Bài giảng môn Giải tích - Chương: Giới hạn hàm số (Phần 2)

GiỚI HẠN HÀM SỐ(phần 2)Vô cùng bé – vô cùng lớnĐỊNH NGHĨA (x) là vô cùng bé khi x  xo nếu giá trị của (x) rất bé khi x gần xo. (x) là vô cùng lớn khi x  xo nếu giá trị của |(x)| rất lớn khi x gần xo.Ví dụx,  > 0 là VCB khi x 0x,  > 0 là VCL khi x +lnx là VCB khi x1là VCL khi x +, 0TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉTổng, hiệu, tích các VCB là VCB.c  0, (x) là VCB  c(x) là VCB. với (x) là VCB khi x  xo.SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ(x) và (x) là 2 VCB khi x  xo, đặtK=0, (x) là VCB bậc cao hơn (x), ký hiệu: (x) = o((x)) .K 0, : (x) và (x) đồng bậc.K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x) SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ(x) và (x) là 2 VCB khi x  xo, nếu tồn tại n>0 sao cho:(tức là (x) đồng bậc với [(x)]n )Thì (x) được gọi là VCB bậc n đối với (x)VÍ DỤlà 2 VCB khi x  0là 2 VCB khi x  0(x) bậc cao hơn (x)là 2 VCB khi x  0(x) là VCB bậc 2 đối với (x).Các vcb tương đương cơ bảnKhi x 0Ví dụNguyên tắc thay tương đương VCBChỉ được thay tương đương qua tích các VCBVD:Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhấtvới i là VCB bậc thấp nhấtVD: khi x  0Nguyên tắc thay tương đương VCB (x) ~ 1(x), khi xxo,Nguyên tắc thay tương đương VCBVD: khi x  0Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạnVD:Phép thay qua hiệu 2 VCB(chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB ban đầu không tương đương)Nguyên tắc thay tương đương VCBCách thực hiệnThay  và  qua các tương đương trung gian (chẳng hạn xp khi x0), đến khi không còn thay được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì  và  là 2 VCB tương đương  không thay qua hiệu trong trường hợp nàyVÍ DỤLưu ýKhông chuyển vế trong tương đương cơ bản.Không thay tương đương qua hàm số ngoại trừ hàm lũy thừa dương(chỉ thay tương đương cho VCB, VCL.)Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu chỉ xét cho từng cặp hàmVí dụXét tính đúng, sai trong các tương đương sauKhi x → 0ĐĐĐVÍ DỤ TỔNG HỢPTìm các hằng số a và p sao cho So sánh bậc các VCBTính giới hạnTìm các hằng số a và p sao cho  a = -2, p = 1 a = -2, p = 1Tìm các hằng số a và p sao cho  a = -1, p = 1 a = -1, p = 3Tìm các hằng số a và p sao cho So sánh bậc các VCB khi x → 0((x) bậc cao hơn (x))Bậc 1 theo xBậc 2 theo x (x)  (x)So sánh bậc các VCB khi x → 0So sánh bậc các VCB khi x →+ (x) bậc cao hơn (x)Tính giới hạnTích các VCL là VCL.c  0, (x) là VCL  c(x) là VCL. f(x) bị chận trong lân cận xo, (x) là VC khi x  xo  (x) + f(x) là VCL khi x  xo.Tính chất vô cùng lớnSO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG LỚN(x) và (x) là 2 VCL khi x  xo, đặtK= + , (x) là VCB bậc cao hơn (x).K 0, : (x) và (x) đồng bậc.K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x) Chỉ được thay tương đương qua tích các VCLNguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất (x) ~ 1(x), khi xxo,Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn: giống VCBNguyên tắc thay thế VCL f(x) bị chận trong lân cận xo, (x) là VCL  khi x  xo  (x) + f(x) (x) khi x  xo.VÍ DỤKhi x  +, m > n >0: xm là VCL bậc cao hơn xn.Khi x  +, p > 0,  > 0, a > 1: