Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 3: Chiến lược giảm để trị

 so sánh được thực thi trong vòng lặp trong. Do đó, trong trường hợp trung bình, tổng số lần so sánh là: (N-1)/2 + (N-2)/2 + ... + 1/2 =N(N-1)/4 	 =O(N2) Độ phức tạp của sắp thứ tự bằng phương pháp chèn Tính chất 1.2: Sắp thứ tự bằng phương pháp chèn thực thi khoảng N2/2 so sánh và N2/4 hoán vị trong trường hợp xấu nhất. Tính chất 1.3: Sắp thứ tự bằng phương pháp chèn thực thi khoảng N2/4 so sánh và N2/8 hoán vị trong trường hợp trung bình. Tính chất 1.4: Sắp thứ tự bằng phương pháp chèn có độ phức tạp tuyến tính đối với một mảng đã gần có thứ tự. 3. Các giải thuật duyệt đồ thị Có nhiều bài toán được định nghĩa theo đối tượng và các kết nối giữa các đối tượng ấy. Một đồ thị là một đối tượng toán học mà mô tả những bài toán như vậy. Các ứng dụng trong các lãnh vực: 	Giao thông 	Viễn thông 	Điện lực 	Mạng máy tính 	Cơ sở dữ liệu 	Trình biên dịch 	Các hệ điều hành 	Lý thuyết đồ thị Một thí dụ Hình 3.1a Một đồ thị thí dụ Cách biểu diễn đồ thị Ta phải ánh xạ các tên đỉnh thành những số nguyên trong tầm trị giữa 1 và V. Giả sử có tồn tại hai hàm: - hàm index: chuyển đổi từ tên đỉnh thành số nguyên - hàm name: chuyển đổi số nguyên thành tên đỉnh. Có hai cách biểu diễn đồ thị: - dùng ma trận kế cận - dùng tập danh sách kế cận Cách biểu diễn ma trận kế cận A B C D E F G H I J K L M A 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 B 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 F 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 G 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 Một ma trận V hàng V cột chứa các giá trị Boolean mà a[x, y] là true if nếu tồn tại một cạnh từ đỉnh x đến đỉnh y và false nếu ngược lại. Hình 3.1b: Ma trận kế cận của đồ thị ở hình 3.1a Giải thuật program adjmatrix (input, output); const maxV = 50; var j, x, y, V, E: integer; a: array[1..maxV, 1..maxV] of boolean; begin readln (V, E); for x: = 1 to V do /*initialize the matrix */ for y: = 1 to V do a[x, y]: = false; for x: = 1 to V do a[x, x]: = true; for j: = 1 to E do begin readln (v1, v2); x := index(v1); y := index(v2); a[x, y] := true; a[y, x] := true end; end. Lưu ý: Mỗi cạnh tương ứng với 2 bit trong ma trận: mỗi cạnh nối giữa x và y được biểu diễn bằng giá trị true tại cả a[x, y] và a[y, x]. Để tiện lợi giả định rằng có tồn tại một cạnh nối mỗi đỉnh về chính nó. Cách biểu diễn bằng tập danh sách kế cận Trong cách biểu diễn này, mọi đỉnh mà nối tới một đỉnh được kết thành một danh sách kế cận (adjacency-list ) cho đỉnh đó. program adjlist (input, output); const maxV = 100; type link = node node = record v: integer; next: link end; var j, x, y, V, E: integer; t, x: link; adj: array[1..maxV] of link; begin readln(V, E); new(z); z.next: = z; for j: = 1 to V do adj[j]: = z; for j: 1 to E do begin readln(v1, v2); x: = index(v1); y: = index(v2); new(t); t.v: = x; t.next: = adj[y]; adj[y]: = t; /* insert x to the first element of y’s adjacency list */ new(t); t.v = y; t.next: = adj[x]; adj[x]:= t; /* insert y to the first element of x’s adjacency list */ end; end. Lưu ý: Mỗi cạnh trong đồ thị tương ứng với hai nút trong tập danh sách kế cận. Số nút trong tập danh sách kế cận bằng 2|E|. a b c d e f g h i j k l m Hình 3.1c: Biểu diễn bằng tập danh sách kế cận của đồ thị ở hình 3.1 So sánh hai cách biểu diễn đồ thị Nếu biểu diễn đồ thị bằng tập danh sách kế cận, việc kiểm tra xem có tồn tại một cạnh giữa hai đỉnh u và v sẽ có độ phức tạp thời gian O(V) vì có thể có O(V) đỉnh tại danh sách kế cận của đỉnh u. Nếu biểu diễn đồ thị bằng ma trận kế cận, việc kiểm tra xem có tồn tại một cạnh giữa hai đỉnh u và v sẽ có độ phức tạp thời gian O(1) vì chỉ cần xem xét phần tử tại vị trí (u,v) của ma trận. