Bài giảng Mô hình hóa, nhận dạng và mô phỏng - Chương 2: Mô hình hóa

ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
&&
&&
&
&
ll
ll
y
x
v 
 Động năng: 
 )(
2
1)(
2
1 2
2
2
22
2
1
2
11 yxmyxmT &&&& +++= 
⇒ +++= 222222121221211 2
1
2
1
2
1 ϕϕϕ &&& lmlmlmT 
 )sinsincos(cos 212121212 ϕϕϕϕϕϕ +&&llm 
 Thế năng: 
 )coscos(cos 22112111 ϕϕϕ llgmglmU ++= 
 Do đó: 
 22
2
22
2
1
2
12
2
1
2
11 2
1
2
1
2
1 ϕϕϕ &&& lmlmlmUTL ++=−= 
 )sinsincos(cos 212121212 ϕϕϕϕϕϕ ++ &&llm 
 )coscos(cos 22112111 ϕϕϕ llgmglm +−− (1) 
 Phương trình Euler–Lagrange: 
 1
11
τϕϕ =∂
∂−



∂
∂ LL
dt
d
& (2) 
 2
22
τϕϕ =∂
∂−



∂
∂ LL
dt
d
& (3) 
 Thay (1) vào (2) và (3) ta được: 
 221212121
2
121 )sinsincos(cos)( ϕϕϕϕϕϕ &&&& +++ llmlmm 
 11121
2
22121212 sin)()sincoscos(sin τϕϕϕϕϕϕ =+−−+ glmmllm & (4) 
 121212122
2
22 )sinsincos(cos ϕϕϕϕϕϕ &&&& ++ llmlm 
 2222
2
12121212 sin)sincoscos(sin τϕϕϕϕϕϕ =−−− glmllm & (5) 
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
29
Thí dụ 2.9: Mô hình toán bồn chứa chất lỏng (Single Tank) 
 A: tiết diện ngang bồn chứa 
 a: tiết diện van xả 
 k: hệ số tỉ lệ với công suất máy bơm 
 Phương trình cân bằng: ( ) )()()( tqtqtAh
dt
d
outin −= 
 Dòng vào: )()( tkutqin = 
 Dòng ra: )()/2()( 222 tpCatq Dout ρ= 
trong đó: )()( tghtp ρ= : áp suất 
 6.0=DC : hệ số xả 
Suy ra: ( ))(2)(1)( tghaCtku
A
th D−=& 
Thí dụ 2.10: Hệ bồn nối tiếp (Cascade Tank) 
( )
( )


−=
−=
)(2)(21)(
)(2)(1)(
222111
2
2
11111
1
1
tghCatghCa
A
th
tghCatuk
A
th
DD
D
&
&
h(t)
u(t)
qin 
qout 
h1(t)
u(t) 
qin1 
qout2 h2(t)
qout1=qin2
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
30
Thí dụ 2.11: Hệ bồn liên kết (Coupled Tank) 
 Mô hình toán: 
( )( )
( )( )


−−−−=
−−−−=
)()(2)()(sgn)(2)(1)(
)()(2)()(sgn)(2)(1)(
2112121222222
2
2
2112211211111
1
1
ththgaththCtghCatuk
A
th
ththgaththCtghCatuk
A
th
DD
DD
&
&
Thí dụ 2.12: Sự tương đồng giữa hệ lưu chất và hệ thống điện: 
 Để 2 mô hình trên tương đương ta cần giả thiết bồn chứa rất lớn, 
khi hệ thống vận hành độ cao mực chất lỏng trong bồn chứa thay đổi 
không đáng kể. 
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
31
Thí dụ 2.13: Mô hình lò sấy 
 )(tSθ : nhiệt độ nguồn nhiệt 
 )(tθ : nhiệt độ lò sấy 
 )(tH : dòng nhiệt 
 Ta có: 
 Dòng nhiệt: 
T
S
R
tttH )()()( θθ −= 
 Phương trình cân bằng: )()( tH
dt
tdCT =θ 
trong đó: 
Ak
dRT 2
= : nhiệt trở 
 d: chiều dài lò sấy 
 A: tiết diện ngang 
 k: hệ số dẫn nhiệt 
 =TC cM : nhiệt dung 
 c: nhiệt dung riêng của môi trường truyền nhiệt 
 M: khối lượng môi trường truyền nhiệt 
 Suy ra mô hình toán học của lò sấy là: 
 )()()( tt
dt
tdCR STT θθθ =+ 
 Trường hợp lò sấy dài, có thể mô hình hóa bằng cách chia làm 
nhiều ngăn: 
θ(t) θS(t) H(t) 
θ2(t) θS(t) H1(t) θ1(t) 
d/4 d/4 d/2 
H2(t) 
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
32
 Dòng nhiệt: 
1
1
1
)()()(
T
S
R
tttH θθ −= 
2
21
2
)()()(
TR
tttH θθ −= 
 Phương trình cân bằng: 
 )()()( 2111 tHtHdt
tdCT −=θ 
 )()( 222 tHdt
tdCT =θ 
 Suy ra: 



