Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier - Đỗ Tú Anh

1Tín Hiệu và Hệ Thống
Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier
2Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tổ chức
4EE3000-Tín hiệu và hệ thống
5EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Vài nét lịch sử
ƒ Euler nghiên cứu các dây rung, 
~ 1750
ƒ Fourier chỉ ra rằng các tín hiệu
tuần hoàn có thể được biểu diễn
thành tổng của các hàm sin có tần
số khác nhau
ƒ Được sử dụng rộng rãi để hiểu
rõ về cấu trúc và bản chất tần số
của tín hiệu
ƒ Phương pháp phân tích các
sóng của Fourier (1822) là sự
phát triển công trình của ông về
dòng nhiệt
6Tại sao lý thuyết Fourier quan trọng ?
ƒ Phép biến đổi Fourier ánh xạ một tín hiệu miền thời gian sang một
tín hiệu miền tần số
ƒ Bản chất tần số của các tín hiệu được giải thích một cách đơn giản
trên miền tần số
ƒ Thiết kế các hệ thống để lọc các thành phần tần số thấp hoặc cao
Bất biến với
tín hiệu cao
tần
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
7Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
8EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hàm riêng
(Đi sâu vào các hệ liên tục trước, nhưng kết quả có thể áp dụng cho các hệ
gián đoạn)
– Các hàm riêng của hệ LTI là gì?
– Loại tín hiệu nào có thể biểu diễn thành xếp chồng của những hàm riêng đó?
Hệ thống
Hàm riêng Hàm riêngGiá trị riêng
Từ tính chất xếp chồng của hệ LTI
ƒ Giống khái niệm giá trị riêng/vector riêng trong đại số ma trận
9EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Ví dụ 1: Hệ thống đơn vị
Hàm riêng
Bất kỳ hàm nào cũng là một hàm riêng của hệ LTI này
Bất kỳ hàm tuần hoàn x(t)=x(t+T) cũng là một hàm riêng của hệ LTI 
này
ƒ Ví dụ 2: Hệ thống trễ
10
ƒ Ví dụ 3: h(t) là hàm chẵn
Hàm riêng
là một hàm riêng (cho hệthống này)
Một hệ thống LTI cụ thể có nhiều hơn một loại hàm riêng
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
11EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hàm riêng
Các hàm mũ phức là các
hàm riêng của bất kỳ hệ
LTI nào
giá trị riêng hàm riêng
đúng với tất cả
12
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
13
Tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier
( ) ( )x t x t T= + với mọi t
– T nhỏ nhất đgl chu kỳ
Ví dụ: 0( ) cos( )x t A tω θ= + A thực
0( ) j tx t Ae ω= A phức 0
 2T πω=
0( ) jk tkx t Ae
ω= k nguyên
0
2 kT k
π
ω=
Xét 0 ( ) j tk
k
x t a e ω
∞
=−∞
= ∑ Chuỗi Fourier
– tuần hoàn với chu kỳ T 
– {
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
}ka là các hệ số chuỗi Fourier
– k = 0 thành phần một chiều (DC) 
– k = ±1 thành phần cơ bản
– k = ±2 hài thứ hai, 
Chu kỳ cơ bản
14EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Lý thuyết về tích chập LTI sử dụng khái niệm là bất kỳ tín hiệu vào
nào cũng được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị
được dịch
Chuỗi Fourier
ƒ Bây giờ ta sẽ xem làm thế nào các tín hiệu (vào) được biểu diễn
thành tổ hợp tuyến tính của các hàm Fourier cơ sở (các hàm riêng), 
chính là các hàm mũ thuần ảo
ƒ Các tín hiệu này đgl các chuỗi Fourier liên tục
ƒ Các cơ sở là các tín hiệu sin được dịch, được biểu diễn dưới dạng
các hàm sin phức
15EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
0( ) sinx t tω= có thể viết thành 0 01( ) ( )2
j t j tx t e e
j
ω ω−= −
Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là
1 1
1 1, , 0 1
2 2 k
a a a k
j j−
= = − = ≠ ±
ƒ Đồ thị biên độ và góc pha
ƒ
16
Ví dụ 2: Tổng các hàm sin thực
ƒ Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0