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kế cận gây lãng phí chỗ bộ nhớ khi đồ thị là một đồ thị thưa (không có nhiều cạnh trong đồ thị, do đó số vị trí mang giá trị 1 là rất ít) Các phương pháp duyệt đồ thị Duyệt hay tìm kiếm trên đồ thị: viếng mỗi đỉnh/nút trong đồ thị một cách có hệ thống. Có hai cách chính để duyệt đồ thị: - duyệt theo chiều sâu trước (depth-first-search ) - duyệt theo chiều rộng trước (breadth-first-search). Duyệt theo chiều sâu trước procedure dfs; procedure visit(n:vertex); begin add n to the ready stack; while the ready stack is not empty do get a vertex from the stack, process it, and add any neighbor vertex that has not been processed to the stack. if a vertex has already appeared in the stack, there is no need to push it to the stack. end; begin Initialize status; for each vertex, say n, in the graph do if the status of n is “not yet visited” then visit(n) end; Tìm kiếm theo chiều sâu trước – biểu diễn danh sách kế cận (giải thuật đệ quy) procedure list-dfs; var id, k: integer; val: array[1..maxV] of integer; procedure visit (k: integer); var t: link; begin id: = id + 1; val[k]: = id; /* change the status of k to “visited” */ t: = adj[k]; / * find the neighbors of the vertex k */ while t z do begin if val[t .v] = 0 then visit(t.v); t: = t.next end end; begin id: = 0; for k: = 1 to V do val[k]: = 0; /initialize the status of all vetices */ for k: = 1 to V do if val[k] = 0 then visit(k) end; Ghi chú: Mảng val[1..V] chứa trạng thái của cácđỉnh. val[k] = 0 nếu đỉnh k chưa hề được viếng (“not yet visited”), val[k] ≠ 0 nếu đỉnh k đã được viếng. val[k]: = j nghĩa là đỉnh jth mà được viếng trong quá trình duyệt là đỉnh k. Như vậy kết quả của DFS trên đồ thị cho ở hình 3.1a với tập danh sách kế cận cho ở hình 3.1c là A F E G D C B Lưu ý: thứ tự của các đỉnh trong các danh sách kế cận có ảnh hưởng đến thứ tự duyệt của các đỉnh khi áp dụng DFS. Tính chất 3.1.1 Duyệt theo chiều sâu trước một đồ thị biểu diễn bằng các danh sách kế cận đòi hỏi thời gian tỉ lệ V+ E. Chứng minh: Chúng ta phải gán trị cho mỗi phần tử của mảng val (do đó tỉ lệ với O(V)), và xét mỗi nút trong các danh sách kết cận biểu diễn đồ thị (do đó tỉ lệ với O(E)). Độ phức tạp của DFS DFS – biểu diễn bằng ma trận kế cận Cùng một phương pháp có thể được áp dụng cho đồ thị được biểu diễn bằng ma trận kế cận bằng cách dùng thủ tục visit sau đây: procedure visit(k: integer); var t: integer; begin id: = id + 1; val[k]: = id; for t: = 1 to V do if a[k, t] then if val[t] = 0 then visit(t) end; Tính chất 3.1.2 Duyệt theo chiều sâu trước một đồ thị biểu diễn bằng ma trận kế cận tỉ lệ với V2. Chứng minh: Bởi vì mỗi bit trong ma trận kế cận của đồ thị đều phải kiểm tra. Duyệt theo chiều rộng trước Khi duyệt đồ thị nếu ta dùng một queue thay vì một stack, ta sẽ đi đến một giải thuật duyệt theo chiều rộng trước (breadth-first-search). procedure bfs; procedure visit(n: vertex); begin add n to the ready queue; while the ready queue is not empty do get a vertex from the queue, process it, and add any neighbor vertex that has not been processed to the queue and change their status to ready. end; begin Initialize status; for each vertex, say n, in the graph if the status of n is “not yet visited” then visit(n) end; procedure list-bfs; var id, k: integer; val: array[1..max V] of integer; procedure visit(k: integer); var t: link; begin put(k); /* put a vertex to the queue */ repeat k: = get; /* get a vertex from the queue */ id: = id + 1; val[k]: = id; /* change the status of k to “visited” */ t: = adj[k]; /* find the neighbors of the vertex k */ while t z do begin if val[t .v] = 0 then begin put(t.v); val [t.v]: = -1 /* change the vertex t.v to “ready” */ end; t: = t.next end until queueempty end; begin id: = 0; queue-initialze; for k: = 1 to V do val[k]: = 0; /initialize the status of all vertices */ for k: = 1 to V do if val[k] = 0 then visit(k) end; Duyệt theo chiều sâu trước và duyệt theo chiều rộng trước chỉ khác nhau ở chỗ giải thuật đầu dùng stack và giải thuật sau dùng hàng đợi. Do đó, độ phức tạp tính toán của DFS và BFS là như nhau. 4. Xếp thứ tự tôpô Các đồ thị có hướng là các đồ thị trong đó các cạnh nối với các nút có hướng. Hình 3.4. Một thí dụ về đồ thị có hướng Thường thì hướng của các cạnh biểu thị mối liên hệ trước sau (precedence relationship) trong ứng dụng được mô hình hóa. Thí dụ, đồ thị có hướng có thể được dùng để mô hình hóa một đường dây sản xuất (assembly line). Trong phần này, chúng ta xem xét giải thuật sắp thứ tự topo (topological sorting) Lưu ý về cách biểu diễn đồ thị có hướng Nếu ta biểu diễn đồ thị có hướng bằng tập danh sách kế cận, mỗi cạnh trong đồ thị tương ứng với một nút trong tập danh sách kế cận. (mỗi cạnh nối từ x đến y được biểu diễn bằng một nút có nhãn y được đưa vào danh sách kế cận của đỉnh x) Số nút trong tập danh sách kế cận bằng với số cạnh |E| Nếu ta biểu diễn đồ thị có hướng bằng ma trận kế cận, mỗi cạnh trong đồ thị tương ứng với một bit 1 trong ma trận kế cận. (mỗi cạnh nối từ x đến y được biểu diễn bằng giá trị true tại a[x, y]). Xếp thứ tự tôpô Đồ thị có hướng không chu trình (Directed Acyclic Graph) Đồ thị có hướng mà không có chu trình được gọi là các đồ thị có hướng không chu trình (dags). Tập thứ tự riêng phần và xếp thứ tự tôpô Cho G là một đồ thị có hướng không chu trình. Xét quan hệ thứ tự 2. set j:= j+1 3. for each permutation on j-1 elements do 4. create and list P:= 5. for i:= j-1 downto 1 do 6. set P:= P with the values assigned to positions i and i+1 switched and list P // end for loop at step 3 7. if j < n, then go to step 2 else stop. Độ phức tạp của giải thuật PERM Tính chất: Độ phức tạp của giải thuật PERM sinh ra tất cả các hoán vị của tập n phần tử là n! Chứng minh: Thao tác căn bản: thao tác chèn phần tử còn lại vào một hoán vị đã có. Với mỗi hoán vị từ tập con n-1 phần tử (gồm tất cả (n-1)! các hoán vị này), ta đưa phần tử còn lại vào n vị trí khả hữu. Như vậy tổng cọng có n.(n-1)! thao tác chèn phần tử còn lại vào một hoán vị đã có. Do đó: C(n) = O(n!) Nhận xét: Vì n! tăng rất nhanh nên với n chỉ hơi lớn (10 trở lên), giải thuật cho ra kết quả cực kỳ chậm. Công thức Stirling n! xấp xỉ bằng với hàm (n/e)n với e là cơ số logarit tự nhiên (e = 2.71828)