−=
−−−=
2
212
2
2
21
1
11
1
)()()(
)()()()()(
T
T
TT
S
T
R
tt
dt
tdC
R
tt
R
tt
dt
tdC
θθθ
θθθθθ
2.4 PHÂN TÍCH TOÁN HỌC 
 (tham khảo chương 5 và chương 8, (Smith, 1994)) 
 Phân tích toán học: 
• Kết hợp tất cả các hệ phương trình mô tả đặc tính động của 
các bộ phận chức năng để được hệ phương trình mô tả hệ thống. 
• Tuyến tính hóa quan hệ phi tuyến để được mô tả toán học 
tuyến tính 
 Xét hệ phi tuyến bậc n có p ngõ vào, q ngõ ra mô tả bởi phương 
trình trạng thái. 


=
=
))(),(()(
))(),(()(
ttt
ttt
uxhy
uxfx&
trong đó nt ℜ∈)(x là vector trạng thái, pt ℜ∈)(u là vector tín hiệu 
vào, qt ℜ∈)(y là vector tín hiệu r; nℜ∈(.)f , qℜ∈(.)h là vector 
hàm mô tả đặc tính động của hệ phi tuyến. 
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
33
 Khai triển Taylor xung quanh điểm làm việc tĩnh ),( ux 
ta có thể mô tả hệ thống bằng phương trình trạng thái tuyến tính: 


+=
+=
)(~)(~)(~
)(~)(~)(~
ttt
ttt
uDxCy
uBxAx&
trong đó: 
( )),( ,)()(~
)()(~
)()(~
uhyytyty
ututu
tt
x
xxx
=−=
−=
−=
 Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng được tính 
như sau: 
)(2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
u,x
,xx
fA












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
n
nn
n
n
n
n
u
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
K
MOMM
L
L
)(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
u,x
u,xu
fB












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
p
nnn
p
p
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
K
MOMM
L
L
)(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
u,x
u,xx
hC












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
n
qqq
n
n
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
K
MOMM
L
L
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
34
)(21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
u,x
u,xu
hD












