảo
thời gian
31EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đạo hàm và tích phân
MHTsẽ không thay đổi (R’ = R) nếu không có sự triệt tiêu điểm
không/điểm cực tại s = 0
ƒ Đạo hàm hai vế của biến đổi Laplace ngược theo thời gian t, ta suy ra
( ) ( ), dx t sX s R R
dt
′↔ ⊃
ƒ Ví dụ: { }1( ) , Re 0u t s
s
↔ >
( ) ( ) 1, du t t s
dt
δ= ↔ ∀
ƒ Theo tính chất đối ngẫu
( )( ) , dX stx t R R
ds
′− ↔ =
Đạo hàm và tích phân
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 32
ƒ Ảnh Laplace của tích phân của tín hiệu x(t)
{ }1( ) ( ), Re 0t x d X s R R s
s
τ τ−∞ ′↔ ⊃ ∩ >∫
ƒ Ví dụ:
Đáp ứng xung
Đáp ứng bước nhảy với a > 0
{ }1( ) ( ) ( ) , Reath t e u t H s s a
s a
−= ↔ = > −+
{ }1( ) ( ) , Re 0
( )
s t S s s
s s a
= ↔ = >+
33EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tích chập
( )x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ∞−∞= ∗ = −∫( )h t
Hệ LTI
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
st
st
st
Y s y t e
x h t d e dt
x h t e dt d
τ τ τ
τ τ τ
∞ −
−∞
∞ ∞ −
−∞ −∞
∞ ∞ −
−∞ −∞
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ∫
∫ ∫
ƒ Ta có
( )se H sτ−
( )( ) sx dH s e ττ τ∞ −−∞= ∫
Do đó ( ) ( ), ( ) y h xHY s X s R R Rs= ⊃ ∩
ƒ Thông thường nếu không có sự triệt tiêu điểm
không/điểm cực
y h xR R R= ∩
Tích chập: Ví dụ
34EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xét đáp ứng của hệ bậc 1 (có thể không ổn định) với tín hiệu vào x(t)
ƒ Lấy biến đổi Laplace
ƒ Do đó biến đổi Laplace của tín hiệu ra của hệ thống là
ƒ và biến đổi Laplace ngược là
35EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các tính chất của biến đổi Laplace
Tính chất Miền thời gian Ảnh Laplace MHT
Tuyến tính
1 2( ) ( )ax t bx t+ 1 2R R R′ ⊃ ∩1 2( ) ( )aX s bX s+
Dịch thời gian 0( )x t t− 0 ( )ste X s− R R′ =
Điều chế 0 ( ) s te x t 0( )X s s− { }0ReR R s′ = +
Co giãn trục ( ) x at 1 ( )sX
a a
R aR′ =
Đảo trục ( ) x t− ( )X s− R R′ = −
Đạo hàm ( )dx t
dt
( )sX s R R′ ⊃
( ) tx t− ( )dX sds R R′ =
Tích phân ( ) 
t
x dτ τ−∞∫ 1 ( )X ss { }Re 0R R s′ ⊃ ∩ >
Tích chập 1 2( ) ( )x t x t∗ 1 2( ) ( )X s X s 1 2R R R′ ⊃ ∩