Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục - Đỗ Tú Anh

hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá
trị không liên tục là hữu hạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
13
Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần
ƒ Xét tín hiệu (không tuần hoàn)
ƒ Do đó biến đổi Fourier là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
14
Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị
ƒ Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau
ƒ Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω
ƒ Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
15
Miền thời gian và miền tần số
ƒ Phân tích Fourier (Chuỗi hoặc Biến đổi) là phương pháp xác định
“bản chất” tần số của một tín hiệu cho trước, có nghĩa là, chuyển
từ miền thời gian sang miền tần số
ƒ Luôn có thể chuyển ngược lại từ miền tần số sang miền thời
gian, hoặc bằng cách lấy tổng các thành phần của chuỗi Fourier 
hoặc bằng biến đổi Fourier ngược
ƒ Cho trước tín hiệu x(t) trong miền thời gian, các hệ số chuỗi Fourier 
của nó (ak) hoặc biến đổi Fourier của nó (X(jω)) đgl phổ tần số
ƒ Nếu ak hoặc X(jω) là số phức, phổ tần số được quan sát thông
qua các đồ thị biên độ (|ak| hoặc |X(jω)|) và đồ thị pha
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
16
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
17
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
ƒ Với mọi t, x(t+T) = x(t)
ƒ Tín hiệu tuần hoàn được biểu
diễn bằng chuỗi Fourier
ƒ ak tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên
lần tần số cơ bản 1/T
ƒ Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier 
tồn tại
ƒ Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung
trong pbđ Fourier
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
18
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
ƒ Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số
ƒ Tín hiệu x(t) tương ứng là
là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π/ω0
ƒ Tổng quát hơn, xét dãy xung
ƒ Tín hiệu x(t) tương ứng là
ƒ Phép biến đổi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn là một dãy các
xung đặt tại các tần số hài với độ lớn 2πak
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
19
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
ƒ Xét tín hiệu tuần hoàn x(t) sau:
ƒ Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
20
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
ƒ Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là
0 11
0 1 0
0 1
0
sin( )4( ) ( ) 2 ( )
k
k
k TTX j T k
T k T
ωπω δ ω ω δ ω ωω
∞
=−∞≠
= − −∑
ƒ Đồ thj của X(j ω) theo ω
0 0ω 02ω02ω− 0ω− ω
14 T Tπ
( )X jω
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
21
Ví dụ 2: Dãy xung đều
ƒ Dãy xung đều rất hữu ích trong việc phân tích các hệ thống (các bộ
trích mẫu, tổng hợp tiếng nói, ):
( ) ( )
k
x t t kTδ∞
=−∞
= −∑
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier là:
t0 T 2T-T-2T
x(t)
1
0
2
2
1 1( )
T jk t
k T
a t e dt
T T
ωδ −−= =∫ với mọi k
ƒ Do đó biến đổi Fourier của x(t) là
0 0( ) ( )
k
X j kω ω δ ω ω∞
=−∞
= −∑ 
( )X jω
ω
0ω0ω− 02ω02ω− 0
0ω
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
22
Một số hàm đặc biệt
ƒ Hàm cửa sổ
ƒ Hàm tam giác
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
23
Một số hàm đặc biệt
sin sinc( ) xx
x
= là hàm đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn đgl hàm lọc hay hàm nội suy
ƒ sinc(x) là hàm chẵn của biến x
ƒ sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi , 2 , 3 ,x π π π= ± ± ± 
ƒ Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1
ƒ sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần
theo hàm 1/x
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
24
Bảng biến đổi Fourier
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
25
Bảng biến đổi Fourier
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
26
Matlab
ƒ Để tìm biến đổi Fourier cho tín hiệu liên tục, chúng ta gõ như sau
ƒ Cũng chú ý rằng, để tìm biến đổi Fourier ngược, dùng hàm ifourier()
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
27
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
28
Tính chất tuyến tính
ƒ Nếu
và
thì
ƒ Chứng minh từ định nghĩa của biến đổi Fourier (vì toán tử tích phân
là tuyến tính)
ƒ Được mở rộng cho tổ hợp của một số bất kỳ các tín hiệu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
29
Tính chất dịch thời gian
ƒ Nếu
thì
ƒ Chứng minh
Thay thế t bởi t – t0
Do đó
ƒ Một tín hiệu bị dịch trong miền thời gian:
– Không thay đổi biên độ của ảnh Fourier
– Dịch pha của ảnh Fourier đi bởi –ωt0 (dịch pha tuyến tính)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
30
Tính chất dịch tần số
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
31
Tính chất co giãn thời gian/tần số
( ) ( )
1( ) ( )
x t X j
jx at X
a a
ω
ω
↔
↔ a là hằng số thực
ƒ |a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số
|a|>1: giãn trục thời gian, nén trục tần số
ƒ Mở rộng trong miền thời gian tỷ lệ nghịch với mở rộng trong miền
tần số (còn gọi là băng thông)
x(t) rộng hơn ↔ phổ hẹp hơn
x(t) hẹp hơn ↔ phổ rộng hơn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