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
p
qqq
p
p
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
h
K
MOMM
L
L
• Đại số sơ đồ khối – Phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu và công 
thức Mason để tìm hàm truyền tương đương của hệ tuyến tính. 
• Đánh giá sự phù hợp của mô hình 
• Dùng mô hình để dự báo đáp ứng của hệ thống đối với tín 
hiệu vào cho trước. 
Thí dụ 2.14: Mô hình toán hệ con lắc ngược truyền động dùng động 
cơ DC, xét ảnh hưởng của ma sát: 
* Đặc tính động của hệ xe–con lắc có xét đến ảnh hưởng của ma 
sát: 
 Tương tự như thí dụ 2.7, tuy nhiên lực tác động phải kể thêm 
lực ma sát: 
 CfFmlmlxmM −=+−+ θθθθ &&&&& )(cos)(sin)( 2 (1) 
 Pfmgmlxm −=−+ θθθ sincos &&&& (2) 
trong đó: Cf lực ma sát tác động lên xe 
 Pf lực ma sát tác động lên con lắc 
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
35
* Đặc tính ma sát: 
 Giả thiết có cả ma sát tĩnh và ma sát nhớt tác động làm cản trở 
chuyển động của xe và con lắc. Các lực ma sát này có thể mô tả 
bằng các phương trình sau: 
 xBeAxf x
xC
xC
x && & += −)sgn( (3) 
 θθ θθθ θ && & BeAf CP += −)sgn( (4) 
trong đó xA , xB , xC , θA , θB , 0>θC . 
* Đặc tính động cơ: 
 baaaaa EIRVIL −−=& (5) 
 ωbb KE = 
 ωω mlmm BTTJ −−=& (6) 
 agim IKKT = 
 FrTl = 
 rxKg /&=ω 
 aL : điện cảm phần ứng aR : điện trở phần ứng 
 aI : dòng điện phần ứng aV : điện áp phần ứng 
 mT : moment động cơ lT : moment tải 
 ω : tốc độ quay động cơ r : bán kính pu-li 
 mJ : moment quán tính động cơ mB : hệ số ma sát nhớt 
 iK : hệ số moment iK : hệ số moment 
 gK : hệ số giảm tốc bE : sức phản điện 
 F : lực tác động vào xe 
 Đặc tính động cơ có thể biểu diễn theo aI , x và F như sau: 
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
36
 a
bg
aaaa Vxr
KK
IRIL =++ && (7) 
 FI
r
KK
x
r
BK
x
r
JK
a
gimgmg −=−+ &&& 22 (8) 
 Do đó mô hình toán học của hệ xe con lắc với tín hiệu vào là điện 
áp cấp cho động cơ như sau: 



=++
−=−+
−=−++−++
a
bg
aaaa
P
Ca
igmgmg
Vx
r
KK
IRIL
fmgmlxm
fI
r
KK
x
r
BK
mlmlx
r
JK
mM
&&
&&&&
&&&&&&
θθθ
θθθθ
sincos
)(cos)(sin)( 2
2
2
Thí dụ 2.15: Mô hình tuyến tính của hệ con lắc ngược xung quanh vị 
trí thẳng đứng. 
 Hệ phương trình mô tả đặc tính động phi tuyến của hệ con lắc 
ngược (xem thí dụ 7): 
 2
2
)(cos
sincos)(sin
θ
θθθθ
mmM
mgmlux −+
−+= &&& (1) 
lmMml
mlgmMu
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
2
2
+−
++−= θ
θθθθθθ &&& (2) 
Đặt Txxt ],,,[)( &&θθ=x : vector trạng thái, ta được: 
444444444 3444444444 21
321
&
&
&
&
&
(.)
)(cos
sincos)(sin
)(
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
11
2
21
4
2
1
2
21111
2
4
3
2
1
f
x 











−+
−+
+−
++−
=








xmmM
xxmgxxmlu
tx
lmMxml
xxxmlxgmMxu
tx
tx
tx
tx
tx
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
37
321
(.)
)(
)(
)(
)(
)(
3
1
h


=

=
tx
tx
tx
t
ty
θ
 Điểm cân bằng ở vị trí thẳng đứng: )0,(),( 0=ux 
 Tuyến tính hóa xung quanh điểm cân bằng: 


+=
+=
)(~)(~)(~
)(~)(~)(~
ttt
ttt
uDxCy
uBxAx&
trong đó: 










−
+
=














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
000
1000
000)(
0010
)0(4
4
3
4
2
4
1
4
4
3
3
3
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
1
2
4
1
3
1
2
1
1
1
)(
g
M
m
g
Ml
mM
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
u
,
,xx
fA
0










−
=












∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
=∂
∂=
M
Ml
u
f
u
f
u
f
u
f
u u 1
0
1
0
)0(
4
3
2
1
)(
,
,x
fB
0


=








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
0100
0001
)(4
2
3
2
2
2
1
2
4
1
3
1
2
1
1
1
)(
u,x
,xx
hC
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
u


=








∂
∂∂
∂
=∂
∂=
0
0
)(
2
1
)(
u,x
,x
hD
u
h
u
h
u u
Chương 2: MƠ HÌNH HĨA 
 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động 
38