ƒ Tín hiệu này có thể viết thành
ƒ Đồ thị biên độ và góc pha
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
17EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI
ƒ Hệ LTI có đáp ứng xung
( ) ( ), 0th t e u tαα α−= >
với tín hiệu vào
0
0
0
0
( ) ( ) 
( ) ( ) 
jk
k
k
jk
y t a H jk e
H jk h e d
ω
ω τ
ω
ω τ τ
∞
=−∞
∞
−
−∞
=
=
∑
∫
0 0 0( ) ( )
0
0 000 0
( ) .jk jk jkH jk e e d e e
jk jk
ω τ α ω τ α ω τατ α αω α τ α α ω α ω
∞ ∞ ∞− − + − +−= = = − =+ +∫ ∫
ƒ Ta có
ƒ Tín hiệu ra
0
2
2
( ) ,jk tk
k
y t c e ω
=−
= ∑
trong đó
0( )k kc a H jkω=
0
1 1
0 0
2 2
0 0
1,
1 1( ) ( )2 2, 
2 2( ) ( )4 4, 
2 2
c
j j
c c
j j
j j
c c
j j
α α α α
α ω α ω
α α α α
α ω α ω
−
−
=
− += =+ +
+ −= =+ +
18EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
ƒ Với tín hiệu thực, ta luôn có k ka a∗− =
do đó có thể viết
( ) ( )0 0 0 00 0
1 1
( ) jk t jk t jk t jk tk k k k
k k
x t a a e a e a a e a eω ω ω ω
∞ ∞− −∗
−
= =
= + + = + +∑ ∑
(Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t), 
với chú ý rằng x(t)=x*(t))
kj
k ka A e
θ= 0 0
1
( ) 2 cos( ) k k
k
x t a A k tω θ∞
=
= + +∑
k k ka B jC= + 0 0 0
1
( ) 2 ( cos sin )k k
k
x t a B k t C k tω ω∞
=
= + −∑
ƒ Một số cách biểu diễn khác
19EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
ƒ Ví dụ
20
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
21EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
Ở đây chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)
⇓
22EE3000-Tín hiệu và hệ thống
⇓
(Phương trình
tổng hợp)
(Phương trình
phân tích)
Cặp chuỗi Fourier liên tục
⇓Tiếp tục 
23EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau
0
0 0
0
(1 ) ( 1 )
1 (sin )
1 1
2 2
jk t
k T
j k t j k t
T T
a t e
T
e dt e dt
jT jT
ω
ω ω
ω
− − −
=
= −
∫
∫ ∫
ƒ Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1
Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1
Do đó ta có
1 1
1 1, , 0 1
2 2 k
a a a k
j j−
= = − = ≠ ±
24EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn
Với k = 0
Với k ≠ 0
25
Một số chuỗi Furier có ích
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
0 0
00
1 ( ) , ( ) jk t jk tk k T
k
x t C e C x t e dt
T
ω ω∞ −
=−∞
= =∑ ∫
26
Một số chuỗi Furier có ích
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
27EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các cách biểu diễn khác
ƒ Dạng lượng giác
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier
ƒ Dạng lượng giác rút gọn
trong đó và
28EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các cách biểu diễn khác: Ví dụ
(bằng cách nhìn trên đồ thị)
(vì hàm đối xứng lẻ)
ƒ Chu kỳ cơ bản
n lẻ
ƒ Tần số cơ bản
29EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các cách biểu diễn khác: Ví dụ
ƒ Chu kỳ cơ bản
ƒ Tần số cơ bản
ƒ Biểu thức đầy đủ
ƒ Dịch pha
30EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
31EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Điều kiện Dirichlet
Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối trong một chu kỳ
Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gian
hữu hạn, x(t) có hữu hạn
các cực đại và cực tiểu
Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãn
điều kiện 2
Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gian
hữu hạn, x(t) có hữu hạn
các điểm không liên tục
Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãn
điều kiện 3
32
Hiện tượng Gibb
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Chuỗi Fourier cho sóng vuông
– Khi K tăng, những gợn sóng trong xN(t) hẹp dần
– Độ quá điều chỉnh luôn không đổi với mọi N
Xấp xỉ của x(t)