32
Ví du: Co giãn thời gian/tần số
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
33
Đạo hàm và tích phân
ƒ Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp
ƒ Do đó
ƒ Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép
nhân trong miền tần số
ƒ Tương tự với tích phân
Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
34
Ví dụ: Tín hiệu bước nhảy
ƒ Tìm ảnh Fourier của x(t) = u(t) 
ƒ Đã biết
và chú ý rằng
ƒ Sừ dụng tích chất tích phân
1( ) ( )u t
j
πδ ωω↔ +
( ) ( )
t
u t dδ τ τ−∞= ∫
( ) ( ) 1t jδ ω↔ ∆ =
ƒ Ngược lại chúng ta cũng có thể áp dụng tính chất đạo hàm
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
35
Tích chập
ƒ Hoán đổi thứ tự của phép tích phân
ƒ Từ tích chất dịch thời gian, 
thành phần trong ngoặc là
( ),je H jωτ ω− do đó
ƒ Ảnh Fourier của y(t) là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
36
Tích chập
ƒ Ảnh Fourier của tích chập: 
ƒ Tích chập trong miền thời gian tương ứng với tích đại số trong miền
tần số
ƒ Chú ý 
ƒ Ứng dụng: Tính đáp ứng của hệ LTI
1. Tính ảnh Fourier của x(t) và h(t)
2. Nhân
3. Tìm phép biến đổi Fourier ngược của
X(jω) với H(jω) để có Y(jω)
Y(jω)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
37
Ví dụ: Đáp ứng hệ LTI
ƒ Xét hệ LTI với đáp ứng xung
ƒ có tín hiệu vào
1. (BĐ Fourier) Chuyển những tín hiệu này sang miền tần số
3. (BĐ Fourier ngược) Do đó đáp ứng trong miền thời gian là
2. (Nhân) Đáp ứng trong miền tần số là
để chuyển sang miền thời gian, biểu diễn thành tổng các phân thức đơn giản
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
38
Tính chất nhân
ƒ Do tính đối xứng của phép biến đổi Fourier 
nên nếu
thì điều ngược
lại cúng đúng
Định nghĩa tích
chập theo ω
Một hệ quả của tính chất đối ngẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
39
Tính chất đối xứng
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu phức liên hiệp x*(t) là
{ }( ) ( )
( ) ( )
j t
j t
F x t x t e dt
x t e dt X j
ω
ω ω
∞∗ ∗ −
−∞
∗∞ − ∗
−∞
=
⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
ƒ Nếu x(t) là tín hiệu thực *( ) ( )X j X jω ω− =
Hàm lẻ
{ } { } ( ) Re ( ) Im ( ) X j X j X jω ω ω= + ( ) ( ) ( ) jX j X j e θ ωω ω=
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu thực là hàm đối xứng liên hợp theo ω
Hàm chẵn Hàm chẵnHàm lẻ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
40
Ví dụ: Hàm mũ tắt dần
ƒ Tín hiệu (không tuần hoàn)
có biến đổi Fourier là
Hàm chẵn
Hàm lẻ
 arctg
2 2
1( )
1 j a
X j
a j
e
a
ω
ω ω
ω
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
= +
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
41
Quan hệ Parseval
ƒ Sử dụng biến đổi Fourier để tính năng lượng của tín hiệu
2( )xE x t dt
∞
−∞= ∫
ƒ Đặt 2( ) ( ) ,g t x t= với ( ) ( ).g t G jω↔ Ta có (0)xE G=
ƒ Áp dụng tính chất nhân và liên hợp
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
g t x t x t G j X j X jω ω ωπ
∗ ∗= ↔ = ∗ −
ƒ Biểu diễn tích chập với ω = 0
21 1(0) ( ) ( ) | ( ) |
2 2x
E G X j X j d X j dλ λ λ λ λπ π
∞ ∞∗
−∞ −∞= = =∫ ∫
2 21 ( ) | ( ) | 
2
x t dt X j dω ωπ
∞ ∞
−∞ −∞=∫ ∫
ƒ Do đó
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
42
Các tính chất của BĐ Fourier: Tóm tắt
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
43
Ứng dụng 1: Điều chế biên độ
ƒ Điều chế: “Nhúng” một tín hiệu mang thông tin vào một tín hiệu khác, 
ví dụ: điều biên (AM), điều tần (FM) 
1 1( ) ( ) ( )
2 2
c cj t j ty t x t e x t eω ω−= +
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu y(t) 
( ) ( )cos( ) cy t x t tω=
Tín hiệu điều chế Tín hiệu được
điều chế
Tín hiệu mang
ƒ Điều biên: Biên độ của tín hiệu mang có dạng của tín hiệu cần truyền
tải
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
44
Ứng dụng 1: Điều chế biên độ
ƒ Phổ tần số của x(t) được dịch đi và có tâm đặt tại vàωc -ωc
ƒ Điều biên được sử dụng để chở một tín hiệu x(t) từ vị trí này đến vị
trí khác khi x(t) khôg thích hợp để truyền trên kênh có sẵn nhưng tín
hiệu điều chế y(t) có thể truyền đi được.
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
45
Ứng dụng 1: Điều chế biên độ
ƒ Giải điều chế: Tách tín hiệu mang thông tin từ tín hiệu điều chế
ƒ Nhân y(t) với tín hiệu mang
ƒ Ảnh Fourier của z(t)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
46
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Là thao tác quan trọng trong việc biến đổi một tín hiệu liên tục
thành tín hiệu gián đoạn
ƒ Nhân x(t) với dãy xung đều
chu kỳ
lấy mẫu
để có
ƒ Ảnh Fourier của y(t)
2
s T
πω =
47
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
48
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
49
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
trùng phổ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
50
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
ƒ Y(jω) chứa đựng các phiên bản của X(jω) đặt tại các tần số là số
nguyên lần của tần số lấy mẫu ωs
ƒ Nếu 2s bω ω> Không có hiện tượng trùng phổ
Tín hiệu x(t) có thể được khôi phục từ y(t)
Định lý lấy mẫu Shannon
ƒ Nếu 2s bω ω≤ Phải xử lý tín hiệu x(t) để có băng thông phù
hợp trước khi lấy mẫu tín hiệu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống