Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 4: Phép biến đổi Fourier

Bài 4: Phép biến đổi Fourier 
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục 
Định nghĩa : Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian ( Continous Time Fourier Transform- CTFT ) x a (t ) được xác định bởi : 
Thường được gọi là phổ của tín hiệu liên tục theo thời gian 
Công thức Euler: 
Với θ là số thực 
Biến đổi Fourier ngược của X a (j Ω ) được xác định bởi : 
Ω là số thực biểu diễn biến tần số góc liên tục theo thời gian ( tính bằng radian) 
Đại lượng | X a (j Ω )| được gọi là phổ cường độ của tín hiệu x a (t ) 
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian tồn tại nếu tín hiệu x a (t ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet 
Điều kiện Dirichlet 
Tín hiệu x a (t ) có giá trị giới hạn và có số thành phần giới hạn 
Tín hiệu x a (t ) thỏa mãn : 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
Định nghĩa : Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc ( Dicrete Time Fourier Transform- DTFT ) X(e j ω ) được xác định bởi : 
Thông thường , X(e j ω ) là hàm phức của biến số thực ω và có thể được viết là : 
Một số kiến thức toán học 
Tổng các số hạng của cấp số nhân : 
Ví dụ 
DTFT của tín hiệu xung đơn vị δ (n) được xác định bởi : 
Ví dụ 
Cho dãy : 
Ví dụ 
DTFT của dãy trên : 
Khi 
Các tính chất của DTFT 
DTFT X(e j ω ) của x(n ) là hàm liên tục của biến ω , tuần hoàn với chu kỳ 2 π 
Vì e j ω tuần hoàn với chu kỳ 2 π nên khi thể hiện X( e j ω ) ta chỉ cần thể hiện với 0≤ ω ≤ 2 π hoặc – π ≤ ω ≤ π 
X( e j ω ) là phổ của tín hiệu x(n ) 
| X( e j ω )| là phổ biên độ của tín hiệu x(n ) 
Tần số trong DTFT 
Tần số chuẩn hóa : f, 0 0.51 ( Độc lập với giá trị tần số lấy mẫu f s ) 
Tần số góc chuẩn hóa : ω , 0 π 2 π ( Độc lập với giá trị của f s ) 
Tần số rời rạc : f, 0f s /2f s 
Tần số góc rời rạc : ω , 0 π f s 2 π f s 
Điều kiện tồn tại DTFT 
Nếu : 
Thì : 
Bài tập 
Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau : 
x(n ) = δ (n-1) 
x(n ) = δ (n-1) + δ (n+1) 
x(n ) =(1/2) n u(n) 
x(n ) =2 n u(n) 
a. 
b. 
c. 
Biến đổi Fourier ngược của tín hiệu rời rạc : 
Một số tính chất cơ bản của DTFT 
Tính chất 
Dãy 
DTFT 
x(n ) 
X(e j ω ) 
x(-n ) 
X(e -j ω ) 
Tuyến tính 
ag(n )+ β h(n ) 
aG (e j ω )+ β H (e j ω ) 
Dịch theo thời gian 
g(n-n 0 ) 
e -j ω n 0 G(e j ω ) 
Tổng chập 
g(n )* h(n ) 
G(e j ω ). H (e j ω ) 
Bài tập 
Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau : 
Bài tập 
Biến đổi Fourier cho các tín hiệu sau : 
Bài tập 
Tín hiệu x(n ) có biến đổi Fourier X(e j ω )= 1/(1-a e -j ω ) 
Tìm biến đổi Fourier cho các tín hiệu sau : 
Bài tập 
Bài tập 
Đáp ứng tần số 
Cho một hệ thống tuyến tính bất biến (LTI) với đáp ứng xung h(n ) 
Mối quan hệ vào-ra trong miền thời gian được xác định bởi tổng chập : 
Nếu tín hiệu vào là : 
Thì đáp ứng của hệ thống là : 
Đặt : 
Ta có : 
Như vậy , đối với tín hiệu vào dạng e j ω n , đáp ứng của hệ thống bằng tín hiệu vào nhân với hằng số phức H(e j ω ) 
H(e j ω ) được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống LTI 
H(e j ω ) mô tả đặc trưng của hệ thống trong miền tần số 
H(e j ω ) chính là DTFT của đáp ứng xung h(n ) 
Ví dụ 
Bộ lọc trung bình M điểm có đáp ứng xung là : 
Đáp ứng tần số là : 
Bộ lọc 
Một trong những ứng dụng của hệ thống LTI là cho phép những thành phần có tần số nhất định trong tín hiệu vào và loại bỏ những thành phần có tần số khác 
Những hệ thống như vậy được gọi là bộ lọc số 
Ví dụ 
Cho một hệ thống LTI được mô tả bởi : 
Nếu ta cho tín hiệu vào là : 
Hệ thống là tuyến tính nên : 
Vì : 
Nên : 
Hệ thống như vậy được gọi là bộ lọc thông thấp 
Xác định đáp ứng tần số của các hệ thống LTI có mối quan hệ vào-ra như sau : 
Biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform- DFT ) 
DFT của x(n ) được xác định bằng cách lấy mẫu X(e j ω ) theo ω với 0 ≤ ω < 2 π tại ω k = 2 π k/N (0 ≤k≤N-1) 
Ta có : 
Tần số rời rạc được xác định bởi : 
Đặt : 
Ta có : 
Phép biến đổi ngược của Fourier rời rạc được xác định bởi : 
Ví dụ 
Cho dãy sau : 
DFT N điểm của x(n ): 
Ví dụ 
Cho dãy có chiều dài N sau : 
DFT N điểm của y(n ): 
Biểu diễn DFT dưới dạng ma trận 
Công thức DFT 
Có thể được biểu diễn : 
Với 
D N là ma trận DFT kích thức NxN : 
Tính chất của DFT 
Bài tập 
Xác định DFT N điểm của dãy có chiều dài N sau : 
Bài tập 
Sử dụng ma trận DFT để tính DFT cho tín hiệu sau : x(n ) = {0 1 2 3} 
Bài tập 
Tính DFT N điểm cho các tín hiệu sau :